Начальная алгебра (Гончаров) 1960 год - старые учебники

§ 9.Прямая пропорциональность 44

§ 10.Обратная пропорциональность 48

§ 11.Графическое представление зависимости между величинами 52

§ 12.Пропорциональное деление. Прямоугольные и секторные диаграммы 54

Повторительные упражнения кглаве II 57

447

Глава 111. Свойства арифметических действий. Равенства и неравенства 61

§ 13.Сложение

§ 14Вычитание 64

§ 15.Умножение 66

§ 16.Деление • 70

§ 17.Все действия 74

§ 18Равенства и неравенства —

§ 19.Основные свойства равенств и неравенств 77

§ 20.Числовой луч 79

§ 21.Координатный угол 82

Повторительные упражнения к главе III 84

Глава IV. Положительные и отрицательные числа 87

§ 22.Числовая прямая (ось) —

§ 23.Сложение положительных и отрицательных чисел 92

§ 24.Вычитание положительных и отрицательных чисел 96

§ 25.Умножение положительных и отрицательных чисел 101

§ 26.Деление положительных и отрицательных чисел 106

§ 27.Все действия с положительными и отрицательными числами 108

§ 28.Координатная плоскость ПО

Повторительные упражнения к главе IV 113

Г л а в а V. Тождественные преобразования (I) 115

§ 29.Коэффициент и показатель степени. Одночлены и многочлены —

§ 30.Возведение в степень 120

§ 31.Умножение одночленов 122

§ 32.Сложение и вычитание одночленов 123

§ 33.Сложение и вычитание многочленов 127

§ 34.Умножение многочлена на одночлен 129

§ 35Буквенные подстановки 131

Повторительные упражнения к главе V 139

Глава VI. Решение линейных уравнений и текстовых задач 138

§ 36.Тренировка —

§ 37.Дальнейшие свойства равенств 140

§ 38.Основной прием решения уравнений 142

§ 39.Решение задач посредством уравнений 148

§ 40.Уравнения, имеющие вид пропорции 152

Повторительные упражнения к главе VI 153

Глава VII. Тождественные преобразования (II) 156

§ 41.Умножение многочлена на многочлен —

§ 42.Квадрат суммы и разности 159

§ 43Произведение суммы на разность 162

§ 44.Куб суммы и разности 163

§ 45Разность и сумма кубов 166

§ 46.Деление на одночлен 167

§ 47.Разложение многочлена на множители 168

§ 48.Выделение квадрата из трехчлена 171

Повторительные упражнения к главе VII 172

Глава VIII. Расположенные многочлены 175

§ 49.Многочлены с одной буквой —

§ 50.Десятичная система счисления 182

§ 51Задачи на делимость 185

§ 52.Деление многочленов 188

§ 53.Разложение многочленов на множители 192

§ 54.Многочлены с двумя буквами 194

§ 55.Буквенные коэффициенты 197

Повторительные упражнения к главе VIII 202

Глава IX. Алгебраические уравнения и их геометрическое истолкование 205

§ 56.Уравнение с одной буквой (неизвестным) —

§ 57Уравнение с двумя буквами (переменными) 208

§ 58.Линейное уравнение с двумя переменными 214

§ 59.Нелинейные уравнения с двумя переменными 222

Повторительные упражнения к главе IX 230

Глава X. Алгебраические дроби 232

§ 60.Общие замечания о дробях —

§ 61Умножение и деление дробей 238

§ 62.Сложение и вычитание дробей 242

§ 63.Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) 246

§ 64.Более сложные случаи сложения и вычитания дробей 249

§ 65Сложные дроби 253

§ 66Все действия с дробями 255

§ 67.Расположенные многочлены в числителе и знаменателе дроби. Выделение целой части из неправильной дпоби 259

§ 68.Вынесение за скобки каких угодно выражений 261

Повторительные упражнения к главе X 263

Глава XI. Системы уравнений 270

§ 69.Основныепонятия —

§ 70.Линейные системы. Способ подстановки 272

§ 71Способ уравнивания коэффициентов 276

§ 72.Особенные случаи 280

§ 73.Геометрическое представление решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. 282

§ 74.Примеры и задачи 285

§ 75.Обшие соображения по поводу решения систем уравнений 288

§ 76.Исключение буквы из двух уравнений 293

Повторительные упражнения к главе XI 295

Глава XII. Квадратные и кубические корни. Приближенное решение уравнений с числовыми коэффициентами 300

§ 77.Корни (арифметические) —

§ 78.Извлечение корней непосредственно и с по

мощью таблиц 306

§ 79.Понятие об алгебраических корнях 309

§ 80.Нахождение промежуточных значений по таблице 310

§ 81.Употребление таблиц при решении простейших геометрических задач 314

§ 82.Приближенное определение корней уравнения . 317

§ 83.Применение радикалов к решению квадратных уравнений с числовыми коэффициентами 319

§ 84.Некоторые действия с радикалами 323

Повторительные упражнения к главе XII 327

Общие повторительные упражнения 328

Таблицакорней квадратных 348

Таблицакорней кубических 349

Неполная запись и округление чисел 350

Методические указания 351

Общиеположения и предупреждения —

ГлаваI. Буквенные выражения 355

Глава II. Простейшие графические представления. Прямая и обратная пропорциональность 363

Глава 111. Свойства арифметических действий. Равенства и неравенства ’ 367

Глава IV. Положительные и отрицательные числа 374

Глава V. Тождественные преобразования (I) 380

Глава VI. Решение линейных уравнений 384

Глава VII. Тождественные преобразования (II) 388

Глава VIII. Расположенные многочлены 392

Глава IX. Алгебраические уравнения и их геометрическое истолкование 401

Глава X. Алгебраические дроби 408

Глава XI. Системы уравнений 416

Глава XII. Квадратные и кубические корни. Приближенное решение уравнений с числовыми коэффициентами 424

Общие повторительные упражнения 431

Примерные тексты контрольных работ (по главам) 437

ОТ РЕДАКТОРА

Василий Леонидович Гончаров (1896—1955), член- корреспондент Академии педагогических наук, профессор, крупный ученый — математик и методист.

В течение ряда лет, начиная с 1919 г., Василий Леонидович вел большую преподавательскую работу в университетах, педагогических институтах, технических высших учебных заведениях.

С момента организации Академии педагогических наук РСФСР (1944) он руководил кабинетом (позднее сектором) методики преподавания математики, где вел научно-исследовательскую работу.

В. Л. Гончаровым опубликованы труды, относящиеся к теории приближений функций, теории интерполирования, теории функций комплексного переменного и другим разделам математики.

В. Л. Гончаров является одним из первых больших советских ученых, работавших в области методики преподавания математики. Он — автор и составитель многих методических работ для преподавателей средней школы («Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах школы», «Вычисли-тельные и графические упражнения с функциональным содержанием в старших классах школы», «Математика как учебный предмет» и др.).

Василий Леонидович известен так же как переводчик и редактор математической литературы (собрания сочинений Б. Римана, книги Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика» и др.), как участник издания «Энциклопедии элементарной математики».

Предлагаемый вниманию учителей математики курс алгебры В. Л. Гончарова обладает многими интересными и весьма ценными особенностями. Автор книги — крупный педагог и знаток детской психологии. В книге содержится множество тонких и полезных замечаний, обращенных к читателю и помещенных как раз в тех местах, где есть опасность, что излагаемый материал будет понят превратно. Помимо этого, книга снабжена еще специальными «Методическими указаниями».

При чтении книги бросается в глаза живость изложения. Иллюстрации, примеры, упражнения, задачи подобраны так, что пробуждают интерес даже у того ученика, который не особенно склонен заниматься математикой.

Замысел автора состоял, по его выражению, в том, чтобы его книга служила первой, подготовительной ступенью к изучению математического анализа. Идя к этой цели, автор стремится пронизать свой курс функциональным содержанием. Эта же линия находит свое выражение и в том, что автор широко пользуется при изложении алгебры различными геометрическими интерпретациями.

Все это делает книгу проф. В. Л. Гончарова весьма полезной для школы, особенно в период ее перестройки.

И. Н. Шевченко

ВВЕДЕНИЕ

Институт методов обучения АПН РСФСР, в котором была задумана и выполнена книга, издавал ее уже в качестве макета, по которому проводилась экспериментальная работа в ряде школ. Результаты проверки убедили автора в том. что предлагаемая им система обучения обеспечивает сознательные и прочные навыки учащихся, имеющие основное значение для дальнейшего изучения матема-тики и опирающихся на математику дисциплин, нужных в практической деятельности. Поэтому автор и решил ознакомить с этой системой возможно более широкий круг учителей.

При первом взгляде на страницы книги может возникнуть впечатление, будто здесь предлагается обучать математическому анализу или аналитической геометрии. Но такое впечатление совершенно ошибочно.

Мы хотим, чтобы в процессе преподавания учащимся по разным поводам и в различных формах много раз и даже, можно сказать, на каждом шагу задавался один и тот же элементарный вопрос: «найдите числовое значение данного алгебраического выражения при таких-то значениях входящих букв», или (короче) «подставьте в формулу такие-то значения». В настоящее время этот вопрос не принадлежит к числу особенно излюбленных или настойчиво рекомендуемых. Он незаслуженно забыт. Не удивительно, что учащиеся встречают его пожиманием плеч («нас этому не учили»); лишь в самых редких случаях они прибегают, может быть, к тому, чтобы поставить его самим себе мысленно, по собственной инициативе. Ученые-специалисты по

алгебре считают этот вопрос «неалгебраическим»; у них есть свои причины избегать его, и мы не собираемся их оспаривать.

Однако необходимо проникнуться сознанием того, что учебный, школьный предмет, именуемый «алгеброй», отнюдь не есть первая, подготовительная ступень к изучению современной алгебры в собственном смысле слова, как научной дисциплины, а есть (вместе с другими школьными математическими предметами) первая, подготовительная ступень к изучению математического анализа, издавна и поныне являющегося действенным орудием в руках физика, инженера, техника, исследователя и практика в любой области точного знания.

Сущность математического анализа заключается в применении особого метода (так называемого метода «бесконечно малых»). Конечно, в VI—VII классах не может быть речи о преподавании анализа. Но операция подстановки числовых значений — первый шаг, направленный в сторону анализа, — обязательно должна быть прочно воспринята вслед за введением буквенных обозначений, т. е. в шестом классе. При этом вовсе не важно для данного учащегося, будет он или не будет впоследствии изучать анализ: если операция числовой подстановки не вошла в повседневный обиход с самого же начала и учащийся не мыслит, следовательно, алгебраическое выражение как «функцию входящих букв», то изучение самой алгебры остается бесплодным, не ведет ни к каким ее применениям, сводится к выполнению преобразований над буквенными выражениями по заранее выученным правилам или к решению задач, ли» шенных практического смысла.

Больше того, операция числовой подстановки должна быть оправданной и целеустремленной, овладение ею — достаточно надежным и свободным (беглым). Ее неоднократное выполнение (в сравнительно простых примерах) — и только это — дает учащемуся возможность делать (быть может, и не вполне логически обоснован-ные) заключения о том, «как изменяются» — увеличиваются или уменьшаются — значения данного выражения при изменении значений входящей в него (пусть лишь одной) буквы. Это — задача начальной алгебры для VI—VII классов. Ею. правда, можно и отчасти необхо- 6

димо заниматься еще и в VIII классе, но в IX и X классах приступать к ней впервые уже поздно: там имеются свои, не менее важные, задачи. Та же самая задача продолжает оставаться одной из основных и в курсе анализа; но здесь решительно совершенствуется метод, расширяется запас рассматриваемых функций (математических выражений), растет число независимых переменных (входящих букв), явно ставятся и решаются задачи логического обоснования, отчеканиваются понятия и т. д.

Сравнивать величины (например, числовые значения букв или буквенных выражений), узнавать, которая из них больше, которая меньше, располагать их в том или ином порядке, в порядке возрастания или в порядке убывания, — естественная потребность и право того, кто прибегает к числам как к средству счета и измерения. Каждый располагает наблюдениями, свидетельствующими о том, что представления «больше» и «меньше» возникают в раннем детском возрасте. В процессе обучения они уточняются и укрепляются в курсе арифметики (роль диаграмм в V—VI классах). Но в курсе алгебры неизбежны уже знаки и простейшие свойства неравенств. Знаки неравенств — своеобразная запись количественных отношений.

Если сравнению подлежат несколько однородных величин, то, выбрав масштаб, мы изображаем их отрезками соответствующей длины и уславливаемся откладывать отрезки в одном и том же направлении по одной и той же прямой от одного и того же «начала». О «концах» отрезков так же, как и о самих отрезках, можно сказать, что они изображают наши величины (или, если угодно, значения одной величины). Избранная прямая, геометрическое место точек, изображающих всевозможные величины (в том числе и отрицательные), есть «числовая ось», универсальный эталон измерения, линейная протяженность. В историческом плане осознание того, что для изображения величин произвольной физической размерности допустимо пользоваться линейной протяженностью, было в высшей степени замечательным и прогрессивным для математики событием.

Итак, найден способ изображать в виде точек на числовой оси значения одной и той же величины.

Но как изобразить наблюдаемые или возможные пары значений двух величин?

Простейший и единственно интересующий нас способ заключается в том, чтобы, взяв две различные числовые оси (по одной на каждую величину) и совместив их начала, поставить их во взаимно-перпендикулярное положение; затем условиться, что при изображении пары значений двух величин две точки на разных осях заменяются одной точкой, проекциями которой на оси они являются. Теперь каждая точка плоскости изображает пару значений величин; некоторое же геометрическое место точек в плоскости «изображает» («представляет» или «характеризует») зависимость между нашими величинами (также «переменными», «буквами»).

Какова роль указанного выше условия? Это — основной принцип аналитической геометрии; однако в аналитической геометрии положение точки определяется парой чисел, и геометрические задачи решаются средствами алгебры; здесь же (в элементарной алгебре и в анализе) п а р а чисел изображается точкой плоскости, а зависимость между величинами — некоторым геометрическим местом точек.

Цель всех описанных построений — достижение наглядности, той степени наглядности, которая позволяет увидеть всю картину сразу.

В плане обучения возможный путь к пониманию изло. женного идет не иначе, как от конкретных примеров. Учащемуся достаточно самостоятельно проделать несколько упражнений из главы II предлагаемой книги, чтобы понять идею. Далее она получает некоторое развитие в направлении аналитической геометрии. Так, например, выясняется * при изучении прямой пропорциональности, что таковая «изображается» прямой линией, проходящей через начало координат, а при изучении обратной пропорциональности, что таковая «изображается» некоторой кривой линией, название которой (гипербола) можно сообщить учащимся **.

* Но не «доказывается»: это может быть сделано только в курсе геометрии с привлечением теории подобия.

** Не имеется в виду, однако, сообщать определение гиперболы.

Подчеркиваем еще раз, что в нашем пособии ни в какой мере не предлагается обучать аналитической геометрии. Действительно, здесь нет задач геометрического содержания, которые требовалось бы решать с помощью координатного метода *; нет употребления каких бы то ни было формул аналитической геометрии.

Следует также отметить, что в нашем пособии для VI класса дано лишь некоторое представление о графиках (см. § 11, две последние строчки объяснительного текста перед упражнением 33); понятие о графике как о геометрическом месте точек дается в VII классе.

Сообщение учащимся VI—VII классов тех или иных сведений из аналитической геометрии, не содержащихся в книге **, оказалось бы идущим вразрез с намерениями автора.

Заметим еще по поводу геометрических представлений, что нами не предусмотрено делать их объектом изучения, а ожидается, что они станут средством осмысливания рассматриваемых математических фактов.

Посмотрим теперь, что требуется от преподавателя, которому пришлось бы работать в классе по данной книге.

Необходимыми предпосылками для этой работы являются:

1)понимание замысла системы преподавания;

2)методическая подготовка преподавателя, соответствующая этой системе.

Естественно, что в дальнейшем мы остановимся преимущественно на вопросе о подготовке. Замысел может стать ясным читателю, который бегло познакомится с книгой и просмотрит вступительную статью к «Методическим указаниям»***; но сделать это — не значит приобрести методическую подготовку.

• Такие задачи были бы возможны, но мы предпочли бы отнести их к курсу элементарной геометрии, располагающему достаточным запасом времени.

Мы не решились сделать предложение, касающееся упрощения кое-какой терминологии («оси», «абсцисса», «ордината» и пр.).

*** В. Л Гончаров, Методические указания для преподавателей к материалу по алгебре (VI класс.), М., изд-во АПН РСФСР, 1954.

Речь идет о совокупности хотя очень простых, но довольно разнообразных профессиональных навыков, которыми с известной степенью совершенства должен обладать преподаватель, намеревающийся в классе при участии учащихся рассматривать вопросы с функциональным содержанием.

Вот некоторые примеры.

При посещении урока, посвященного сложению положительных и отрицательных чисел, обнаруживается, что каждый из пяти-шести учеников, вызванных к доске, сти-рает с доски все и снова чертит «числовую прямую» с масштабными пометками: здесь нужен некоторый уровень графической точности; однако учащиеся делают это наспех, небрежно, приходят в итоге к разного рода несообразностям. Если это имеет место, то учебное время растрачивается впустую по вине преподавателя, не освоившего техники ведения урока.

В другом классе иные учащиеся, как показывают кон. трольные работы, долгое время не могут освоить числовой прямой. Анализ показывает, что преподаватель из-бегает дробных координат; непосредственной же причиной неусвоения является то, что учащиеся с числами (целыми) сопоставляют не точки, а «клеточки» (т. е. отрезки). Учитель же не замечает, в чем дело*.

Учителю, желающему овладеть необходимыми навыками, мы даем совет: познакомившись с общим содержанием книги и вводными общими частями методических указаний, приступить к ее самостоятельному изучению, обдумывать параграф за параграфом объяснительный текст и тщательно проделывать упражнение за упражнением, прорабатывая вместе с тем и методический коммен-тарий. Постарайтесь поставить себя в положение ученика: его глазами прочесть каждый абзац, его руками проделать каждое упражнение. Еще лучше, если вы выпол-ните эту предварительную работу совместнЬ с сыном, дочерью, знакомым мальчиком или девочкой. Нет сомнения, что автор не во всем сумеет убедить читате

* Многочисленные примеры разнообразных промахов приведены в статье «Анализ контрольных работ, проведенных при проверке учебника алгебры (VI класса)», напечатанной в «Известиях АПН РСФСР», 1951 г., выпуск 56. стр. 187—252. см. в этом же выпуске «Известий» обзорную статью В. Л Гончарова «Итоги проверки опытного учебника алгебры для VI класса», стр. 155—186, 10

ля — по многим вопросам, возможно главным, останутся разногласия. Но после такого рода подготовки система преподавания будет понята, замысел будет схвачен, и можно будет приступить к дальнейшей работе.

Для тех читателей, которые по ознакомлении с книгой пожелают использовать ее в практике преподавания частично, ниже приводится примерный перечень важ-нейших методических предложений, сделанных в данном пособии. Конечно, не все предложения в одинаковой степени связаны с основным замыслом книги и лишь немногие из них оригинальны; излишне говорить, что принципиальное значение их не равноценно.

1.Начинать алгебру не «от текстовой задачи», а «от формулы».

2.Наряду с формулами, выведенными из условия задачи, пользоваться также и эмпирическими формулами (описательного или нормативного характера).

3.Широко применять табличную запись; в частности, запись в виде «двойных» таблиц (таблиц «с двумя входами»).

4.Завести в классе доску, разлинованную по квадратам.

5.Пользоваться клетчатой бумагой при классной и домашней работе.

6.В часы, предназначенные для арифметики, уделить время для составления диаграмм (столбчатых, прямоугольных, секторных) и организации соответствующей домашней работы. Это можно сделать за счет решения алгебраических задач арифметическими методами.

7.Пользоваться «алгебраическим» определением прямой и обратной пропорциональности (см. § 9 и 10).

8.При изучении пропорциональности пользоваться табличками (см. примеры 73—77 и 80—84).

9.Задачи на пропорциональное деление решать алгебраически, принимая в качестве неизвестного коэффициент пропорциональности.

10.Пользоваться постоянно (при каждом удобном случае) оборотами речи: «подставить» числовое значение вместо буквы; такая-то величина 1ри таких-то об-стоятельствах «возрастает», «убывает», также «достигает наибольшего или наименьшего значения».

11.Наряду с построением отдельных (заданных) точек графиков строить подобным же образом «движе

ния» точки по уравнениям на прямой и на плоскости (см. примеры 174, 175 и 245).

12.Уделить место «повторению арифметики в буквенной форме» (гл. III).

13.Поставить на видное место формальные законы арифметических действий (из коих иные ныне даже не упоминаются).

14.Уравнения начинать как можно раньше.

15.Начинать уравнения раньше повторения арифметики в буквенной форме, прибегая к ним в связи с отношением между прямыми и обратными действиями.

16.Ввести уже в арифметике «числовой луч».

17.Изучение отрицательных чисел начинать при помощи числовой прямой и вести далее в теснейшем соприкосновении с нею.

18.Считать «расстояние» основным понятием, доступным детскому возрасту; с помощью «расстояния» определять «абсолютное значение» числа.

19.При изучении действий с положительными и отрицательными числами в качестве вспомогательного средства ввести в употребление подвижную (двойную) линейку, подобную логарифмической, но с равноотстоящими пометками.

20.Уделить место неравенствам в VI классе, притом в связи с числовой прямой.

21.С помощью числовой прямой добиться отчетливого понимания того, что любое значение величины, отличное от целого числа, может быть приближенно (с заранее назначенной точностью) представлено десятичной дробью.

22.Добиться раннего овладения правилами округления чисел.

23.Уделить исключительное внимание действиям с нулем и единицей, взывая при этом и к логике и к здравому смыслу.

24.Мотивируя правило знаков при умножении, пользоваться уравнением прямой линии, проходящей через начало координат (см. пример 243).

25.Сообщить учащимся правильные, обоснованные и прочные знания по поводу равенства нулю произведения и дроби.

26.Добиться от всех учащихся понимания того, что буква не всегда обозначает целое положительное число, 12

что не всегда также являются целыми положительными числами числитель и знаменатель дроби.

27.Обратить особенное внимание на усвоение всеми учащимися оборотов речи «на столько-то больше», «во столько-то раз больше». Каковы бы ни были значения букв а, Ь и т. д., понимать утверждение «а на т больше, чем 6» как равносильное равенству «а — Ь = /и», а утверждение «а в т раз больше, чем 6» — как равно-

а

сильное равенству « — =ть. ь

28.Понятие об уравнении вводить вне связи с текстовыми задачами.

29.В процессе преподавания не избегать уравнений, имеющих несколько корней или не имеющих корней,— даже на первом году обучения алгебре.

30.Отказаться от «теории равносильности уравнений» в начальном курсе алгебры.

31.При решении уравнений изредка прибегать к «методу проб» — в качестве индукции и в целях развития функционального образа мыслей.

32.При решении уравнений уже начиная с VI класса в основном пользоваться свойствами равенств. «Перенесение из одной части в другую» применять только после длительной тренировки.

33.Различать не два, а четыре свойства равенств (по числу арифметических действий).

34.Прекратить рассмотрение дробных уравнений с так называемыми «паразитными» корнями.

35.В качестве неизвестных в уравнениях вводить различные буквы алфавита.

36.В начальном курсе отказаться от заучивания правил действий со степенями. Возведение в степень (целую положительную) рассматривать как сокращенное обозначение повторного умножения.

37.Наряду с числовыми подстановками рассматривать также и буквенные; использовать их для вывода тождеств из законов арифметических действий.

38.Основные формулы умножения, как и законы действий, подвергать заучиванию в буквенной форме, требуя по мере надобности словесного чтения буквенных записей.

39.Независимо от курса геометрии дать в курсе алгебры (в связи с формулами для квадрата суммы и

разности) вывод теоремы Пифагора с применениями к числовым примерам.

40.Применять «выделение квадрата из трехчлена второй степени», в частности при разложении его на

множители.

41.Прекратить разложение на множители трехчлена второй степени «методом группировки».

42.Текстовую задачу в алгебре рассматривать не как «практическое приложение» теории уравнений, а как полезное учебно-вспомогательное средство.

43.Практиковать краткое объяснение при составлении уравнения к текстовой задаче с выделением

силлогистического момента.

44.В качестве знака деления пользоваться преимуще- 3

ственно горизонтальной чертой; записи вроде — х или 4

Зх

-4 считать равнозначащими и при употреблении не де

лать между ними различия.

45.Вместо «сомножители» говорить «множители». Вместо «формулы сокращенного умножения» говорить «основные формулы умножения».

46.Не пользоваться терминами «рациональные числа», также «действительные», или «вещественные», числа. Имея в виду все точки числовой прямой, говорить «все точки» или «все числа». Точку на оси времени называть «момент», отрезок на оси времени называть «промежуток времени».

Читатель, выбрав те пункты из приведенного перечня, с которыми он согласен, сможет попытаться провести их в жизнь, пользуясь при этом пособием как сжатой ме-тодической разработкой. Дальнейшее развитие этой разработки без нарушения общего духа системы, с нашей точки зрения, вполне желательно.

«Частично», т. е. в выборочном порядке, таким образом в классе могут быть пройдены отдельные главы или параграфы; могут быть взяты из пособия также те или иные задачи, в частности из «Общих повторительных упражнений» (стр. 328).

В случае недостатка времени преподаватель может примеры и параграфы, отмеченные звездочкой (*), опускать и откладывать на время повторения,

Глава 1

БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

§ 1.Употребление букв. Составление формул

Когда хотят назвать какое-нибудь число, то произносят его наименование или записывают его цифрами, например 2 (два).

Когда хотят сказать о числе, не указывая, о каком именно, то обозначают его буквой. Так делают по разным причинам: например, потому, что упоминаемое число неизвестно, или потому, что безразлично, чему именно оно равняете#.

При решении задач приходится встречаться с различными величинами, определяемыми условиями задачи. Каждая величина может иметь то или иное числовое значение, т. е. выражаться тем или иным числом. Очень часто, обозначив величину буквой, в случае надобности вместо буквы подставляют числа.

Предположим, например, что величина, которую мы рассматриваем, есть число уроков в классе: обозначим эту величину буквой а. Если сегодня было, допустим, пять уроков, то а равно 5; если завтра будет четыре урока, то можно будет написать: а = 4; в воскресенье совсем нет уроков, и потому а = 0.

Различные величины, чтобы избежать смешения, обозначают различными буквами.

Так, можно обозначить число классных уроков через а, а число часов домашних занятий через Ь.

Если захотим узнать, сколько было всего часов учебных занятий (и классных и домашних), то придется написать а 4- Ь.