Функции и построение графиков (Гурский) 1968 год - старые учебники

1. Область существования (определения) функции -

2. Границы изменения функции. Область плоскости, в которой расположен график 21

3. Четность и нечетность функции. Симметрия. Периодичность. 25

Б. Нахождение характерных точек графика 30

4. Точки пересечения графика с осями координат. Интервалы- знакопостоянства -

5. Граничные значения функции 32

6. Максимумы и минимумы функций -

В. Исследование вида кривых, изображающих функцию, на разных участках графика ... 33

7. Нахождение вертикальных и горизонтальных асимптот .... 34

8. Возрастание и убывание функции. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба 36

9. Порядок исследования функции и составления ее графика ... 37

Упражнения 41

Глава II. Построение простейших графиков

10. Графики линейных функций 42

11. Графики простейших степенных функций 45

12. Графики простейших степенных функций с отрицательными показателями 48

13. Графики простейших логарифмических функций 50

14. Графики простейших показательных функций 54

15. Графики простейших тригонометрических функций 57

16. Графики простейших обратных тригонометрических функций 65

Упражнения 70

Глава III. Вспомогательные приемы построения усложненных графиков

17. Параллельный перенос (сдвиг) оси х-ов 71

18. Параллельный перенос (сдвиг) оси у-ов 72

19. Растяжение и сжатие графика по оси х-ов 75

20. Растяжение и сжатие графика по оси у-ов 77

Глава IV. Построение усложненных графиков

21. Графики линейных функций 79

22. Графики квадратных функций 81

23. Графики некоторых степенных функций степени выше второй 95

24. Графики алгебраических функций с дробными показателями степени 98

25. Графики дробно-линейных функций 101

26. Графики логарифмических функций 105

27. Графики показательных функций ПО

28. Графики тригонометрических функций 114

29. Графики обратных тригонометрических функций 126

Глава V. Графики повышенной трудности

30. Графики сложных функций 132

31. Графики суммы и разности двух функций 159

32. Графики произведения и частного двух функций 174

33. Графики дробно-рациональных функций 180

34. Графики функций, заданных в неявном виде 188

35. Разные графики повышенной трудности 194

Упражнения 202

Ответы и указания к упражнениям 204

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Данное пособие предназначается для учителей математики средних школ, для учеников IX—X классов средних школ и для лиц, готовящихся к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения. Этим пособием могут пользоваться также студенты тех высших учебных заведений, где после изучения теории пределов и основ аналитической геометрии знание этих разделов закрепляется построением соответствующих графиков, как раз таких, какие приводятся в данном пособии. Автор сознательно исключил из средств, используемых при построении графиков, элементы высшей математики. Здесь излагается построение графиков средствами элементарной математики на основании исследования функций в той степени, в какой это возможно при пользовании только этими средствами. Известно, что методы высшей математики позволяют строить любой график. Однако знаний тех элементов высшей математики, которые даются в средней школе, для этой цели недостаточно. С другой стороны, большое количество графиков, иногда весьма интересных, может быть построено средствами исключительно элементарной математики. Наиболее трудные из этих графиков требуют для своего построения хорошего знания многих разделов элементарной математики, а подчас и остроумного применения этих знаний. Построение графиков средствами элементарной математики может служить материалом для закрепления и усовершенствования учениками и абитуриентами своих знаний по многим важным разделам элементарной математики. Математическая строгость формулировок в данном пособии иногда сознательно приносилась в жертву наглядности и легкости понимания учениками рассматриваемых вопросов. Тем не менее изучение исследования функций и построения их графиков по данному пособию, несомненно, будет хорошей подготовкой к дальнейшему усвоению методов более полного исследования функций средствами высшей математики. В этом пособии автор попытался обобщить свой многолетний опыт работы по подготовке абитуриентов к конкурсным экзаменам. Кроме того, был использован материал из различных задачников: П. С. Моденова, К. У. Шахно и др. Приведено большое количество примеров, предлагавшихся на конкурсных экзаменах при поступлении в различные высшие учебные заведения (Московский государственный университет, Физико-технический институт, Инженерно- физический институт, Энергетический институт, Высшее техническое училище им. Баумана и др.). Все замечания и пожелания по данной книге автор примет с благодарностью и просит направлять их по адресу: Москва, И-18, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Издательство «Просвещение», редакция математики. Автор ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Во второе издание внесены следующие исправления: заново написана вторая часть § 2. Исправлены неточности в построении нескольких графиков. Даны более простые объяснения к графикам, изображенным на чертежах 243, 244 и 246. График на чертеже 245 заменен другим, так как ранее помещенный здесь график функции |y|=lgx дан на чертеже 42. Исправлены замеченные опечатки. Приношу большую благодарность всем лицам, приславшим свои замечания по первому изданию. Автор ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ В третье издание внесены изменения и дополнения к § 8 гла- B£i I. В главе V несколько графиков, построенных недостаточно точно, изъято, так как их уточнение возможно только с помощью методов высшей математики. Добавлены примеры для самостоятельных упражнений. Внесены некоторые исправления в текст и исправлены замеченные опечатки. Приношу глубокую благодарность всем лицам, приславшим замечания ко второму изданию. Автор ВВЕДЕНИЕ Если две величины, характеризующие какой либо процесс, изменяются в ходе процесса так, что между изменением одной и другой из этих величин имеется определенная зависимость, то говорят, что между этими величинами существует функциональная связь или функциональная зависимость. Та переменная величина, которая в данном процессе изменяется независимо от другой величины, называется аргументом. Та же переменная величина, значения которой определяются значениями аргумента, называется функцией. Функциональная зависимость записывается символически так: У=Кх) и читается: у есть функция от х (игрек равняется эф от икс). Здесь х — аргумент, т. е. независимая переменная, У — функция, значение которой зависит от значения х. Определение. Переменная величина у называется функцией от переменной величины х (аргумента), если каждому допустимому значению х соответствует определенное значение у. Всякая функциональная зависимость между двумя величинами может быть изображена плоскостным графиком. Для этого на плоскость наносятся оси координат; горизонтальная — ось абсцисс и вертикальная — ось ординат. По оси абсцисс откладываются в некотором масштабе различные значения аргумента х — «абсциссы» различных точек графика, по оси ординат — соответствующие им значения функции у — «ординаты» тех же точек графика. Каждая пара координат, абсцисса и ордината, дает одну точку графика. На чертеже 1 построена точка М с координатами xt и yt. Эти координаты обычно записываются в скобках рядом и разделяются точкой с запятой. Точка обозначается: М (хх; Ух). Примечание. Точку М не следует искать на пересечении прямых тМ и т' М. Проще поступить так: отложить абсциссу От, затем из точки т отложить ординату тМ. На чертеже 1 ход построения точки показан стрелками. Мы здесь не будем рассматривать построение графиков по точкам, так как этот способ громоздкий, несмотря на свою кажущуюся простоту. К тому же он не всегда приводит к цели, вследствие того что без предварительного исследования функции могут быть пропущены наиболее интересные, характерные точки: вершины кривой, некоторые точки пересечения кривой с осями координат и т. д. Более того, самый характер кривой может быть искажен, притом тем сильнее, чем реже взяты точки; может оказаться невыявленной, например, симметрия кривой и т. д. Во избежание подобных недочетов и для того чтобы основное внимание уделить выявлению характера изучаемой функцио- Ордината точки М Ось абсцисс Абсцисса точки М Черт. 1. пальной зависимости, построению графика должно предшествовать исследование общих свойств заданной функции, нахождение вычислением основных, характерных точек графика и исследование поведения кривых графика на разных участках между этими точками. График строится по найденным характерным точкам и с учетом выявленных общих свойств функции и поведения кривых графика на различных участках. Для контроля правильности построения графика вычисляют дополнительно координаты одной или нескольких контрольных точек и наносят их на график. Контрольные точки служат также для уточнения кривых графика на отдельных участках. ГЛАВА I ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ЕЕ ГРАФИКА И ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА А. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ § 1. ОБЛАСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ (ОПРЕДЕЛЕНИЯ) ФУНКЦИИ Областью существования или областью определения функции называется совокупность всех значений аргумента, для которых функция определена (т. е. существует и имеет действительные значения). Например: 1) y=arcsinx — функция существует при (1) 2) У=1ёх — функция существует при 0<х<оо; (2) 3) у=Т/х*— 9 — функция существует и имеет действительные значения при (3) Совокупность всех точек числовой оси, заключенных между двумя какими-нибудь точками этой оси, называется промежутком. Крайние точки промежутка называются концами промежутка. Промежуток с включением его концов называется замкнутым или закрытым промежутком, а также отрезком или сегментом. Например, область существования функции y=arcsinx (пример 1) — замкнутый промежуток (сегмент, отрезок) от —1 до +1. Наряду с обозначением (1) для замкнутого промежутка употребляется и такое обозначение: [-1, 11. (1а) Промежуток без включения его концов называется открытым промежутком или интервалом. Для функции y=lgx (пример 2) область существования — открытый промежуток (интервал) от 0 до <х>. Для открытого промежутка (интервала) наряду с обозначением (2) употребляется обозначение (О, со). (2а) Если один конец присоединяется к промежутку, а другой нет, то такой промежуток, открытый с одной стороны и замкнутый с другой, называется полуоткрытым промежутком или полуинтервалом. Для функции у=1 два полуинтервала: и х2— 9 (пример 3) область (—ОО, — 3] [3, со) существования — (За) Примечание. Из приведенных обозначений общепринятыми являются лишь понятия «промежуток», «отрезок» и «сегмент». Понятие «интервал» многими авторами применяется для обозначения всякого промежутка; тогда говорят: «открытый интервал», «закрытый интервал», «полуоткрытый интервал», так же как «закрытый, открытый и полуоткрытый промежутки». На графике промежутки существования функции обозначаются утолщением оси абсцисс (черт. 2), причем замкнутый конец промежутка обозначается точкой (черт. 2, а и 2, в), а открытый конец (не включенный в область существования) — кружком (черт. 2,6), стрелкой (черт. 2, б и 2, в) или совсем не обозначается. • Г1 ’ (а) y=arcsinx J . • Черт. 2. Если отыскание области существования функции не является самостоятельной задачей, а служит для построения графика этой функции, то рекомендуется промежутки существования ограничивать на чертеже вертикальными штриховыми прямыми, как показано на чертеже 2, а и 2, в. Примеры Функция не существует, когда знаменатель равен нулю. Следовательно, в области существования функции должно выполняться условие: х2 3—1#=0, откуда х2#=1, или х#=±1. Таким образом, область существования функции состоит из трех интервалов: (—оо, —1); (—1, 1); (1, оо). 2. у= V1 —х2. Функция не существует, когда подкоренное выражение отрицательно. Следовательно, имеем: 1—х2>0, откуда х2^1, т. е. —1 < х «С 1. Область существования функции — отрезок [—1,1]. 3. у=Ух—1. Имеем: х—1>0, откуда х>1. Область определения функции — полуинтервал [1; оо). 4. у— . УТП В отличие от предыдущего примера подкоренное выражение не может равняться нулю. Имеем: х—1>0, откуда х>1. Область существования функции — интервал (.1, сю). Здесь должны быть рассмотрены следующие ограничения: 1) х + 1 > 0, откуда х> —1; .2) х — 1 > О, откуда х > 1; 3) Ух+1^Ух— 1, откуда х+1=^Х— 1, т. е. 1=^—1, что выполняется всегда. Следовательно, х > 1. Область существования функции — полуинтервал [1, оо). Система ограничений: 1) х + 1 >0, откуда х >—1; 2) х — 2 > 0, откуда х > 2; 3) l^x-f-l^P^x — 2, что выполняется всегда. Получаем х > 2. Область определения функции — полуинтервал [2, оо). X— 1 7. у= x+l Необходимо, чтобы — >0 и х4-14=0. х+1 Получаем систему, включающую 2 неравенства и 1 уравнение: х— 1 х+1 X — 1 3) Х+1 =# 0. Первое неравенство выполняется в двух случаях: 1а 16 х — 1 >0 х 4~ 1 > 0 х— 1 <0 х 4- 1 <0 , откуда , откуда т. е. (х<1 (х<—1 х>1; , т. е. х<—1. Из условия (3) следует: х-]-1у=0, т. е. х#=—1. Из уравнения (2) следует: х— 1=0, т. е. х=1. Таким образом, условия (1а) и (2) дают х>1, а условия (16) и (3) дают х<—1. Область определения заданной функции состоит из одного открытого и одного полуоткрытого промежутков: (—со; —1); [1; со). 8. y=V—х2+5х — 6. Имеем: —х2+5х—6>0. Решаем уравнение —х2+5х—6=0, или, что то же самое, х2 — 5х4-6=0. Корни уравнения: xt=2, х2=3. Так как коэффициент при 1-м члене квадратного трехчлена (стоящего под радикалом) отрицательный, то областью положительных значений трехчлена будет промежуток между корнями xt и х3 уравнения. К области определения относятся также и корни хг и х2, соответствующие нулевым значениям трехчлена. Следо-вательно, область определения функции представляет собой замкнутый промежуток [2; 3]. 9. y=lg(—Х24-5Х—6). Область существования этой функции отличается от области существования предыдущей функции только тем, что в нее не входят концы промежутка, так как — х2 |-5х — 6>0. Следовательно, область существования данной функции — интервал (2, 3). Ю. y=lg (*~2) & ха Здесь должны быть введены следующие условия: 1) знаменатель не может принимать значение, равное нулю, т. е. х2#=0, откуда следует х#=0; (х — 2) (х — 3) Л 2) - — >0; а так как знаменатель — существенно по ложительная величина, то отсюда вытекает, что (х—2) (х — 3)>0. Решение этого неравенства приводится к решению двух систем: 1) I Х~ 2>°’ и 2) ( Х~ 2<°’ ( х — 3>0 ( х — 3<0. Откуда Xj>3 и х2<2. Итак, имеем: —оо<х<0; 0<х<2; 3<х<оо. Область определения функции состоит из трех интервалов: (—оо; 0); (0; 2); (3; со). 11 .- y=lg[x(x — 3)(х+5)]. Выражение в квадратных скобках должно быть положительным, т. е. х(х — 3)(х+5)>0. Покажем два способа решения задачи. 1-й способ. Неравенство выполняется, если 1) ' х>0, х — 3>0, х-|-5>0, откуда получаем х>3, либо 2) х > 0, х — 3<0, х + 5<0, — система противоречива, либо 3) х — 3>0,' х < О, х + 5<0, — система противоречива, либо, наконец, 4) х + 5>0, х < О, х — 3<0, откуда получаем: —5<х<0. Учитывая условия (1) и (4), находим, что область существования заданной функции состоит из двух интервалов: (—5; 0) и (3; оо). 2-й способ. Корни (0; 3; —5) многочлена, находящегося в левой части неравенства х(х— 3)(х+5)>0, расположим в порядке возрастания: —5; 0; 3. Построим интервалы: (—оо; —5); (—5; 0); (0; 3); (3; оо). Эти интервалы являются интервалами знакопостоянства многочлена х(х—3)(х4-5), так как границами смежных интервалов являются корни многочлена. При переходе из одного интервала в смежный с ним многочлен меняет знак. В крайнем левом интервале, например при х— —10, многочлен —10(—10 — 3)-(—10+5)<0. Следовательно, положительным многочлен будет во 2-м и 4-м интервалах. Отсюда заключаем, что область существования заданной функции— два интервала: (—5; 0) и (3; со). Из сравнения обоих способов решения неравенств, у которых левая часть состоит из произведения нескольких двучленов, легко видеть, что уже при трех двучленах 2-й способ предпочтительнее. Этот способ называется способом интервалов.