Алгебра и элементарные функции Учебное пособие для учащихся 9 класса (Кочетков, Кочеткова) 1974 год - старые учебники

§13.Двойные неравенства 27

§14.Строгие и нестрогие неравенства28

§15.Некоторые способы доказательства неравенств29

§16.Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом31

§17.Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении 34

§18.Приближенные значения числа. Свойство абсолютной величины суммы35

§19.Приближенное сложение и умножение на число38

§20.Эквивалентные неравенства и их свойства40

§21.Линейные неравенства44

§22.Графический способ решения неравенства тх >п46

§23.Системы линейных неравенств47

$24.Дробно-линейные функции49

§ 25.Неравенства, содержащие неизвестное под .знаком абсолютной величины52

§ 26.Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Совместные и несовместные системы53

§ 27.Определители второго порядка 56

§ 28.Условие, при котором определитель 2-го порядка равен нулю 58

§ 29.Главный и вспомогательный определители системы двух линей

ных уравнений с двумя неизвестными60

§ 30.Правило Крамера62

§ 31.Случай, когда главный определитель системы уравнений равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля64

§ 32.Случай, когда и главный и оба вспомогательных определителя системы уравнений равны нулю66

§ 33.Таблица основных результатов о системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными69

§ 34.Графический способ решения систем линейных уравнений .71

Задачи на повторение 74

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛАII

§ 35.Рациональные числа77

§ 36.Действия над рациональными числами79

§ 37.Геометрическое изображение рациональных чисел 83

§38.Десятичная форма записи рациональных чисел .84

§39.Извлечение квадратных корней из рациональных чисел 87

§ 40.Соизмеримые и несоизмеримые отрезки90

§41.Длина отрезка, несоизмеримого с единицей длины 92

§42.Действительные числа .94

§43.Сравнение действительных чисел .95

§44.Геометрическое изображение действительных чисел 97

§ 45.Десятичные приближения действительных чисел.100

§46.Сложение действительных чисел .103

§ 47.Умножение действительных чисел106

§48.Вычитание и деление действительных чисел 109

Задачи на повторение112

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕНIII

§ 49.Выделение из квадратного трехчлена полного квадрата .114

§ 50.Квадратные уравнения 115

§ 51.Частные виды квадратных уравнений118

$52.Теорема Виета 120

$ 53. Исследование знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам 123

$54.Разложение квадратного трехчлена на линейные множители 125

$55.Составление квадратного уравнения по заданным корням 127

§56.Биквадратные уравнения128

§57.График квадратной функции129

§58.Примеры построения графика квадратной функции133

§59.Характеристические точки параболы134

§60.Экстремальное значение функции у ~ аха + Ьх + с 136

§61.Квадратные неравенства138

§62.Примеры решения квадратных неравенств140

§63.Решение некоторых систем уравнений142

§64.Графический способ решения некоторых систем уравнений 145

§65.Иррациональные уравнения 146

$66.Примеры решения иррациональных уравнений148

§67.Из истории развития алгебры151

Задачи на повторение152

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 68.Степень с натуральным показателем. Возведение в степень произведения и частного155

$69.Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями157

§70.Сравнение степеней159

§71.Степени с пулевыми и отрицательными показателями160

$72.Свойства степеней с целыми показателями162

§73.Функции у= хп при п = 1, 2, 3 165

§74.Функции у= хп при п = —1 и п = —2 167

§75.Корень л-йстепени из действительногочислаа 169

§76.Корень л-йстепени из положительногочислаа 170

§77.Арифметическое значение корня173

§78.Корень л-й степенииз отрицательного числа—а174

§79.Извлечение корнейиз произведения и частного176

§80.Извлечение корняиз степени. Возведениекорня в степень.

Извлечение корня из корня178

§ 81.Вынесение множителя из-под знака корня и введение его под знак корня 180

$ 82. Умножение и деление корней182

$ 83. Освобождение от радикалов в знаменателе дроби183

$ 84. Степень положительного числа с положительным дробным показателем186

$ 85. Основные свойства степени положительного числа с положительным дробным показателем188

§ 86.Степень положительного числа с отрицательным дробным показателем190

§ 87.Функции у = хг при г = ~ и г = —-

л.О

§ 88.Общие свойства степенных функций196

Задачи на повторение198

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ V

§ 89.Понятия вектора и осн201

§ 90.Проекция вектора на ось .202

§91.Свободные и связанные векторы 203

§92.Координаты вектора на плоскости 204

§93.Обобщение понятий угла и дуги207

§94.Теорема об отношениях координат вектора к его длине .209

§95.Определение тригонометрических функций угла 211

§96.Тригонометрический круг. Оси тангенсов и котангенсов .214

§ 97.Построение угла по заданным значениям его тригонометрических функций217

§ 98.Значения тригонометрических функций некоторых углов .219

§ 99.Четность тригонометрических функций221

§ 100.Периодичность функций зш <р и соз <р222

§ 101.Периодичность функций <р и с!д ф224

§ 102.О периодических функциях225

§ 103.Изменение функций зШ ф и соз ф227

§ 104.Изменение функций ф и с1§ ф229

§ 105.Таблицы значений тригонометрических функций233

§ 106.Использование тригонометрических таблиц для нахождения острого угла по значениям его тригонометрических функций 236

§ 107.Радианное измерение углов и дуг237

§ 108.Тригонометрические функции числового аргумента .239

§ 109.Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

§ НО. Нахождение значений тригонометрических функций угла по значению какой-нибудь одной из них241

§111.Формулы приведения 242

§ 112.Определение по таблицам значений тригонометрических функций любого угла247

§ 113.График функции у = 51‘пх 249

§114.График функции у = созх 253

§ 115.Графики функций у =киу=с("х251

§ 116.Доказательство тригонометрическихтождеств257

§ 117.Арксинус числа а 260

§ 118.Уравнение зт х = а 263

§ 119.Арккосинус числа а . 268

§ 120.Уравнение со$ х = а . 270

§121.Арктангенс и арккотангенс числа а273

§ 122.Уравнения х = а и с1д х = а276

§ 123.Более сложные тригонометрические уравнения278

§ 124.Однородные уравнения281

§ 125.Графический способ решениятригонометрических уравнений282

§ 126.Тригонометрические неравенства284

Задачи на повторение 285

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИVI

§ 127.Числовые последовательности и способы их задания. Конечные

и бесконечные последовательности289

§ 128.Монотонные последовательности291

§ 129.Ограниченные и неограниченные числовые последовательности 293

§ 130.Предел бесконечной числовой последовательности 296

§ 131.Примеры298

§ 132.Сходящиеся и расходящиеся числовыепоследовательности300

§ 133.Монотонные и ограниченные последовательности302

§ 134.Число е304

§ 135.Переменные величины и их пределы 305

§ 136.Основные теоремы о пределах307

§ 137.Нт уп при | ^'1 < 1 310

п -* *»

§ 138.Что такое длина окружности311

§ 139.Формула для нахождения длины окружности313

§ 140.Нахождение приближенных значений числа п314

§ 141.Площадь круга315

§ 142.Арифметическая прогрессия 317

§ 143.Характеристическое свойство арифметической прогрессии319

§ 144.Сумма членов арифметической прогрессии320

§ 145.Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии322

§ 146.Характеристическое свойство геометрической прогрессии с положительными членами .324

§ 147.Сумма членов геометрической прогрессии325

§ 148.Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 327

Задачи на повторение330

Ответы к упражнениям333

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Изучение алгебры и элементарных функций мы начинаем с рассмотрения линейных уравнений и неравенств. Эта тема знакома нам еще по курсу VIII класса. Прежде чем изучить ее более глубоко, вспомним некоторые уже известные нам понятия.

Тождества

В математике часто приходится иметь дело с равенствами, то есть с такими записями, в которых два выражения соединены знаком = (знаком равенства).

Прежде всего обратимся к числам. Если а и Ь — числа, то равенство

а = Ь

означает, что а и Ь — это просто одно если а и Ь — разные числа, то пишут а =/= Ь.

и то же число. Наоборот,

Например, 2 = 2, 2 4-3 = 5, 2 — 3 = —1, но

7 =/= 6,74-3^0,3 — 7 #= 4.

Труднее обстоит дело, когда равенство содержит какие-нибудь буквы, которыми обычно мы обозначаем неизвестные величины. Рассмотрим, например, такие равенства:

а 4- 4 = 5,(1)

а2 4- 1 = —3.(2)

1 4- У~о. = а,(3)

а2— 1 = (а 4- 1)(а — 1). (4)

Каждая часть равенства (1) и м е е т смысл при любых значениях а. Это означает, что, какое бы числовое значение мы ни

придали букве а, левая и правая части равенства (1) тоже примут некоторые числовые значения.

Аналогичным свойством обладают также равенства (2) и (4). А вот с равенствами (3), (5) и (6) дело обстоит иначе.

Правая часть равенства (3) определена при любых значениях а, а левая лишь при неотрицательных значениях а. (Вспомните: извлекать квадратные корни можно лишь из положительных чисел и нуля.) Поэтому если равенство (3) рассматривать в целом, то следует сказать, что оно определено для всех неотрицательных значений а. Левая и правая части равенства (5) определены лишь при а У= 1 и а —1. Если же а = 1 или а = —1, то в знаменателях дробей получаются нули, а делить на нуль нельзя. Поэтому равенство (5) определено при всех значениях а, отличных от 1 и —1. Правая часть равенства (6) определена при любых значениях а и Ь, а левая лишь при а =^= Ь. Поэтому в целом равенство (6) имеет смысл для любых не равных друг другу чисел а и Ь.

Значения букв, входящих в равенство, при которых имеют смысл и левая и правая части этого равенства, называются допустимыми •значениями этих букв.

Так, допустимыми значениями а в равенствах (1), (2) и (4) будут все числа, в равенстве (3) — все неотрицательные числа, в равенстве (5) — все числа, кроме 1 и —1. В равенстве (6) допустимые значения а и Ь складываются из всевозможных пар не равных друг другу чисел.

Если равенство содержит более одной буквы, то, говоря о допустимых значениях этих букв, мы должны иметь в виду одновременно каждую из этих букв. Например, можно сказать, что пары чисел (1,2) и (—5, 6) являются допустимыми, а пара (3,3) — недопустимой для букв а и Ь в равенстве (6).

Однако не следует говорить, что значение I является допустимым для буквы а, так же как не следует говорить и то, что это значение не является допустимым для а. Ведь все зависит еще и от того, какое значение принимает при этом буква Ь. Если не только а, но и Ь равно 1, то равенство (6) теряет смысл, если же Ь 1, то при а = 1 это равенство определено.

Хотя в равенстве (1) допустимым является любое число, левая и правая части этого равенства принимают одинаковые числовые значения лишь при а = 1. При всех же остальных значениях а левая часть этого равенства принимает числовые значения, отличные от 5. Обе части равенства (2) не могут принять одинаковые числовые значения ни при каком значении а. Ведь выражение а2 4- 1 принимает только положительные значения, а число —3 является отрицательным. Прямо противоположным свойством обладает равенство (4). Какое бы значение мы ни придали букве а, левая и правая части этого равенства примут одинаковые числовые значения. О равенстве (5) этого сказать нельзя. При а = 1 и а = —1 это равенство вообще теряет смысл, а в таком случае нельзя говорить о том, одинаковые или неодинаковые числовые значения принимают

его отдельные части. Но числа 1 и —1 не входят в область допустимых значений а. Поэтому можно сказать, что обе части равенства (5) принимают одинаковые числовые значения при любом допустимом значении а. Аналогично можно сказать и про равенство (6). Обе его части принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях а и Ь.

Равенство, обе части которого принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

К тождествам относятся, например, равенства (4), (5) и (6). Что же касается равенств (1), (2) и (3), то их отнести к тождествам, очевидно, нельзя.

Представляется вполне естественным потребовать, чтобы понятие тождества удовлетворяло следующему важному свойству, называемому свойством транзитивности:

если равенства А = В и В = С являются тождествами, то и равенство А = С является тождеством.

Можно, однако, показать, что введенное нами определение тождества этому требованию удовлетворяет не всегда. Действительно, равенства

|а| = (Ка)2,(7)

(Г^)2 = а(8)

в смысле нашего определения являются тождествами. Каждое из них имеет допустимыми значениями все неотрицательные значения а. Однако равенство |я| = а(9)

имеет допустимыми значениями уже все значения а (положительные, отрицательные и нуль), а справедливо оно лишь для неотрицательных значений а. Следовательно, в смысле введенного нами определения равенство (9) не является тождеством.

Выяснение того, когда такие неприятности могут возникнуть и когда они не возникают, выходит за пределы нашей программы и потому не может быть здесь проведено. Для избежания же этих неприятностей поступают таким образом. Вместо того чтобы говорить о тождествах как равенствах, справедливых для всех допустимых значений входящей в них буквы а, говорят о тождествах, имеющих место для какого-то заданного множества значений а. Тогда если равенства А = В и В = С являются тождествами на одном и том же множестве значений а, то для тех же значений а будет тождеством и равенство А = С.

Упражнения

Для каждого из данных равенств (№ 1 — 10) выяснить, при каких значениях входящих в них букв определены:

а)левая часть равенства;

б)правая часть равенства;

в)равенство в целом.

. 1 ,11 + 2а

О.1= .

а а + 1 а3 — а

6.= 5 —.

6—1 з

7.—— = Ь. а2+ 1

8.аЬ = —-—. а24-62

9.1 +1= а2+2.

а + 1а2— а 4*1 а3 + Г

Ю 1 +1=4-6 + 6

2 — Ь Ь* + 26 + 48 — Ь3

11.Покажите, что равенство 2 — а = За — 4 не является тождеством.

12.Можно ли сказать, что равенства:

а)—!— =; в) Ух + -Ь = Щ

а9 — 63 (а — Ь) (а2 4- аЬ 4- 62)Ух Ух

б)а3 + Ь3 = (а + Ь) (а2 — аЬ + Ь2)\

выполняются при любых значениях входящих в них букв? Являются ли эти равенства тождествами?

Уравнения

§ 2

В предыдущем параграфе все равенства, содержащие букву, мы разбили на два класса. К одному классу были отнесены тождества, то есть такие равенства, обе части которых принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях буквы. Примером таких равенств могут служить равенства:

а’-1-(а+1)(а-1),=-±-. ‘

а2 — 1 а 4- 1 а — 1

К другому классу мы отнесли все те равенства, обе части которых принимают разные числовые значения хотя бы при одном допустимом значении буквы. К ним относятся, например, равенства:

а + 4 = 5,

а2 + 1 = —3.

Однако к изучению равенств можно подойти и по-другому. Практика часто ставит перед нами задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы (или нескольких букв) обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрим как на уравнение относительно указанной неизвестной величины.

Так, если равенство

а + 4 = 5(1)

рассматривать как уравнение относительно величины а, то легко сообразить, что обе его части принимают одинаковые числовые значения только при а = 1. Действительно, если а = 1, то а + + 4 = 5; если же а 1, то а + 4 5+ 5. Число 1 называется корнем уравнения (1).

Вообще, корнем уравнения относительно одной неизвестной величины называется каждое числовое значение этой величины, 6

при котором обе части уравнения принимают одинаковые числовые значения.

То же самое определение иначе формулируют следующим образом: корнем уравнения относительно одной неизвестной величины называется такое значение этой величины, при котором уравнение обращается в числовое равенство (или которое удовлетворяет данному уравнению).

Выше мы привели уравнение (а + 4 = 5), которое имеет лишь один корень. Существуют уравнения, которые имеют более одного корня. Например, уравнение а2 = 1 имеет два корня: 1 и —1; уравнение а 4- 2 = 2 + а имеет бесконечно много корней: каждое число является его корнем. (В этом случае уравнение является тождеством.) Наконец, можно указать и такие уравнения, которые совсем не имеют корней. Примером может служить хотя бы уравнение а2 + 1 = —3.

Решить уравнение — это значит'.

1)выяснить, имеет ли оно корни, и

2)если имеет, то найти каждый из них.

Отметим (хотя это и несущественно), что в равенствах, рассматриваемых как уравнения, неизвестные величины обычно обозначаются не начальными буквами латинского алфавита (а, Ь, с, . ), а конечными буквами (х, у, г). Например, вместо а + 4=5 пишут х + 4 = 5; вместо а2 + 1 = — 3 пишут х2+1 = —3 и т. д.

Два уравнения относительно одной и той же неизвестной называются эквивалентными (или равносильными), если каждый корень первого уравнения является вместе с тем и корнем второго уравнения, а каждый корень второго уравнения является вместе с тем и корнем первого уравнения.

Эквивалентными будут, например, уравнения х + 4 = 5 и х — 1=0, каждое из которых имеет единственный корень 1. Эквивалентными являются и уравнения х2 = 4 и 2х2 = 8. Каждое из них имеет два корня: 2 и —2.

Уравнения, не имеющие корней, считаются также эквивалентными (например, х2 = —1 и х2 + 1 = —3).

Для решения уравнений оказываются важными следующие свойства эквивалентных уравнений, которые мы напоминаем учащимся без доказательства:

1.Если, обе части уравнения, умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, эквивалентное данному.

2.Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак на противоположный, то получится уравнение, экви-валентное данному.

Например, в уравнении

2х — 1 = 5 — х

— 1 можно перенести из левой части в правую, а — х, наоборот, из правой части в левую. В результате получим

2х + х = 5 4- 1,

илиЗх = 6.

Очевидно, что единственным корнем этого (а следовательно, и исходного) уравнения служит число 2.

Упражнения

13.Эквивалентны ли уравнения:

а)25х2 = 0 и 5х = 0;г) х2 ~ —3 их — 1 =3;

б)9х2 = 25 и Зх = 5;д) х2 4- 1 — 0 и х2 4- 2 = 0?

в)(2х — I)2 = 1 и 2х — 1 = 1;

14*. Сколько корней имеет следующее уравнение относительно неизвестной величины х:

(х - I)2 + (х - а)2 = 0, где а — некоторое заданное число?

Линейные функции и их графики§ 3

Рассмотрим равенство

у = 2х 4- 1.(1)

Каждому значению буквы х это равенство ставит в соответствие вполне определенное значение буквы у. Если, например, х — 0, то у = 2 • 0 4- 1 = 1; если х = 10, то у = 2 • 10 + 1 = 21; при х = — имеем у = 2 •1 = о и т. д.

еще к одному равенству:

у = х2.(2)

Каждому значению х это равенство, как и равенство (1), ставит в соответствие вполне определенное значение у. Если, например, х = 2, то у = 4; при х = —3 получаем у = 9 и т. д. Равенства (1) и (2) связывают между собой две величины х и у так, что каждому значению одной из них (х) ставится в соответствие вполне определенное значение другой величины (у).

Если каждому значению величины х соответствует вполне определенное значение величины у, то эта величина у называется функцией от х. Величина х при этом называется аргументом функции у.