Отрицательные числа в курсе алгебры (Арнольд) 1947 год - старые учебники

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Введение отрицательных чисел в самом начале курса алгебры связано с целым рядом методических затруднений, а это вполне естественно. При всяком обобщении и расширении понятий в математике приходится введенные ранее термины и способы выражения употреблять в новом смысле, нарушая установившиеся привычные представления учащихся. Так, приходится говорить о числах, которые 'Меньше ну л я, между тем как учащиеся привыкли к …., что меньше нуля "ничего быть не может"; сумма мо- (счет оказаться меньше обоих слагаемых; при умножений т" ;-:от новые правила ("минус на минус дает плюс"),

- ; учащемуся трудно связать с привычными пред-…., относящимися к действию умножения ца- tx 41': е. .

Все эти обстоятельства не случайны, а полностью повторяют те недоумения и сомнения, которые и исторически [сопровождали процесс освоения новой категории чисел. Потребовалось несколько столетий для того, чтобы в эти вопросы внести ясность и включить новые объекты -

. отрицательные числа-в качестве равноправных членов в …. чисел. В преподавании мы не можем, конечно, J.ITH по тому извилистому пути, которому при этом следовало человечество, и вынуждены добиваться того, чтобы '-'зщнеся быстро овладевали математическим аппаратом в той его форме, в какой он в конечном итоге применяется сейчас. Но это должно заставить нас отнестись с тем большим вниманием к психологии учащихся и принять все зависящие от нас меры к устранению тех естественных недоумений и сомнений, о которых идет речь. Можно утверждать, что именно на это направляются в основном усилия всех составителей учебников по алгебре и препо-

давателей, желающих облегчить учащимся усвоение этого раздела курса. Обилие и разнообразие относящихся сюда способов изложения и методических приемов, предлагаемых различными авторами, свидетельствуют о неизменной актуальности вопроса и о том, что удовлетворительное его разрешение еще не достигнуто.

Мы думаем, что и по существу здесь возможны различные способы изложения и разные подходы к делу- в конечном итоге решающей является привычка обращаться с новыми понятиями, приобретаемая учащимися в процессе их применения. Вычислительной практикой закрепляются установленные определения и формальные правила действий: при применении к различного рода величинам в процессе решения задач выясняется и закрепляется конкретный смысл и осознается практическая полезность новых понятий. Из этих положений, имеющих весьма общее значение в преподавании математики, вытекает, прежде всего,, первостепенное значение упражнений и задач при прохождении любой математической дисциплины, в соответствии с классическим указанием Ньютона: "Примеры учат не меньше, чем правила". Этим объясняется и то, что при самых разнообразных подходах к вопросу и различных способах построения теории, иногда даже и дефектных с той или иной точки зрения, в конечном итоге, после достаточного числа упражнений, достигается, в среднем, требуемый результат. С какого конца ни начинать, нодействовать-то приходится всем одинаково: в процессе активной деятельности учащихся отдельные дефекты большей частью сглаживаются, и выкристаллизовывается именно то, что нужно.

Это обстоятельство, однако, не снимает основного вопроса о психологических затруднениях учащихся при освоении новых понятий.

Начальные объяснения и определения, подбор и распределение соответствующих иллюстрирующих примеров и упражнений-все это в практике преподавания определяет как степень трудности для учащихся в усвоении того или иного раздела курса, так и качество этого усвоения-ту или иную степень одного из распространенных недостатков нашей школы--"формализма" в овладении новым материалом, быстроту и уверенность ориентировки учеников в вопросах, требующих отчетливых представлений о связи абстрактного с конкретным и т. д.

Дли того чтобы выбрать здесь правильный путь, помочь учащимся быстрее преодолеть естественно возникающие затруднения, преподаватель должен с возможно большей отчетливостью и полнотой ориентироваться как в теоретической стороне дела, так и в тех методических приемах, которые могут найти применение в нужных случаях. Настоящая брошюра и имеет целью помочь в этом преподавателю.

§ 2. ВВЕДЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ С ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ

В законченной форме систематический курс геометрии предотставляет собой, как известие, цепь логически-связанных л | \т с другом предложений, причем последующие теоремы

*определения опираются на ранее установленные определения, аксиомы и теоремы. Такой способ изложения отвезет самой сущности математического метода, характерной

; о: бедностью которого как раз и является вывод одних по- лмл.еннн из других с помощью логического рассуждения (тедукция). В такую форму облекаются все математические дисциплины, в разработке которых достигнута соответству-

*o' 'П степень законченности. В частности, так оформляется

o-o ченной математике и тот материал, который отвешг..ным курсам арифметики и алгебры. В школьном илдс-женни этих учебных предметов эта сторона дела отражена гораздо менее отчетливо, чем в курсе геометрии, и ".1СГО совсем ускользает от внимания учащихся, воспринимающих арифметику на основе непосредственных конкрет- ы .\ представлений о числах и действиях над ними, а алгебру-как совокупность некоторого числа технических правил буквенного исчисления. В отношении арифметики Т2--ЗЯ установка неизбежна и естественна, хотя и ^ < сь можно высказать уверенность в целесообразности

*"сличения удельного веса логического рас- г % к д е н и я при прохождении курса, с одной стороны, и ь необходимости, с другой стороны, большего внимания к действительно конкретному и осязательному пониманию учащимися числовых соотношений (в особенности при изучении дробей). Не останавливаясь сейчас на этом, отметим только, что часто встречающаяся (даже у оканчивающих среднюю школу) неуверенность в обращении с нулем и единицей свидетельствует о довольно серьезном неблагополучии в указанных отношениях уже в курсе арифметики.

Однако при переходе к алгебре, в частности, в интересующем нас вопросе об отрицательных числах, неясности в отношении методологической структуры предмета способны привести-при неудачном методическом подходе-к своего рода кризису. Привыкнув в арифметике воспринимать законы действий над целыми числами как нечто конкретно-осязательное и придавая второстепенное значение соответствующим определениям, учащиеся теряются при изучении отрицательных чисел, для которых конкретное истолкование действий уже не носит столь непосредственного характера. Приобретающие в связи с этим значительно большее значение определения воспринимаются учащимися как нечто чужеродное, их "условность" кажется неубедительной, ученики ищут и требуют чего-то другого, чего обычное изложение в учебнике им не в состоянии дать. В поисках большей убедительности более активные методисты и преподаватели стремятся отойти от обычного изложения, иногда подменяя стандартные определения неполноценными с теоретической точки зрения формулировками, а иногда даже прибегая к суррогату доказательств там, где о доказательствах по существу не может быть и речи.

Прежде, чем обращаться к методике вопроса необходимо поэтому отдать себе достаточно ясный отчет в том, как же здесь обстоит дело по существу, с точки зрения требований безупречного с логической стороны дедуктивного построения этого раздела курса. После этого можно будет вернуться к вопросу о том, чего же именно не хватает учащимся и в какой форме можно пойти навстречу их запросам, вполне закономерным с психологической точки зрения.

Подчеркиваем еще раз, что дальнейшее изложение в этом параграфе отнюдь не должно рассматриваться, как возможный вариант школьного изложения предмета. Имея в виду охарактеризованные выше цели, мы остановимся на теоретической стороне вопроса, адресуясь к читателю, у которого уже есть основания специально ею интересоваться.