Геометрия 6 класс (Колмогоров, Семенович, Нагибин, Черкасов) 1977 год - старые учебники

13. Отображения фигур. —

14. Конгруэнтные фигуры 31

15. Измерение углов 33

16. Поворот плоскости вокруг точки 35

17. Центральная симметрия 39

18. Осевая симметрия. 41

19. Расстояние от точки до прямой 46

20. Общие свойства перемещений 48

§ 3. Геометрические построения 50

21. Пересечение прямой и окружности —

22. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету 52

23. Свойства равнобедренного треугольника. 54

24. Пересечение двух окружностей 56

25. Построение треугольников 58

26. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку 63

27. Свойство биссектрисы угла 64

28. Понятие о взаимно обратных теоремах 63

$ 4. Параллельность и параллельный перенос 67

29. Параллельность и центральная симметрия. —

80. Аксиома параллельных 69

31. Направления 71

32. Углы между направлениями 73

33. Сумма углов треугольника 75

34. Признаки параллельности прямых 78

35. Теорема о конгруэнтных отрезках 79

36. Параллельный перенос 80

37. Полоса 83

38. Теорема Фалеса—

Глава II. Многоугольники 87

$ 1. Определение многоугольника —

39. Простая замкнутая ломаная. Многоугольник —

40. Сумма внутренних и сумма внешних углов выпуклого многоугольника 89

§ 2. Треугольники 91

41. Элементы, определяющие треугольник —

42. Соотношения между сторонами и углами треугольника 93

§ 3. Четырехугольники 95

43. Виды четырехугольников —

44. Свойства параллелограмма 96

45. Признаки параллелограмма 99

Задачи на повторение к главе I 101

Задачи на повторение к главе II 108

Ответы и указания 111

Ответы и указания к задачам на повторение к главе I 121

Ответы и указания к задачам на повторение к главе II 124

Глава I,

НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ

В первых пяти классах вы уже занимались геометрией, знакомились со многими геометрическими фигурами и некоторыми определениями, доказывали некоторые предложения. Но книгу, специально посвященную геометрии, получаете впервые только теперь. Вы начинаете изучать систематический курс геометрии. Поэтому в первой главе придется заниматься и повторением уже известного материала.

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

1. Что такое геометрическая фигура

Отрезки, прямые, круги, окружности, треугольники — все это геометрические фигуры. Но что такое вообще «геометрическая фигура»? Как определить само это понятие?

Начнем с частных примеров. Рассмотрим окружность с центром О радиуса г (рис. 1). Она состоит, как вы знаете, из всех точек X плоскости, для которых расстояние от точки О равно г. Условимся расстояние между точками А и В обозначать | АВ|. Тогда для любой точки X окружности | ОХ\ — Читается: расстояние | ОХ равно г.

Определение. Множество всех точек плоскости, находящихся на положительном расстоянии г от данной точки, лежащей в этой плоскости, называется окружностью.

Теперь представьте себе множество таких точек плоскости, расстояние каждой из которых от точки О не больше г, т. е. равно г или меньше г. Вы без труда догадаетесь, что это множество точек состоит из всех точек окружности с центром О радиуса г и всех

г.

точек, лежащих внутри этой окружности. Иначе говоря, это круг радиуса г с центром О (рис. 2).

Определение. Множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до данной точки этой плоскости не больше положительного г, называется кругом

Рис. 2 (Рнс- 2).

Мы определили окружность и круг как множества точек, обладающих определенными свойствами. Так мы будем поступать и в дальнейшем, определяя новые виды

геометрических фигур. Любую геометрическую фигуру мы будем считать состоящей из точек, т. е. множеством точек. Определение. Геометрической фигурой называется любое множество точек.

Такой подход к делу укоренился в геометрии сравнительно недавно. Большинство геометров XIX в. было бы недовольно нашим определением геометрической фигуры. Они считали, например, что прямая существует сама по себе. На ней «лежат» точки. Собрав вместе все эти точки, по их мнению, мы получим «множество лежащих на прямой точек», а не саму эту прямую. Мы же будем считать, что предложение «точка А лежит на прямой Р» имеет смысл «точка А есть элемент множества Р». О языке теории множеств в геометрии будет более подробно сказано в пункте 11.

Вопросы и задачи

1°. Принадлежит ли кругу его центр? Принадлежит ли окружности ее центр?

2. Постройте на плоскости по 3 точки, расстояние которых от заданной в этой плоскости точки В: а) меньше 2 см; 6) равно 2 см; в) больше 2 см.

3. Сколько на данной прямой можно найти точек, расстояние которых от заданной на этой прямой точки О: а) меньше 2 см; б) равно 2 см; в) больше 2 см3

4. На прямой дана точка О. Какую геометрическую фигуру образует множество точек этой прямой, находящихся на расстоянии не большем 2 см от точки О? Чем будет являться для этой фигуры точка ОЗ

5. Даны две окружности с общим центром О и радиусами П и г2 {гх<^Г2). Сделайте такой рисунок и укажите, где на этом рисунке могут находиться такие точки X, для которых: а) |ОХ|<г2; б) \ОХ\^г2; в) |ОХ|>г2; г) П< |ОХ| <г2; д) |ОХ|=г2.

6. Постройте круг с центром в точке О и радиусом, равным 2 см. 1) Возьмите точку М так, чтобы выполнялось условие:

а) |0Л/|=4 см; 6) |O7Vfj=2 см; в) |ОМ|=0,5 см. Какое множество образуют все такие точки М в каждом из этих случаев?

2) Укажите такие принадлежащие построенному кругу точки М и N, для которых: a) |Af2V|=3 см; б) |МДГ|=4 см. в) Можно ли найти в этом круге точки с расстоянием |MN| =5 см3

2. Определения. Основные понятия, принимаемые без определений

В предыдущем пункте мы дали определения окружности, круга, геометрической фигуры. Сейчас нам важно разобраться в том, как строятся определения.

Чтобы определить понятие «окружность», мы пользовались другими понятиями — «множество», «точка», «плоскость», «расстояние». При определении любого нового понятия употребляются другие понятия, которые должны быть уже известными. Но нельзя дать определения всем понятиям. Некоторые понятия принимаются за основные и не определяются. Все другие понятия определяются.

В нашем курсе геометрии основных геометрических понятий четыре: 1) точка, 2) прямая, 3) плоскость, 4) расстояние от одной точки до другой.

Для всех дальнейших геометрических понятий, кроме этих четырех основных, в нашем курсе геометрии будут даны определения. Например, в пункте 5 будет дано определение понятия «луч», в пункте 7 — понятий «отрезок», «ломаная» и т.д.

Мы будем пользоваться еще некоторыми общими математическими понятиями, которые не относятся специально к геометрии. Например, в пункте 1 мы уже воспользовались понятием «множество». Понятие «множество» относится к числу основных понятий всей математики.

Вопросы и задачи

1°. Назовите геометрические понятия, которые использованы при определении: а) геометрической фигуры; б) окружности; в) круга.

2°. Сформулируйте определения шара, сферы (поверхности шара). Какие геометрические понятия используются в этих определениях?

3°. Назовите предметы, имеющие форму: а) шара; б) круга; в) окружности.

4°. Вспомните определения смежных и вертикальных углов.

Какие геометрические понятия используются в этих определениях?

5°. Сформулируйте определения: а) центра окружности; б) радиуса окружности.

3. Величины и числа

Вы уже знакомы с натуральными, целыми и дробными числами. Встречались также и с величинами: длинами, площадями, объемами. Величины бывают разных родов. Приведем лишь два примера:

1) Расстояния между точками, длины отрезков, ломаных и кривых линий выражают в сантиметрах, метрах или километрах.

2) Длительность промежутков времени выражают в секундах, минутах или часах.

Величины одного и того же рода можно сравнивать между собой и складывать:

1 м > 90 см, 350 м 4- 650 м = 1 км\

3000 сек <1 ч, 2ч4-3ч=5ч;

500 г 4- 500 г — 1 кг.

Но бессмысленно спрашивать, что больше — 1 метр или 1 час, и нельзя сложить 1 метр с 30 секундами.

Величины можно умножать на числа. В результате умножения величины а на число х получается величина* b = ха того же рода. Например, умножив 20 см на число 5, получим 100 см = 1 м.

Выбрав какую-либо величину е данного рода за единицу измерения, можно при ее помощи измерить любую другую величину а того же рода. В результате измерения находят, что а = хе, где х — число. Это число х называется числовым значением величины а при единице измерения е. Например, расстояние в 3 м имеет числовое значение 3, если единицей измерения является метр, и числовое значение 300, если единицей измерения является сантиметр.

Если а — хЬ и Ъ =/= 0, то число х называют отношением величины а к b и пишут:

, а

х = а : Ь, или х= -т-.

* Числовой множитель при величине обычно пишут слева.

Вопросы и задачи

1°. Приведите примеры на сравнение и на сложение величин. 2°. Как изменится числовое значение величины, если единицу измерения ее уменьшили в 10 раз? Увеличили в 100 раз?

3°. Найдите числовое значение величины а=3 см, если за единицу измерения принят один километр.

4. В одной английской миле 1,609344 км. Сколько километров в т милях? Сколько миль в одном километре?

5- Найдите отношение следующих величин: а) 2 км к 40 м; 6) 3 т к 50 кг\ в) 4 га к 100 кв. м.

4. Основные свойства расстояний

Практический опыт нам подсказывает, что каждым двум точкам соответствует вполне определенная неотрицательная величина, называемая расстоянием от одной из них до другой. Например, расстояние от точки А до точки В на рисунке 3 равно 5 см. А каково расстояние от точки В до А на том же рисунке? Конечно, тоже 5 см. Это свойство расстояний нам знакомо. Привычно также считать, что 0

расстояние от любой точки до •

нее самой равно нулю (или, как говорят, если точки совпадают, то расстояние между ними равно нулю).

Отметьте три точки А, В и £

С. Измерьте расстояния \АВ |, Рис- 1 2 3

| ВС I и | АС\. Что вы можете сказать о расстоянии | АС | по сравнению с суммой расстояний | АВ | и | ВС I? Как бы вы ни расположили точки А, В и С (рис. 4), расстояние | АС | не больше суммы расстояний | АВ\ и | ВС|. В случаях а), б) и в) | AC I < | АВ I 4- | ВС |, в случае г) | AC I = | АВ | + | ВС I.

Сформулируем теперь рассмотренные свойства расстояний.

1. Расстояние от точки А до точки В положительно, если они различны, и равно нулю, если они совпадают:

\АВ I > 0, если А =# В, и |АВ I = 0, если А = В.

2. Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А:

IABI = IBA I.

a) A c 6)

в ' ,

• A c

.А С в , А В c

6) 2) •

Puc. 4

3. Для любых трех точек Л, В, С расстояние от 4 до С не больше (меньше или равно) суммы расстояний от Л до В и от В до С:

1ЛС1 < 1ЛВ1 + IBCI.

Перечисленные три предложения принимаются без доказательства. Сейчас мы покажем, что с их помощью можно логически доказывать другие предложения, которые называются теоремами.

Теорема. Для любых трех точек А, В, С расстояние | АВ | не меньше разности расстояний | АС | и | ВС |.

Доказательство. По свойству 3

IАВ\ 4- |ВС| > |АС\.

Уменьшим обе части этого неравенства на |ВС|. Получим неравенство

IАВ\ ^\АС\ — |ВС|, которое и выражает утверждение теоремы.

Свойство 3 и доказанная сейчас теорема могут быть вместе сформулированы так: каждое из трех расстояний между тремя точками, взятыми попарно, не больше суммы и не меньше разности двух других.

Вопросы и задачи

1. Три различные точки К, L и М лежат на одной прямой.

KL\ =6 см] |LM| — 10 см. Каким может быть расстояние Для каждого из возможных случаев сделайте соответствующий рисунок.

2. О трех различных точках Л, В и С известно, что |АВ|=8 см, |ВС| =4 см. Может ли при этом условии расстояние |ЛС| оказаться равным: а) 20 см] б) 4,5 см] в) 12 см] г) 4 см] д) 3 см] е) 6 см!

3. Известно, что расстояние от пункта А до пункта В равно 2 км, а от пункта А до пункта С — 5 км. Может ли расстояние от пункта В до пункта С быть равным: а) 2 км; б) 3 км; в) 5 км; г) 7 км; д) 8 км!

4. Из двух пунктов А и В вышли в пункт М по прямолинейным маршрутам двое связных. Расстояние |AAf |, пройденное первым связным, составило 10 км, расстояние |ВМ|, пройденное вторым связным, — 6 км. Каким может быть рас-стояние |АВ| ? Рассмотрите эту же задачу для случая, когда дополнительно известно, что пункты А, В и М находятся на одной прямой.

5. Свойства расстояний на прямой

Отметьте на прямой три точки. Вы увидите, что одна из них лежит между двумя другими. Например, на рисунке 5 точка В лежит между точками А и. С. Но среди геометрических понятий, которые мы выбрали за основные, нет понятия «лежать между». Оно не упомянуто среди основных геометрических понятий потому, что смысл выражения «точка В лежит между точками А и С» можно определить, пользуясь понятием «расстояние». В самом деле, на рисунке 5 видно, что расстояние | AC I равно сумме расстояний | АВ | и | ВС |. Так бывает всегда, если точка В лежит между точками А и С.

Определение. Точка X лежит между точками А и В, если эти три точки различны и IABI = IAXI + |ХВ|.

Вы знаете, что любая лежащая на прямой точка «разбивает» эту прямую на два «луча». Теперь мы должны объяснить, что это значит, пользуясь только основными геометрическими понятиями и понятием «точка X лежит между точками А и В», которое мы уже определили. Но сначала приведем некоторые наглядные соображения. На рисунке 6 изображены прямая р и лежащая на ней точка О. Обо-значим через М множество всех точек прямой р, расположен-

М N

. Р

С А В

Рис. 6

АВ С

Рис. 5

ных левее точки О, а через N — расположенных правее точки О. Мы видим, что:

а) точка О лежит между любыми двумя точками, из которых одна принадлежит множеству М, а другая — множеству N. Например, точка О лежит между А и В;

б) если две точки принадлежат одному и тому же множеству (М или N), то одна из них лежит между другой и точкой О. Например, точка А лежит между С и О.

Конечно, это свойство расположения точек на прямой можно высказать в общем виде. Мы принимаем без доказательства следующее:

1. Любая лежащая на прямой точка О разбивает множество отличных от О точек прямой на два непустых множества так, что:

а) точка О лежит между любыми двумя точками, принадлежащими разным множествам;

б) из двух точек, принадлежащих одному множеству, одна лежит между другой и точкой О.

Каждое из множеств, на которые точка О разбивает множество отличных от О точек прямой, называется открытым лучом с началом О.

Теперь мы можем дать определение понятия «луч».

Определение. Объединение открытого луча с его началом — точкой О — называется лучом с началом О.

На каждом луче можно найти точку, находящуюся на данном расстоянии от его начала. Этим свойством луча мы часто пользовались при построениях. Теперь мы дадим точную формулировку этого свойства, приняв его без доказательства.

2. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует единственная точка Л, находящаяся на расстоянии а от точки О.

Из сказанного следует, что на заданной прямой, содержащей точку О, для заданного расстояния а имеется ровно две точки, лежащие на расстоянии а от точки О. Их легко найти, отложив расстояние а циркулем (рис. 7, а).

2. Теорема. Из трех различных точек, лежащих на одной прямой, одна лежит между двумя другими.

Доказательство. Точка А делит прямую на два луча. Если точки ВпС принадлежат разным лучам, то А лежит между В и С (рис. 7, б).

ft о Ф? ДА с

4 S 5) в *С

В С А

6) г)

Рис. 7

Если же точки Ви С принадлежат одному лучу, то одна из них лежит между другой и точкой А (рис. 7, в). В обоих случаях среди наших трех точек найдется одна, лежащая между двумя другими.

В заключение рассмотрим три точки А, В и С, которые не лежат на одной прямой (рис. 7, г). В этом случае каждое из трех расстояний |АВ|, |ВС| и |АС| меньше суммы двух других. Примем без доказательства:

3. Если три точки А, В и С не принадлежат одной прямой, то

1ЛС'|<|ЛВ| + | ВС\.

Вопросы и задачи

1°. Какие геометрические понятия использованы для определения понятия «между»?

2°. Что можно сказать о расположении точек X, У, М, если ХУ| + |ХЛ1| = |МУ|?

3°. Точка X лежит между точками А и В. Будет ли она лежать между точками В и А?

4°. Откуда следует, что если точка X лежит между точками А и В, то эти три точки принадлежат одной прямой?

5°. Являются ли различными: а) отрезки АВ и ВА; б) лучи АВ и ВА?

6. Сколько лучей задают на прямой АВ две ее точки А и В?

7. Дан круг, две точки его окружности соединены отрезком АВ.

Лежит ли между точками А и В: а) какая-либо точка этой окружности? б) какая-либо точка данного круга?

6. Аксиомы и теоремы

Мы познакомились с доказательством теоремы 1. Оно опиралось на второе и третье свойства расстояний, принятые без доказательства.

При доказательстве любой геометрической теоремы нал придется опираться на какие-либо геометрические предложения, которые уже были доказаны ранее или приняты без

доказательства. Ясно, что доказывать в геометрии все предложения нельзя: для того чтобы начать доказывать геометрические предложения в виде теорем, надо какие-либо другие геометрические предложения принять без доказательства.

Предложение, принимаемое без доказательства, называется аксиомой.

Предложение, истинность которого доказывается, называется теоремой.

В нашем курсе геометрии мы будем считать аксиомами сформулированные выше свойства расстояний. С полным списком аксиом геометрии вы познакомитесь позднее. Приведем еще два примера аксиом.

1. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая (аксиома прямой).

2. Прямая, проходящая через любые две различные точки плоскости, принадлежит этой плоскости.

Аксиому прямой можно высказать так: две отличные друг от друга точки полностью определяют проходящую через них прямую. Прямая, проходящая через точки А и В, обозначается (АВ). Мы уже знаем, что точка А определяет на прямой два луча. Тот луч с началом А, на котором лежит точка В, обозначается [АВ).

Из аксиомы прямой следует теорема о числе общих точек двух прямых.

Э. Теорема. Две различные прямые имеют не более одной общей точки.

Действительно, если бы прямые имели две различные общие точки, то они совпали бы по аксиоме прямой. Значит, более одной общей точки две различные прямые иметь не могут, что и требовалось доказать.

Фигура называется плоской, если все ее точки принадлежат одной и той же плоскости. Начиная со следующего пункта мы будем изучать только фигуры, расположенные в одной плоскости, т. е. заниматься планиметрией. В дальнейшем это не будет каждый раз оговариваться. Если мы захотим говорить о фигурах, не лежащих в одной плоскости, то об этом будет сказано особо.

Вопросы и задачи

1°. Какой фигурой является объединение [АВ) и [ВА)?

2°. Располагаются ли точки А, В и С на одной прямой, если:

а) |АВ =5 см;

АС =4 см] ВС =6 см;

б) АВ =5 см; АС =3 см; ВС =2 см;

в) АВ =5 см; АС =1 см; [ВС[ = 2 см?

3. Как расположены точки Р, Q, R относительно друг друга, если: a) |PQ| + |QB| = |РВ|; б) |PB| + |BQ| = |PQ|; в) |BP| + |PQ| = |2?Q|?

4. Точка С лежит между А и В, а точка X между А и С. Лежат ли точки А, В, С и X на одной прямой?

5. На прямой взяты четыре точки: А, В, С и М так, что | АМ[ -|- |2ИВ| + |ВС| = | АС|. Известно, что точка М лежит между А и В. Докажите, что точка В лежит между точками А и С.

6°. Могут ли два отрезка иметь: а) только одну общую точку?

6) только две общие точки?

7. Даны отрезки АС и ВС, лежащие на одной прямой. Вычислите расстояние между серединами этих отрезков, если

щие на одной прямой? Отку- Рис. 9

да следует ваше утверждение?

10°. Сколько линий можно провести через две данные точки? Сколько прямых проходит через эти же точки?

11°. Сколько общих точек с плоскостью может иметь прямая, не принадлежащая этой плоскости? Откуда следует ваше утверждение?

12. Могут ли все точки прямой принадлежать кривой поверхности (не плоской, рис. 8)?

13. Как проверить, является ли поверхность плоской (объясните по рисунку 9)?

14*. На рисунке 10 показано, что четыре точки могут определять одну, четыре или шесть прямых. Покажите, что пять точек могут определять 1, 5, 6, 8 или 10 прямых (других случаев нет).

7. Отрезок. Ломаная

С понятием отрезка вы знакомы. Отрезок, соединяющий точки А и В (концы отрезка), обозначается [АВ]. Но теперь мы должны дать понятию отрезка определение.

Определение. Множество, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком.

Длиной отрезка называется расстояние между его концами. Всякая точка, лежащая между концами отрезка, называется внутренней точкой этого отрезка.

На рисунке 11 изображена ломаная A0AtA2A3A4. Она является объединением отрезков АОАХ, АХА2, А2А3, А3А4. Конец каждого отрезка является началом следующего. Но смежные отрезки не лежат на одной прямой.

О пределение. Ломаной А0А1 Ап называется объединение отрезков АОАЦ АгА2, А2А3, , An_xAn, таких, что конец каждого отрезка (кроме последнего) является началом следующего и смежные отрезки не лежат на одной прямой.

Точки Ао и Ап называют концами ломаной А0А1А2.Ал. Говорят, что эта ломаная соединяет точки Ао и Ап.