Алгебра и элементарные функции (часть 2) 10 класс (Кочетков, Кочеткова) 1974 год - старые учебники

• 158. Преобразование суммы (разности) синусов двух углов в произведение 20

$ 159. Преобразование суммы (разности) косинусов двух углов в произведение 22

• 160. Преобразование суммы (разности) тангенсов двух углов 24

$ 161. Графики тригонометрических функций кратных углов 26

$ 162. Графики функций у = A sin сох. у = A coscox, у = A tgcox, у — = A cig сох 28

• 163. Графики тригонометрических функций у = A sin [со (х + а)|, у = = A cos [со (х + а)] и т д. . 34
• 164. Графики функций у — A sin (сох + а), у = A cos (сох + а) и т. д. 39
• 165. Гармоническое колебание . 41

$ 166. Гармоническое колебание в электротехнике . 43

f 167, Преобразование выражения a sin к + b cos х путем введения вспомогательного угла. 45

$ 168. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты . , • 47

• 169. Доказательство тригонометрических тождеств . 48
• 170. Равенства, содержащие выражения arcsin a, arccos а и т. д. . 51

$ 171. Тригонометрические уравнения 52

• 172. Графический способ решения тригонометрических уравнений . 59

Задачи на повторение 61

• 173. Из истории тригонометрии 63

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII

$ 174. Степень положительного числа с положительным рациональным показателем . 65

$ 175. Степень положительного числа с положительным иррациональным показателем . 66

• 176. Степень положительного числа с отрицательным иррациональным показателем . 69

$ 177. Основные свойства степеней положительных чисел с действительными показателями —

$ 178, Показательная функция и ее график 70

$ 179. Основные свойства показательной функции . 73

• 180 Логарифм числа по данному основанию 78
• 181. Логарифмическая функция и ее график . 81
• 182. Основные свойства логарифмической функции . 84

$ 183. Логарифм произведения и частного . 88

• 184. Логарифм степени и корня . 90
• 185. Переход от одного основания логарифмов к другому 92
• 186. Логарифмирование и потенцирование 93
• 187. Целая и дробная части числа . 96
• 188. Десятичные логарифмы и их свойства . 97
• 189. Таблицы десятичных логарифмов . 101
• 190. Таблицы антилогарифмов 103
• 191. Таблицы десятичных логарифмов тригонометрических функций 104
• 192. Действия над логарифмами . 105
• 193. Примеры вычисления с помощью таблиц логарифмов 107
• 194. Натуральные логарифмы . 108
• 195. Обоснование действий на логарифмической линейке . 109
• 196. Основные способы решения показательных уравнений . 111
• 197. Основные способы решения логарифмических уравнений . 114

$ 198. Примеры графического решения показательных и логарифмических уравнений. . 119

• 199. Показательные и логарифмические неравенства 121

$ 200. Из истории открытия логарифмов. 122

Задачи на повторение 123

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX

$ 201. Постоянные и переменные величины. Понятие функции. 126

$ 202. Способы задания функций . 128

$ 203. Область определения и область изменения функции . 132

$ 204. Возрастание и убывание функций 137

$ 205. Экстремальные значения функции . 139

• 206. Четные и нечетные функции 143
• 207. Периодические функции . 146

$ 208. Обратные функции 148

• 209. Взаимное расположение графиков прямой и обратной функций . . 151

$ 210. Краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций . . . 152

1. Квадратная функция у = ах² + Ьх + с (а =/= 0). 153

2. Степенная функция у = х^г . 155

3. Тригонометрические функции . 156

4. Показательная функция у = а^х (а 0, а ± 1) 157

5. Логарифмическая функция у — log_a х (а 0, а Ф 1) —

• 211 Предел функции . 158
• 212. Основные теоремы о пределах функций . 162
• 213. Некоторые тригонометрические неравенства и их использование при нахождении пределов 165

sin х

• 214. Предел отношения —-— при х -► 0 167

$ 215. Примеры вычисления пределов 169

• 216. Из истории развития понятий функции и предела 171

Задачи на повторение . —

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

• 217. Равномерное и переменное движение по прямой. Скорость и средняя скорость движения . 173
• 218. Закон движения. Мгновенная скорость движения 174
• 219. Производная функции 176
• 220. Дифференцируемые функции 179
• 221. Касательная к кривой. 180
• 222. Геометрическое истолкование производной 182
• 223. Вынесение постоянного множителя за знак производной 183
• 224. Производная суммы функций —
• 225. Дифференцирование произведения двух функций 185

$ 226. Производная дроби . 186

$ 227. Производная степенной функции. 187

• 228. Производная многочлена. 189
• 229. Дифференцирование тригонометрических функций —
• 230. Дифференцирование функции / (ах + Ь) 192
• 231. Понятие о второй производной. Производные высших порядков . . 193
• 232. Выражение коэффициентов многочлена через значения его производных 195
• 233 Формула бинома Ньютона. 196
• 234. Ободном свойстве биномиальных коэффициентов 198
• 235. Применение формулы бинома Ньютона к приближенным вычислениям . 199
• 236. Применение производной к нахождению участков возрастания и участков убывания функций 201
• 237. Применение производной к нахождению локальных экстремумов функции 202
• 238. Наименьшее и наибольшее значения функции в заданном интервале 205
• 239. Использование производных для исследования дифференцируемых функций и построения их графиков . 206
• 240. Применение производной к графическому решению уравнений . . 210
• 241. Исторические замечания 211

Задачи на повторение . —

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI

• 242. Числовые поля 213
• 243. Постановка задачи о расширении поля действительных чисел. Комплексные числа. 215
• 244. Сложение комплексных чисел Противоположные числа. 217

$ 245. Вычитание комплексных чисел . 218

$ 246. Умножение комплексных чисел. 219

• 247- Деление комплексных чисел 220

$ 248. Поле комплексных чисел . 222

$ 249. Геометрическое изображение комплексных чисел 224

$ 250. Действительные и чисто мнимые числа 227

$ 251. Сопряженные числа. Практический способ деления комплексных чисел 229

$ 252. Степени мнимой единицы 231

$ 253. Извлечение корней квадратных из отрицательных чисел. Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами —

$ 254. Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами 233

$ 255. Двучленные уравнения 4-й степени с действительными коэффициентами 235

$ 256. Тригонометрическая форма комплексных чисел . 236

$ 257. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме . 240

$ 258. Извлечение корней из комплексного числа. 241

$ 259. Алгебраическое уравнение л-й степени. 243

$ 260. Исторические замечания. 245

Задачи на повторение . 246

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ XII

$ 261. Общие и частные утверждения. Дедукция и индукция . 248

$ 262. Метод математической индукции . 250

$ 263. Другой вариант метода математической индукции . 253

• 264. Замечание к методу математической индукции 255

Задачи на повторение всего курса алгебры и элементарных функций . 256

Ответы к упражнениям 268

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ

VII

Расстояние между двумя точками плоскости. Системы координат § 149

Каждая точка А плоскости характеризуется своими координатами (х, у). Они совпадают с координатами вектора ОА, выходящего из точки О — начала координат (рис. 216).

Пусть Л и В — произвольные точки плоскости с координатами (х_ь уО и (х_а,у,) соответственно (рис. 217). Тогда вектор АВ имеет, очевидно, координаты (х_а — х_ь у_а — y_t). Известно, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат (см. ч. I, § 92). Поэтому расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, определяется из условия

d^a = (x_a-x₁)^J + (y₂-y₁)«.

Отсюда

^d — — Xj^a + (у_а — yj².

Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек.

Каждый раз, говоря о координатах той или иной точки плоскости, мы имеем в виду вполне определенную систему координат хОу. А вообще-то систему координат на плоскости можно выбирать по-разному. Так, вместо системы координат хОу можно рассмотреть систему координат х'Оу' (рис. 218), которая получается в результате поворота старых осей координат вокруг

Рис. 217.

Очевидно, что в системе ординаты (cos a, sin а), а наты (1, 0).

начальной точки О против часовой стрелки на угол а. Если некоторая точка плоскости в системе координат хОу имела координаты (х, у), то в новой системе координат х'бу' она будет иметь уже другие координаты (х', у¹).

В качестве примера рассмотрим точку М, расположенную на оси Ох’ и отстоящую от точки О на расстоянии, равном 1 (рис. 218). координат хОу эта точка имеет в системе координат х'Оу’ коорди-

Координаты любых двух точек плоскости Л и В зависят от того, как в этой плоскости задана система координат. А вот расстояние между этими точками не зависит от способа задания системы координат. Это важное обстоятельство будет существенно использовано нами в следующем параграфе.

Упражнения

1024. Найти расстояния между точками плоскости с координатами:

1) (3, 5) и (3, 4); 3) (0, 5) и (5, 0); 5) (—3, 4) и (9, -17);

2) (2, 1) и ( -5, 1); 4) (0, 7) и (3, 3); 6) (8, 21) и (1, -3).

1025. Найти периметр треугольника, стороны которого заданы уравнениями:

х 4- у — 1=0, 2х — у — 2 = 0 и у = 1.

1026. В системе координат хОу точки М и N имеют координаты (1,0) и (0, 1) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается в результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° против часовой стрелки.

1027. В системе координат хОу точки М и N имеют коорди- / у^г"з~ 1 \

наты (2, 0) и I—у) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается в результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° по часовой стрелке.

Кооннус суммы и рамости двух углов

$ 150

В этом параграфе будут доказаны следующие две формулы: cos (а + 0) = cos а cos 0 — sin а sin 0, (1)

cos (а — 0 ) = cos а cos 0 -f- sin а sin 0. (2)

Косинус суммы, (разности) двух углов равен произведению косинусов этих углов минус (плюс) произведение синусов этих углов.

Нам удобнее будет начать с доказательства формулы (2). Для простоты изложения предположим сначала, что углы а и 0 удовлетворяют следующим условиям:

1) каждый из этих углов неотрицателен и меньше 2л: 0 а • 2л, 0 0 2л;

2) а 0.

Пусть положительная часть оси Ох является общей начальной стороной углов а и 0 (рис. 219). Конечные стороны этих углов обозначим соответственно через ОА и ОВ. Очевидно, что угол а — 0 можно рассматривать как такой угол, на который нужно повернуть луч ОВ вокруг точки О против часовой стрелки, чтобы его направление совпало с направлением луча 04.

На лучах ОА и ОВ отметим точки М и Af, отстоящие от начала координат О на расстоянии 1, так что ОМ = ON = 1. В системе координат хОу точка М имеет координаты (cos а, sin а), а точка N — координаты (cos 0, sin 0). Поэтому квадрат расстояния между ними равен:

сР_{ = (cos а — cos 0)’ 4- (sin а — sin 0)’ = cos’ а — 2 cos а cos 0 4- 4- cos’ 0 4- sin’ а — 2 sin a sin 0 4- sin’ 0 =

= 2(1 — cos a cos 0 — sin a sin 0).

При вычислениях мы воспользовались тождеством

sin’ ф 4- cos’ ф = 1.

Теперь рассмотрим другую систему координат ВОС, которая получается путем поворота осей Ох и Оу вокруг точки О против

часовой стрелки на угол 0. В этой системе координат точка М имеет координаты (cos (а — 0), sin (а — 0)), а точка N — координаты (1, 0). Поэтому квадрат расстояния между ними равен:

%= [cos (а —0) — 11’4- [sin (а — 0) — —0 ]^a = cos’ (а— 0) — 2 cos (а — 0)4- 4-14-sin’(a — 0) = 2 [1 —cos(а—0)1.

Но расстояние между точками М и N не зависит от того, относительно какой системы координат мы рассматриваем эти точки. Поэтому

di = dl, или

2(1 — cos a cos Р — sin а sin Р) = 2 [1 — cos (а — Р) 1.

Отсюда и вытекает формула (2).

Теперь следует вспомнить о тех двух ограничениях, которые мы наложили для простоты изложения на углы а и р.

Требование, чтобы каждый из углов а и Р был неотрицательным, на самом деле не существенно. Ведь к любому из этих углов можно прибавить угол, кратный 2л, что никак не отразится на справедливости формулы (2). Точно так же от каждого из данных углов можно вычесть угол, кратный 2л. Поэтому можно считать, что 0 а • 2л, 0 Р 2л.

Не существенным оказывается и условие а р. Действительно, если а Р, то р а; поэтому, учитывая четность функции cos х, получаем:

cos (а — Р) = cos (Р — а) = cos Р cos а 4- sin р sin а, что по существу совпадает с формулой (2).

Таким образом, формула

cos (а — Р) = cos а cos Р + sin а sin Р

верна для любых углова и р. В частности, заменяя в ней Р на —р и учитывая, что функция cos х является четной, а функция sin х нечетной, получаем:

cos (а + Р) = cos [а — ( —Р) ] = cos а cos ( —Р) 4- sin а sin ( —Р) = = cos а cos Р — sin а sin Р,

что доказывает формулу (1).

Итак, формулы (1) и (2) доказаны.

Примеры.

1) cos 75° = cos (30°4- 45°) = cos 30° • cos 45°— sin 30° sin 45°=

_ /"3 v~2 1 v~2 _ ]/T — /T

— 2 2 2 2 ^— 4

2) cos 15° = cos (45° —30°) = cos 45° • cos 30°4-sin 45° • sin 30° =

_ У~2 /Т /Y J_ _ /‘6 4-/У

^— 2 * 2 ⁺ 2 ’ 2 ~ 4

Упражнения

1028. Вычислить, не пользуясь тригонометрическими таблицами:

a) cos 17° • cos 43° — sin 17° • sin 43°;

ные. По-видимому, они уже владели элементарными тригонометрическими понятиями.

Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их автором был греческий астроном Гиппарх. Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершенствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрийского астронома Птолемея. Таблицы Птолемея подобны таблицам синусов углов от 0° до 90°, составленным через каждые четверть градуса. В «Альмагесте», в частности, есть формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, содержатся также элементы сферической тригонометрии*.

В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригонометрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике» Насир Эддина (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты. Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого ученого Региомонтана (XV век) Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках* содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составле ны также довольно подробные тригонометрические таблицы.

Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисел позволило рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью.

Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Эйлер. Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями (см. гл VIII).

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, гак называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и пр.

* Сферическая тригонометрия рассматривав! углы и другие фигуры не на плоскости, а на сфере.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ

И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

VIII

Степень положительного числа с положительным рациональным показателем § 174

В главе IV (часть I) было дано определение степени положительного числа а с рациональным показателем г. Напомним это определение.

Если число г — натуральное, то а^г есть произведение г чисел, каждое из которых равно а:

а^г = а • а • . • а. (1)

Если число г — дробное и положительное, то есть г = —, где п

т и п — натуральные числа, то т

a^r = а^п =

(2)

Формулы (1) и (2) определяют степени любого положительного числа а с любым положительным рациональным показателем г. Если же показатель г является рациональным и отрицательным, то выражение а^г определяется как величина, обратная к а~^г:

а' = (3)

а~^г

Здесь уже число —г положительно.

Наконец, если г = 0, то а^г равно 1: а⁰ = 1.

(4)

Формулы (1), (2), (3) и (4) определяют степень положительного числа а для любого рационального показателя г.

Для дальнейшего нам потребуются следующие две теоремы.

Теорема 1. Если, число а больше 1, то из двух степеней этого числа с положительными рациональными показателями больше та, показатель которой больше.

Доказательство. Пусть а 1 и — —, где т, п, р и п Я

q — натуральные числа. Покажем, что

Г7 Р

3 Заказ 1159

65

Степень положительного числа с отрицательным иррациональным показателем

I 170

Если а О и х — положительное иррациональное число, то по определению

а-' = (О

а^л

-У2~ • (

^-з^/2“' Ь)

Например, 1 J_\i -т з /

Чтобы введенное определение было корректным, необходимо показать, что дробь — в правой части равенства (1) имеет а^х

смысл при любых положительных а и х. Для этого нужно доказать, что

а^х 0.

Действительно, по определению степени с положительным иррациональным показателем

а^х' а^х а^х",

где одно из чисел х^г и х" есть десятичное приближение числа х с недостатком, а другое — соответствующее десятичное приближение этого числа с избытком. Числа х' и х" рациональные и положительные. Поэтому а^х' 0 и а^х" 0. Но число, заключенное между двумя положительными числами, само должно быть положительным. Поэтому а^х 0.

Итак, мы определили степень положительного числа с любым действительным показателем. Степень отрицательного числа с действительным показателем, вообще говоря, не определена.

Основные свойства степеней положительных чисел с действительными показателями $ 177

Степени положительных чисел обладают следующими основными свойствами:

1) а^х . аУ = а^х+У, 3) (ab)^x = а^хЬ^х, 5) (а^х)? = а^х*. а^__ ^х-у (а_\^х _а^_

2) аУ ’ 4) U/ “И’

Зги свойства были частично доказаны нами в главе IV (ч. I) для рациональных показателей. На самом же деле они верны и для иррациональных показателей. На доказательстве этого факта мы не будем останавливаться.

В определении показательной функции у = а* указывается, что число а положительное. Объясняется

это тем, что степень отрицательного _

числа с произвольным показателем, вообще говоря, не определена. ¹

Среди всех положительных значений а следует особо выделить ^z

а = 1. При таком а функция у=а^х

имеет вид у = 1 (рис. 245). Такая функция не представляет особого интереса. Поэтому в дальнейшем, говоря о показательной функции у = а^х, мы всегда будем предполагать, что а 0 и 1.

Перейдем к построению графика показательной функции. В качестве примера на одном чертеже построим графики функций у = 2^х и у = 10^х, а на

другом — графики функций Н?) ^пу = (Го)-^Для этого предварительно составим таблицы значений этих функций. Для функций у=2^х /1 V и у = (— в качестве значений х выберем

(1 \^х

—j целесообразно выбрать

другие значения х, поскольку при х = ±2, +3 указанные функции принимают либо слишком большие, либо слишком

(1 \³ 1

— I - . Такие значения у трудно зафиксировать на графике. Поэтому в данном случае в качестве значений х удобнее выбрать, например, такие числа: —1, 0, -, -, - и 1.

4 4 4 4 4 4

Соответственные значения у можно вычислить последовательно: 10° = 1.

2_

10⁴ .= ^10 = КJ/I0 ^/3,1622^ 1,8;

2 I

10 ⁴ = 10 ² = /То^3,2;

АЛГЕБРА

И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 10 класс

Редактор И. С. Михеев

Переплет художника А. С. Котлярова Художественный редактор Е. Н. Карасик Технический редактор В. Ф. Коскина Корректор М. В. Голубева

Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.

Цена 27 коп.