Skip to main content

Арифметика (Никольский, Потапов, Решетников, Шевкин) 1988 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

Арифметика (Никольский, Потапов, Решетников, Шевкин) 1988

Назначение: Для преподавателей математики и самообразования. Доступна школьникам 5—6 классов.

Школьный арифметический материал излагается в книге систематически, поэтому последовательность изложения отличается от принятой в известных учебниках по математике для 5—6 классов.

Приведены основные упражнения и задачи.

© "Наука" Главная редакция физико-математической литературы Москва 1988

Авторство: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин

Формат: PDF Размер файла: 19.7 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 7

Глава I. Натуральные числам нуль 11

§ 1. Натуральный ряд 11

§ 2. Строение натурального числа в десятичной системе счисления 12

§ 3. Сравнение натуральных чисел 15

§ 4. Законы сложения • . 13

§ 5. Вычитание . 21

§ 6. Умножение. Законы умножения 23

§ 7. Распределительный закон . 27

§ 8. Сложение и вычитание чисел столбиком 30

§ 9. Вычисление произведений целых неотрицательных чисел 33

§ 10. Степень с натуральным показателем 33

§11. Деление 33

§ 12. Свойства делимости 40

§ 13. Признаки делимости 42

§ 14. Деление с остатком 47

§ 15. Числовые выражения 50

📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ

§ 16. Вычисления с помощью микрокалькулятора «. 53

§ 17. Представление натуральных чисел на координатной полуоси ««»«« 57

§ 18. Исторические сведения 59

Вопросы для повторения по материалу главы I 62

Глава II. Метрическая система мер 65

§ 19. Измерение отрезков 65

§ 20. Величины. Исторические сведения 67

§ 21. Метр 63

§ 22. Метрические единицы длины 70

§ 23. Прямоугольник 72

§ 24. Единицы площади 75

§ 25. Прямоугольный параллелепипед 78

§ 26. Единицы объема 80

§ 27. Единицы массы 82

§ 28. Единицы времени 83

Вопросы для повторения по материалу главы II 86

Глава III. Целые числа 89

§ 29. Отрицательные целые числа 89

§ 30. Правила знаков. Модуль числа 91

§ 31. Сравнение целых чисел 93

§ 32. Сложение целых чисел 94

§ 33. Законы сложения целых чисел 97

§ 34. Разность целых чисел 99

§ 35. Произведение и частное целых чисел 101

§ 36. Распределительный закон 104

§ 37. Раскрытие скобок и заключение в скобки 107

§ 38. Действия с суммами нескольких слагаемых ПО

§ 39. Представление целых чисел на координатной оси . . 111

§ 40. Исторические сведения 113

Вопросы для повторения по материалу главы III 115

Глава IV. Обыкновенные дроби 116

§ 41. Простые и составные числа 116

§ 42. Делители натурального числа 118

§ 43. Наибольший общий делитель 123

§ 44. Наименьшее общее кратное 125

§ 45. Понятие дроби 128

§ 46. Равенство дробей 133

§ 47. Приведение дробей к общему знаменателю . . 139

§ 48. Сравнение дробей 143

§ 49. Сложение дробей 149

§ 50. Законы сложения 154

§ 51. Вычитание дробей 158

§ 52. Смешанные дроби 162

§ 53. Сложение и вычитание смешанных дробей 166

§ 54. Умножение дробей 169

§ 55. Деление дробей 174

§ 56. Законы умножения 178

§ 57. Решение задач 183

§ 58. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда 188

§ 59. Единицы измерения скорости 192

§ 60. Представление положительных дробей на координат* ной оси 195

§ 61. Исторические сведения 199

Вопросы для повторения по материалу главы IV 202

Глава V. Рациональные числа 203

§ 62. Отрицательные дроби . 203

§ 63. Рациональные числа 206

§ 64. Сравнение дробей . 211

§ 65. Сложение и вычитание дробей . 213

§ 66. Произведение и частное дробей 216

§ 67. Переместительный и сочетательный законы сложения. Распределительный закон 221

§ 68. Переместительный и сочетательный законы умножения 225

§ 69. Представление рациональных чисел на координатной оси 230

Вопросы для повторения по материалу главы V 234

Глава VI. Пропорции 238

§ 70. Буквенные выражения 238

§ 71. Подобные слагаемые 244

§ 72. Уравнения 248

§ 73. Решение задач с помощью уравнений 251

§ 74. Отношение и пропорция 256

§ 75. Прямая и обратная пропорциональность 262

§ 76. Масштаб 268

Вопросы для повторения по материалу главы VI 273

Глава VII. Десятичные дроби 275

§ 77. Понятие десятичной дроби 275

§ 78. Сравнение положительных десятичных дробей . . . 280

§ 79. Перенос запятой в десятичной дроби 284

§ 80. Сложение и вычитание положительных десятичных дробей 287

§ 81. Умножение десятичных дробей 293

§ 82. Деление десятичных дробей 298

§ 83. Понятие о проценте 304

§ 84. Решение задачи на проценты 309

§ 85. Десятичные дроби произвольного знака 313

§ 86. Исторические сведения 316

Вопросы для повторения по материалу главы VII 319

Глава VIII. Обыкновенные и десятичные дроби 320

§ 37. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь 320

§ 88. Понятие периодической десятичной дроби 324

§ 89. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби 323

§ 90. Непериодические десятичные бесконечные дроби. Иррациональные числа 332

§ 91. Сравнение действительных чисел. Приближение числа 337

§ 92. Вычисления с помощью микрокалькулятора 345

§ 93. Округление при умножении и делении чисел 349

§ 94. Основные свойства действительных чисел 352

Глава IX. Система координат 356

§ 95. Длина отрезка 356

§ 96. Координатная ось 360

§ 97. Декартова система координат на плоскости . 365

§ 98. Графики 372

§ 99. Исторические сведения 377

Приложение . , 383

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатный учебник СССР - Арифметика (Никольский, Потапов, Решетников, Шевкин) 1988 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

ВВЕДЕНИЕ

Данная книга представляет собой попытку систематически изложить арифметику в пределах программы V и VI классов. Таким образом, предполагается, что наш читатель знает математику в пределах начальной школы: умеет производить арифметические действия с натуральными числами и даже имеет некоторое представление о дробях.

Дроби изучаются практически с самого начала, но тот факт, что школьник имеет некоторое представление о дробях, освобождает нас от необходимости вводить много примеров, приводящих к понятию дроби. Мы имеем в виду такие важнейшие «физические» примеры, как, на-пример: 1) три яблока разделить между пятью мальчиками; 2) убедиться в том, что две третьих части торта и и четыре шестых его части—это физически одно и то же.

Первая задача приводит не только к понятию дроби 3

-г-, но и к тому, что ее надо рассматривать как частное □

3:5. Вторая задача приводит к естественности формаль- 2 4

ного равенства =

Перед авторами стояла задача все эти вещи формализовать, изложить компактно и доступно, но так, чтобы было видно, где в них логическое начало и где конец, где здесь «физика» и где логика. Логику тоже нельзя замазывать— она как раз дает основу для умения правильно вычислять.

Арифметика—логическая наука, на ней можно учиться логически мыслить—конечно, если излагать ее не «вверх ногами», как это иногда случается. Счастливым образом формализм арифметики имеет прикладное значение, потому что он дает правила вычислений. Но при-

хладной части тоже надо уделять внимание. Умножить у на у— это значит вычислить дробь $у; это надо твердо знать. Но также необходимо знать, что при этом мы решили и физическую задачу—взяли две третьих части от пяти седьмых (например, яблока) или вычислили пло- 2 5

щадь прямоугольника со сторонами у и у.

Мы старались систематически изложить обе стороны указанных явлений—формальную и прикладную—их объединить и в некоторых случаях разъединить, потому что формализм арифметики необходим для практики вычислений. Конечно, должна быть еще и общая идея. Такой идеей является формирование понятия числа как длины отрезка, а еще точнее—как координаты произвольной точки прямой. В этом втором смысле понятие «число» объединяет в себе положительные и отрицательные числа.

Наконец, большую роль в этих вопросах играет и педагогика— надо изложить вопрос доходчиво и компактно. Мы очень часто слышим, что школьники доходят до старших классов и не знают арифметики. В старших классах это положение исправляют тем, что заставляют отстающих выполнять упражнения на повторение арифметики. Но это плохой выход. Прежде всего надо подумать об улучшении преподавания арифметики в то время, когда она изучается. Это возможно, если арифметику проходить в логическом порядке или, как мы говорим, систематически. Опыт такого систематического изложения мы предлагаем в этой книге. Избран следующий порядок изложения:

I. Натуральные числа и нуль.

II. Метрическая система мер.

III. Целые числа.

IV. Обыкновенные дроби.

V. Рациональные числа.

VI. Пропорции.

VII. Десятичные дроби.

VIII. Обыкновенные и десятичные дроби.

IX. Система координат.

От натуральных чисел мы переходим к целым. Наблюдения показывают, что на главе «Натуральные числа» не надо долго задерживаться, потому что школьники и даже учителя считают, что все это уже проходилось в младших классах, и неохотно работают с этим материалом. Но на самом деле натренированность учеников в вычислениях с натуральными числами в это время еще недостаточна.

Мы вводим целые числа так рано потому, что идею отрицательного числа легче всего усвоить на целых числах, которые могут при этом служить новым интересным материалом для продолжения отработки навыков работы с натуральными числами. Получается экономия времени и сил.

В следующей главе («Обыкновенные дроби») отрицательные числа не нужны, но в упражнениях для повторения они рассматриваются. Свойства чисел любого знака (глава «Рациональные числа») сводятся к соответствующим свойствам целых чисел.

При желании главы III и IV можно переставить. Впрочем, в этом случае выражения типа 1—2 + 3 придется разъяснять после дробей—мы считаем это по крайней мере странным.

Десятичные дроби стоят у нас после обыкновенных дробей. Мы прямо скажем, что не можем согласиться с порядком изложения этих вопросов, предлагаемом в «Тематическом планировании» программы по математике для средней школы. По этому плану десятичным дробям предшествует малосущественный кусочек из обыкновенных дробей. Из него можно почерпнуть только понятие обыкновенной дроби, а также сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Основное свойство дроби, неизменность ее при сокращении (см. пример с тортом), предлагается рассматривать только через год. Но приведенных фактов о дробях недостаточно даже, чтобы обосновать, например, что 0,5=0,50.

Нельзя также согласиться с методом введения дробей любого знака (рациональных чисел), культивируемым в наших учебниках при полной поддержке методистов. Есть более простой способ—перспективный как с научной, так

и с педагогической точки зрения. Идея отрицательного числа вводится на целых числах, в дробном же случае она сводится к целым числам. Это естественно. Непонятно почему этот путь не используется. Наши читатели-учителя могут проверить этот вопрос на деле.

Мы употребляем буквы, но очень осторожно—только в той мере, когда кажется, что буква легче поясняет вопрос, чем пример с числом. В большей части рассуждений доказательства ведутся на характерных числовых примерах. Все же примеров, когда выгодно использование буквенных выражений, достаточно много, и, таким образом, книга вносит определенный алгебраический эле-мент в образование читателя.

Отметим, что вопросы, излагаемые в главах VIII и IX этой книги, предусмотрены школьной программой 7-го и следующих классов. Мы думаем, что при соответствующем элементарном изложений место этих вопросов должно находится на стыке 6-го и 7-го классов. Это даст истинную опору при изучении алгебры и геометрии. Кроме того, систематическое изложение арифметики предполагает определенную завершенность курса.

Мы выражаем благодарность учителю средней школы № 75 пос. Черноголовка Московской области Е. А. Веденеевой, обучавшей школьников по этой книге.

Высказанные выше идеи на практике проверены также одним из авторов книги А. В. Шевкиным при работе в школе № 679 г. Москвы.

Мы благодарны методической комиссии Математического Института АН СССР, которая положительно оценила материалы рукописи нашей книги, а также В. А. Скворцову и А. Б. Шидловскому за полезные советы.

Отметим, что данная книга может быть полезна тому, кто желает привести в порядок свои знания по арифметике, в частности при подготовке к вступительным экзаменам в техникумы и высшие учебные заведения.

Глава I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ

§ 1. Натуральный ряд

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . назы- ваются натуральными или целыми положительными числами.

Мы записали натуральные числа в порядке их возрастания. В таком виде они образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.

Число 0 не считается натуральным.

Для записи натуральных чисел пользуются десятичной системой счисления, в основе которой лежат знаки

0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

называемые цифрами.

Натуральные числа записываются при помощи цифр. Например, число 37 записано цифрами 3 и 7, число 108 — цифрами 1, 0 и 8, а число 5—цифрой 5.

На первом месте в натуральном ряду стоит число 1, за ним следует 2, далее 3 и так до 9; после 9, согласно правилам десятичного счисления, следует 10, а за 10 следует 11 и так далее.

В натуральном ряду нет последнего числа—за каждым натуральным числом следует еще одно натуральное число, за которым следует другое натуральное число и так далее. Все натуральные числа записать невозможно. Поэтому при записи натурального ряда выписывают несколько первых натуральных чисел, после которых ставят многоточие.

Важную роль в десятичной системе счисления играет число 10. Десять единиц называются десятком, десять десятков—сотней, десять сотен—тысячей и так далее. Эти названия используются при чтении натуральных чисел в десятичной системе счисления:

1—единица

10—десять

100—сто

1 000—тысяча

10000—десять тысяч

100000—сто тысяч

1 000000—миллион

10 000 000—десять миллионов 100000000—сто миллионов

1 000 000 000—миллиард 10000000000—десять миллиардов

100 000 000 000—сто миллиардов

УПРАЖНЕНИЯ

1. Назовите первые десять натуральных чисел.

2. Сколько различных цифр используется для записи натуральных чисел в десятичной системе счисления?

3. Является ли число 0 натуральным числом?

4. Прочитайте следующие числа:

100, 10000, 1000000, 10, 10 000000, 100000, 1000.

5. Как называется запись натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания (начиная с 1)?

6. Запишите следующие числа:

сто тысяч, миллион, сто, десять миллионов, десять тысяч, миллиард, тысяча, десять миллиардов, десять, сто миллиардов, сто миллионов.

§ 2. Строение натурального числа в десятичной системе счисления

В десятичной системе счисления один и тот же знак (цифра) имеет различные значения в зависимости оттого места (позиции), где он расположен.

В связи с этим для записи любых натуральных чисел необходимо только десять цифр для обозначения нуля и первых девяти натуральных чисел.

Если натуральное число записано одной цифрой, то оно называется однозначным, двумя цифрами—двузначным. тремя цифрами—трехзначным и так далее. Например,

1, 7, 9—однозначные числа,

11, 27, 99—двузначные числа, 320, 589 —трехзначные числа,

56321 —пятизначное число.

Нуль считается однозначным числом.

Первая цифра справа в десятичной записи натурального числа называется цифрой первого разряда или разряда единиц, вторая цифра справа—цифрой второго разряда или разряда десятков, третья—цифрой третьего разряда или разряда сотен.

Как определяются натуральные числа по их записи, видно из следующих примеров:

Число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц:

99 = 9 десятков+ 9 единиц.

Это можно записать так:

99 = 9-10 + 9-1.

Число 3278 состоит из 3 тысяч, 2 сотен, 7 десятков, 8 единиц: 3 278 = 3 тысячи Ч- 2 сотни Ч- 7 десятков Ч- 8 единиц или

3278 = 3-10004-2-100 4-7-10 + 8 1.

Вот еще примеры:

5 031 = 5 тысяч Ч- 0 сотен Ч- 3 десятка Ч-1 единица = = 5 тысяч Ч- 3 десятка Ч-1 единица

или

5 031 =5-1000Ч-0-ЮОЧ-3-ЮЧ-1 • 1 = 5.1000 Ч-З-Юч- 1 1.

20 012 = 2 десятка тысяч Ч-1 десяток Ч- 2 единицы = = 2.10000 4-1-104-2.1.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Приведите примеры:

1) двузначного числа; 2) трехзначного числа;

3) пятизначного числа; 4) семизначного числа.

2. В следующих числах укажите цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и так далее:

1) 123; 2) 102; 3) 4 387;

4) 12530; 5) 13287905; 6) 2000000006.

3. Является ли нуль однозначным числом?

4. Запишите число, состоящее из

1) одной тысячи, двух сотен, трех десятков и пяти единиц;

2) пяти десятков тысяч, девяти тысяч, семи сотен и четырех единиц;

3) восьми сотен, пяти десятков;

4) шести сотен тысяч и трех десятков.

5. Прочитайте следующие числа, запишите их в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 325 = 300+ 4-20 + 5.

1) 12638; 2) 138536; 3) 3 174 643.

6. Прочитайте следующие числа, запишите их в виде суммы произведений цифр разрядов на один, десять, сто и так далее. Например, 325 = 3-100 + 2-10 + 5-1. 1) 725; 2) 53 306; 3) 803 120.

7. Запишите числа:

1) восемьсот двадцать три тысячи триста семьдесят четыре;

2) семнадцать миллионов четыреста восемьдесят три тысячи пятьсот семь;

3) двести восемь тысяч пять;

4) тридцать две тысячи десять;

5) семьсот два миллиона семьдесят два.

8. Сколько цифр использовано для записи числа 18917? Сколько из них различных цифр?

9. Составьте все трехзначные числа, в записи которых используются цифры 0, 1, 2, без повторения одинаковых цифр в одном числе.

10. Какие цифры могут стоять в каждом разряде числа? Какие цифры могут стоять в высшем (наибольшем) разряде числа?

11. Сколько всего однозначных, двузначных, трехзначных натуральных чисел?

12. В книге пронумерованы все страницы с 1 по 148.

Сколько всего цифр потребовалось напечатать для нумерации страниц?

13. Для нумерации страниц в книге потребовалось напечатать 1989 цифр. Сколько страниц в книге?

14. Ученик токаря сделал 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей за смену изготовили токарь и ученик вместе?

15. Мальчик прочитал 42 страницы книги, и ему осталось прочитать на 2 страницы больше. Сколько страниц в книге?

§ 3. Сравнение натуральных чисел

Пусть а и Ь—натуральные числа. Число Ь считается большим числа а, если оно находится в ряду натуральных чисел

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, .

правее, чем число а. При этом пишут Ь>а и говорят «д больше а» или пишут а < Ь и говорят «а меньше д».

А Л в

I ! I I 1 ' Г ! I Г—

О 1 2 3 4-667

Рис. 1.1

Пример. На рис. 1.1 изображен отрезок Л В длиной 5 см и отрезок ЛР длиной 3 см.

Отрезок ЛР есть часть отрезка АВ, поэтому мы говорим, что длина АВ больше длины ЛР. Это соответствует тому, что 5 > 3, т. е. что в натуральном ряду число 5 находится правее числа 3.

Если а, Ь и с—натуральные числа и Ь в ряду натуральных чисел находится правее а, а с находится правее Ъ, то из этого следует, что с находится правее а. То есть из & > а и о>Ь следует, что с > а.

Пишут также это в виде двойного неравенства а<Ь <с, говорят «Ь больше а, но меньше с».

Но натуральные числа можно сравнивать и по их записи. Правила сравнения заключаются в следующем:

1. Числа равны, если у них одинаковое число разрядов и цифры соответствующих разрядов одинаковые.

Пример. 12345678 и 12345678 равны. В этом легко убедиться, записав одно число под другим.

2. Из двух чисел больше то, у которого число разрядов больше.

Пример. 3456> 987, потому что число 3456 содержит на один разряд больше числа 987.

3. Из двух чисел с одинаковым числом разрядов больше то, у которого цифра высшего разряда больше.

Пример. 2801 < 3 322, потому что оба числа четырехзначные и цифра высшего (четвертого) разряда первого числа меньше цифры высшего (четвертого) разряда второго числа (2 < 3).

4. Если цифры высшего разряда двух чисел (с одинаковым числом разрядов) одинаковые, то для сравнения этих чисел надо обратиться к наибольшему разряду, для которого цифры данных чисел различны. То из чисел больше, у которого цифра этого разряда больше.

Пример. 2817 < 2821, потому что оба числа четырехзначные, цифры их четвертых и третьих разрядов соответственно равны, а цифры второго разряда разные— у первого числа эта цифра меньше, чем у второго.

Каждое натуральное число а больше нуля. Это записывают так:

а > 0.

Натуральные числа называют еще целыми положительными числами. Число 0 тоже целое, но не положительное число.

Числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, . называют целыми неотрицательными числами. Это название оправдано тем, что кроме неотрицательных чисел есть еще и отрицательные числа, с которыми мы познакомимся позднее (в главе III).

Заметим, что выражение «цифра 2 меньше цифры 3» употреблялось нами для упрощения речи. На самом деле имелось в виду «число 2 меньше числа 3».

УПРАЖНЕНИЯ

1. Назовите число, которое следует в натуральном ряду за числом:

13, 276, 3590, 305 899, 999999999.

Математика - ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ

БОЛЬШЕ НЕТ

Математика - ЗАДАЧИ - РЕШЕНИЯ - УПРАЖНЕНИЯ

БОЛЬШЕ НЕТ

КНИГИ И УЧЕБНИКИ ПО АРИФМЕТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Автор - Никольский С.М., Автор - Потапов М.К., Автор - Решетников Н.Н., Автор - Шевкин А.В., ★Все➙ Учебники 5 класс, ★Все➙ Учебники 6 класс, ★Все➙ Для Учителей, ★ВСЕ➙Задачи - Решения - Упражнения, Математика - Арифметика, Задачники и решебники, Для учащихся средних классов, Математика - Для Учителей, Математика - Задачи - Решения - Упражнения, Математика - 6 класс, Математика - 5 класс, Математика - для средних классов

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика