Алгебра и элементарные функции Учебное пособие для учащихся 9 класса (Кочетков, Кочеткова) 1974 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Алгебра и элементарные функции Учебное пособие для учащихся 9 класса (Кочетков, Кочеткова) 1974

Назначение: Для учащихся 9 класса средней школы

© "Просвещение" Москва 1974 

Авторство: Евгений Семенович Кочетков, Екатерина Семеновна Кочеткова. Под редакцией доктора физико-математических наук О. Н. ГОЛОВИНА

Формат: PDF Размер файла: 17.3 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА |

§ 1. Тождества   3

§ 2. Уравнения 6

§ 3. Линейные функции и их графики 8

§ 4. Линейные уравнения 12

§ 5. Графический способ решения уравнения тх = п 14

§ 6. Уравнения, сводящиеся к линейным 15

§ 7. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной

величины 17

§ 8. Метод интервалов 19

§ 9. Неравенства   20

§ 10. Основные свойства числовых неравенств 22

§ 11. Почленное сложение и вычитание неравенств 24

§ 12. Почленное умножение неравенств 26

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

 

§ 13. Двойные неравенства   27

§ 14. Строгие и нестрогие неравенства 28

§ 15. Некоторые способы доказательства неравенств 29

§ 16. Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом 31

§ 17. Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении . . 34

§ 18. Приближенные значения числа. Свойство абсолютной вели¬чины суммы 35

§ 19. Приближенное сложение и умножение на число 38

§ 20. Эквивалентные неравенства и их свойства 40

§ 21. Линейные неравенства 44

§ 22. Графический способ решения неравенства тх > п 46

§ 23. Системы линейных неравенств 47

$ 24. Дробно-линейные функции 49

§ 25. Неравенства, содержащие неизвестное под .знаком абсолютной величины 52

§ 26. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Совместные и несовместные системы 53

§ 27. Определители второго порядка 56

§ 28. Условие, при котором определитель 2-го порядка равен нулю 58

§ 29. Главный и вспомогательный определители системы двух линей¬

ных уравнений с двумя неизвестными 60

§ 30. Правило Крамера 62

§ 31. Случай, когда главный определитель системы уравнений равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей от¬личен от нуля 64

§ 32. Случай, когда и главный и оба вспомогательных определите¬ля системы уравнений равны нулю 66

§ 33. Таблица основных результатов о системе двух линейных урав¬нений с двумя неизвестными 69

§ 34. Графический способ решения систем линейных уравнений . 71

Задачи на повторение ................ 74

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II

§ 35. Рациональные числа 77

§ 36. Действия над рациональными числами 79

§ 37. Геометрическое изображение рациональных чисел 83

§ 38. Десятичная форма записи рациональных чисел ... 84

§ 39. Извлечение квадратных корней из рациональных чисел . . 87

§ 40. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки 90

§ 41. Длина отрезка, несоизмеримого с единицей длины . ... 92

§ 42. Действительные числа ... 94

§ 43. Сравнение действительных чисел ... 95

§ 44. Геометрическое изображение действительных чисел . . 97

§ 45. Десятичные приближения действительных чисел . . . 100

§ 46. Сложение действительных чисел ... 103

§ 47. Умножение действительных чисел 106

§ 48. Вычитание и деление действительных чисел . . 109

Задачи на повторение 112

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 49. Выделение из квадратного трехчлена полного квадрата ... 114

§ 50. Квадратные уравнения .... 115

§ 51. Частные виды квадратных уравнений 118

$ 52. Теорема Виета    120

$ 53. Исследование знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам 123

$ 54. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители 125

$ 55. Составление квадратного уравнения по заданным корням . . 127

§ 56. Биквадратные уравнения 128

§ 57. График квадратной функции 129

§ 58. Примеры построения графика квадратной функции 133

§ 59. Характеристические точки параболы 134

§ 60. Экстремальное значение функции у ~ аха + Ьх + с .... 136

§ 61. Квадратные неравенства 138

§ 62. Примеры решения квадратных неравенств 140

§ 63. Решение некоторых систем уравнений 142

§ 64. Графический способ решения некоторых систем уравнений . . 145

§ 65. Иррациональные уравнения   146

$ 66. Примеры решения иррациональных уравнений 148

§ 67. Из истории развития алгебры 151

Задачи на повторение 152

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 68. Степень с натуральным показателем. Возведение в степень произведения и частного 155

$ 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями 157

§ 70. Сравнение степеней 159

§ 71. Степени с пулевыми и отрицательными показателями 160

$ 72. Свойства степеней с целыми показателями 162

§ 73. Функции у = хп при п = 1, 2, 3   165

§ 74. Функции у = хп при п = —1 и п = —2 167

§ 75. Корень л-й степени из действительного числа а 169

§ 76. Корень л-й степени из положительного числа а 170

§ 77. Арифметическое значение корня 173

§ 78. Корень л-й степени из отрицательного числа —а 174

§ 79. Извлечение корней из произведения и частного 176

§ 80. Извлечение корня из степени. Возведение корня в степень.

Извлечение корня из корня 178

§ 81. Вынесение множителя из-под знака корня и введение его под знак корня   180

$ 82. Умножение и деление корней 182

$ 83. Освобождение от радикалов в знаменателе дроби 183

$ 84. Степень положительного числа с положительным дробным по¬казателем 186

$ 85. Основные свойства степени положительного числа с положи¬тельным дробным показателем 188

§ 86. Степень положительного числа с отрицательным дробным по¬казателем 190

§ 87. Функции у = хг при г = ~ и г = —-

л. О

§ 88. Общие свойства степенных функций 196

Задачи на повторение 198

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ V

§ 89. Понятия вектора и осн 201

§ 90. Проекция вектора на ось ... 202

§ 91. Свободные и связанные векторы   203

§ 92. Координаты вектора на плоскости 204

§ 93. Обобщение понятий угла и дуги 207

§ 94. Теорема об отношениях координат вектора к его длине . . . 209

§ 95. Определение тригонометрических функций угла   211

§ 96. Тригонометрический круг. Оси тангенсов и котангенсов ... 214

§ 97. Построение угла по заданным значениям его тригонометриче¬ских функций 217

§ 98. Значения тригонометрических функций некоторых углов . 219

§ 99. Четность тригонометрических функций 221

§ 100. Периодичность функций зш <р и соз <р 222

§ 101. Периодичность функций <р и с!д ф 224

§ 102. О периодических функциях 225

§ 103. Изменение функций зШ ф и соз ф 227

§ 104. Изменение функций ф и с1§ ф 229

§ 105. Таблицы значений тригонометрических функций 233

§ 106. Использование тригонометрических таблиц для нахождения острого угла по значениям его тригонометрических функций 236

§ 107. Радианное измерение углов и дуг 237

§ 108. Тригонометрические функции числового аргумента . . . 239

§ 109. Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

§ НО. Нахождение значений тригонометрических функций угла по зна¬чению какой-нибудь одной из них 241

§111. Формулы приведения 242

§ 112. Определение по таблицам значений тригонометрических функ¬ций любого угла 247

§ 113. График функции у = 51‘п х 249

§114. График функции у = соз х 253

§ 115. Графики функций у = к и у = с(" х 251

§ 116. Доказательство тригонометрических тождеств 257

§ 117. Арксинус числа а 260

§ 118. Уравнение зт х = а   263

§ 119. Арккосинус числа а ... 268

§ 120. Уравнение со$ х = а . 270

§121. Арктангенс и арккотангенс числа а 273

§ 122. Уравнения х = а и с1д х = а 276

§ 123. Более сложные тригонометрические уравнения 278

§ 124. Однородные уравнения 281

§ 125. Графический способ решения тригонометрических уравнений 282

§ 126. Тригонометрические неравенства 284

Задачи на повторение 285

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI

§ 127. Числовые последовательности и способы их задания. Конечные

и бесконечные последовательности 289

§ 128. Монотонные последовательности 291

§ 129. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности 293

§ 130. Предел бесконечной числовой последовательности .... 296

§ 131. Примеры 298

§ 132. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности 300

§ 133. Монотонные и ограниченные последовательности 302

§ 134. Число е 304

§ 135. Переменные величины и их пределы 305

§ 136. Основные теоремы о пределах 307

§ 137. Нт уп при | ^'1 < 1   310

п -* *»

§ 138. Что такое длина окружности 311

§ 139. Формула для нахождения длины окружности 313

§ 140. Нахождение приближенных значений числа п 314

§ 141. Площадь круга 315

§ 142. Арифметическая прогрессия 317

§ 143. Характеристическое свойство арифметической прогрессии 319

§ 144. Сумма членов арифметической прогрессии 320

§ 145. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометри¬ческой прогрессии 322

§ 146. Характеристическое свойство геометрической прогрессии с по¬ложительными членами ... 324

§ 147. Сумма членов геометрической прогрессии 325

§ 148. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии . . 327

Задачи на повторение 330

Ответы к упражнениям 333

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Алгебра и элементарные функции Учебное пособие для учащихся 9 класса (Кочетков, Кочеткова) 1974 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Изучение алгебры и элементарных функций мы начинаем с рассмотрения линейных уравнений и неравенств. Эта тема знако¬ма нам еще по курсу VIII класса. Прежде чем изучить ее более глубоко, вспомним некоторые уже известные нам понятия.

Тождества

В математике часто приходится иметь дело с равенствами, то есть с такими записями, в которых два выражения соединены зна¬ком = (знаком равенства).

Прежде всего обратимся к числам. Если а и Ь — числа, то равенство

а = Ь

означает, что а и Ь — это просто одно если а и Ь — разные числа, то пишут а =/= Ь.

и то же число. Наоборот,

Например, 2 = 2, 2 4-3 = 5, 2 — 3 = —1, но

7 =/= 6, 74-3^0, 3 — 7 #= 4.

Труднее обстоит дело, когда равенство содержит какие-нибудь буквы, которыми обычно мы обозначаем неизвестные величины. Рассмотрим, например, такие равенства:

а 4- 4 = 5, (1)

а2 4- 1 = —3. (2)

1 4- У~о. = а, (3)

а2— 1 = (а 4- 1)(а — 1). (4)

Каждая часть равенства (1) и м е е т смысл при любых значе¬ниях а. Это означает, что, какое бы числовое значение мы ни

придали букве а, левая и правая части равенства (1) тоже примут некоторые числовые значения.

Аналогичным свойством обладают также равенства (2) и (4). А вот с равенствами (3), (5) и (6) дело обстоит иначе.

Правая часть равенства (3) определена при любых значениях а, а левая лишь при неотрицательных значениях а. (Вспомните: извлекать квадратные корни можно лишь из положительных чисел и нуля.) Поэтому если равенство (3) рассматривать в целом, то следует сказать, что оно определено для всех неотрицательных значений а. Левая и правая части равенства (5) определены лишь при а У= 1 и а —1. Если же а = 1 или а = —1, то в знамена¬телях дробей получаются нули, а делить на нуль нельзя. Поэтому равенство (5) определено при всех значениях а, отличных от 1 и —1. Правая часть равенства (6) определена при любых значениях а и Ь, а левая лишь при а =^= Ь. Поэтому в целом равенство (6) име¬ет смысл для любых не равных друг другу чисел а и Ь.

Значения букв, входящих в равенство, при которых имеют смысл и левая и правая части этого равенства, называются допустимыми •значениями этих букв.

Так, допустимыми значениями а в равенствах (1), (2) и (4) бу¬дут все числа, в равенстве (3) — все неотрицательные числа, в равенстве (5) — все числа, кроме 1 и —1. В равенстве (6) допусти¬мые значения а и Ь складываются из всевозможных пар не равных друг другу чисел.

Если равенство содержит более одной буквы, то, говоря о допустимых значениях этих букв, мы должны иметь в виду одновременно каждую из этих букв. Например, можно сказать, что пары чисел (1,2) и (—5, 6) яв¬ляются допустимыми, а пара (3,3) — недопустимой для букв а и Ь в равен¬стве (6).

Однако не следует говорить, что значение I является допустимым для буквы а, так же как не следует говорить и то, что это значение не является допустимым для а. Ведь все зависит еще и от того, какое значение прини¬мает при этом буква Ь. Если не только а, но и Ь равно 1, то равенство (6) теряет смысл, если же Ь 1, то при а = 1 это равенство определено.

Хотя в равенстве (1) допустимым является любое число, левая и правая части этого равенства принимают одинаковые числовые значения лишь при а = 1. При всех же остальных значениях а левая часть этого равенства принимает числовые значения, отличные от 5. Обе части равенства (2) не могут принять одинаковые число¬вые значения ни при каком значении а. Ведь выражение а2 4- 1 принимает только положительные значения, а число —3 является отрицательным. Прямо противоположным свойством обладает ра¬венство (4). Какое бы значение мы ни придали букве а, левая и пра¬вая части этого равенства примут одинаковые числовые значения. О равенстве (5) этого сказать нельзя. При а = 1 и а = —1 это равенство вообще теряет смысл, а в таком случае нельзя говорить о том, одинаковые или неодинаковые числовые значения принимают

его отдельные части. Но числа 1 и —1 не входят в область допус¬тимых значений а. Поэтому можно сказать, что обе части равенства (5) принимают одинаковые числовые значения при любом допу¬стимом значении а. Аналогично можно сказать и про равенст¬во (6). Обе его части принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях а и Ь.

Равенство, обе части которого принимают одинаковые число¬вые значения при любых допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

К тождествам относятся, например, равенства (4), (5) и (6). Что же касается равенств (1), (2) и (3), то их отнести к тождест¬вам, очевидно, нельзя.

Представляется вполне естественным потребовать, чтобы понятие тож¬дества удовлетворяло следующему важному свойству, называемому свойством транзитивности:

если равенства А = В и В = С являются тождествами, то и равенство А = С является тождеством.

Можно, однако, показать, что введенное нами определение тождества этому требованию удовлетворяет не всегда. Действительно, равенства

|а| = (Ка)2, (7)

(Г^)2 = а (8)

в смысле нашего определения являются тождествами. Каждое из них имеет допустимыми значениями все неотрицательные значения а. Однако равенство |я| = а (9)

имеет допустимыми значениями уже все значения а (положительные, отри¬цательные и нуль), а справедливо оно лишь для неотрицательных значений а. Следовательно, в смысле введенного нами определения равенство (9) не яв¬ляется тождеством.

Выяснение того, когда такие неприятности могут возникнуть и когда они не возникают, выходит за пределы нашей программы и потому не мо¬жет быть здесь проведено. Для избежания же этих неприятностей поступают таким образом. Вместо того чтобы говорить о тождествах как равенствах, справедливых для всех допустимых значений входящей в них буквы а, говорят о тождествах, имеющих место для какого-то заданного множе¬ства значений а. Тогда если равенства А = В и В = С являются тождества¬ми на одном и том же множестве значений а, то для тех же значений а будет тождеством и равенство А = С.

Упражнения

Для каждого из данных равенств (№ 1 — 10) выяснить, при каких значениях входящих в них букв определены:

а) левая часть равенства;

б) правая часть равенства;

в) равенство в целом.

. 1 , 1 1 + 2а

О. 1 = .

а а + 1 а3 — а

6. = 5 —.

6—1 з

7. —— = Ь. а2+ 1

8. аЬ = —-—. а24-62

9. 1 + 1 = а2+2.

а + 1 а2— а 4*1 а3 + Г

Ю 1 + 1 =4-6 + 6

2 — Ь Ь* + 26 + 4 8 — Ь3

11. Покажите, что равенство 2 — а = За — 4 не является тож¬деством.

12. Можно ли сказать, что равенства:

а) —!— = ; в) Ух + -Ь = Щ

а9 — 63 (а — Ь) (а2 4- аЬ 4- 62) Ух Ух

б) а3 + Ь3 = (а + Ь) (а2 — аЬ + Ь2)\

выполняются при любых значениях входящих в них букв? Являются ли эти равенства тождествами?

Уравнения

§ 2

В предыдущем параграфе все равенства, содержащие букву, мы разбили на два класса. К одному классу были отнесены тожде¬ства, то есть такие равенства, обе части которых принимают оди¬наковые числовые значения при любых допустимых значениях буквы. Примером таких равенств могут служить равенства:

а’-1-(а+1)(а-1), =-±-. ‘

а2 — 1 а 4- 1 а — 1

К другому классу мы отнесли все те равенства, обе части кото¬рых принимают разные числовые значения хотя бы при одном до¬пустимом значении буквы. К ним относятся, например, равенства:

а + 4 = 5,

а2 + 1 = —3.

Однако к изучению равенств можно подойти и по-другому. Практика часто ставит перед нами задачу выяснить, при ка¬ких допустимых значениях буквы (или нескольких букв) обе части того или иного равенства принимают одинаковые число¬вые значения. На равенство в этом случае мы смотрим как на урав¬нение относительно указанной неизвестной величины.

Так, если равенство

а + 4 = 5 (1)

рассматривать как уравнение относительно величины а, то легко сообразить, что обе его части принимают одинаковые числовые значения только при а = 1. Действительно, если а = 1, то а + + 4 = 5; если же а 1, то а + 4 5+ 5. Число 1 называется кор¬нем уравнения (1).

Вообще, корнем уравнения относительно одной неизвестной величины называется каждое числовое значение этой величины, 6

при котором обе части уравнения принимают одинаковые числовые значения.

То же самое определение иначе формулируют следующим об¬разом: корнем уравнения относительно одной неизвестной величи¬ны называется такое значение этой величины, при котором урав¬нение обращается в числовое равенство (или которое удовлетворяет данному уравнению).

Выше мы привели уравнение (а + 4 = 5), которое имеет лишь один корень. Существуют уравнения, которые имеют более одно¬го корня. Например, уравнение а2 = 1 имеет два корня: 1 и —1; уравнение а 4- 2 = 2 + а имеет бесконечно много корней: каждое число является его корнем. (В этом случае уравнение является тождеством.) Наконец, можно указать и такие уравнения, которые совсем не имеют корней. Примером может служить хотя бы урав¬нение а2 + 1 = —3.

Решить уравнение — это значит'.

1) выяснить, имеет ли оно корни, и

2) если имеет, то найти каждый из них.

Отметим (хотя это и несущественно), что в равенствах, рас¬сматриваемых как уравнения, неизвестные величины обычно обо¬значаются не начальными буквами латинского алфавита (а, Ь, с, . . . ), а конечными буквами (х, у, г). Например, вместо а + 4=5 пишут х + 4 = 5; вместо а2 + 1 = — 3 пишут х2+1 = —3 и т. д.

Два уравнения относительно одной и той же неизвестной назы¬ваются эквивалентными (или равносильными), если каждый корень первого уравнения является вместе с тем и корнем второго урав¬нения, а каждый корень второго уравнения является вместе с тем и корнем первого уравнения.

Эквивалентными будут, например, уравнения х + 4 = 5 и х — 1=0, каждое из которых имеет единственный корень 1. Эк¬вивалентными являются и уравнения х2 = 4 и 2х2 = 8. Каждое из них имеет два корня: 2 и —2.

Уравнения, не имеющие корней, считаются также эквивалент¬ными (например, х2 = —1 и х2 + 1 = —3).

Для решения уравнений оказываются важными следующие свойства эквивалентных уравнений, которые мы напоминаем учащимся без доказательства:

1. Если, обе части уравнения, умножить или разде¬лить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, эквивалентное данному.

2. Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак на противоположный, то получится уравнение, экви-валентное данному.

Например, в уравнении

2х — 1 = 5 — х

— 1 можно перенести из левой части в правую, а — х, наоборот, из правой части в левую. В результате получим

2х + х = 5 4- 1,

или Зх = 6.

Очевидно, что единственным корнем этого (а следовательно, и исходного) уравнения служит число 2.

Упражнения

13. Эквивалентны ли уравнения:

а) 25х2 = 0 и 5х = 0; г) х2 ~ —3 их — 1 =3;

б) 9х2 = 25 и Зх = 5; д) х2 4- 1 — 0 и х2 4- 2 = 0?

в) (2х — I)2 = 1 и 2х — 1 = 1;

14*. Сколько корней имеет следующее уравнение относительно неизвестной величины х:

(х - I)2 + (х - а)2 = 0, где а — некоторое заданное число?

Линейные функции и их графики § 3

Рассмотрим равенство

у = 2х 4- 1. (1)

Каждому значению буквы х это равенство ставит в соответст¬вие вполне определенное значение буквы у. Если, например, х — 0, то у = 2 • 0 4- 1 = 1; если х = 10, то у = 2 • 10 + 1 = 21; при х = — имеем у = 2 • 1 = о и т. д.

еще к одному равенству:

у = х2. (2)

Каждому значению х это равенство, как и равенство (1), ста¬вит в соответствие вполне определенное значение у. Если, напри¬мер, х = 2, то у = 4; при х = —3 получаем у = 9 и т. д. Равен¬ства (1) и (2) связывают между собой две величины х и у так, что каждому значению одной из них (х) ставится в соответствие впол¬не определенное значение другой величины (у).

Если каждому значению величины х соответствует вполне опре¬деленное значение величины у, то эта величина у называется функ¬цией от х. Величина х при этом называется аргументом функции у.

 

Для развития ПРОЕКТА!

С этой книгой читают

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика