Наглядная геометрия - элементарный практический курс (Шалит) 1924 год - старые учебники

Цилиндр 38

Конус —

Пирамида. • —

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Глава I. —О различии форм предметов 40

Глава II. — Рисунок и план. Масштаб. 53

Глава III. — Пересекающиеся и параллельные линии . 60

Глава IV. — Отвес 64

Глава V. — Горизонтальная линия 71

Глава VI. — Прямой угол. 80'

Глава VII. — Фигуры 91

Треугольник. —

Четырехугольные фигуры 107

Подобные фигуры. 119

Фигуры, ограниченные кривыми линиями 124

Линии, фигуры, углы па правильных геометрических телах 135

Глава VIII. — Измерения 136

Глава IX. — Определение полной и боковой поверхности геометрических тел 169

Глава X. — Измерение объемов тел . . 184

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ГЛАВА ПЕРВАЯ

ЛИНИИ

Прямая линия

1. Возьмите в руки лучинку и положите ее на стол так, чтобы середина ее была прямо перед вами.

Покажите правый конец, середину лучинки.

Подвиньте лучинку вправо, влево.

2. Положите лучинку на стол так, чтобы один ее конец был обращен прямо к вам. Можно ли теперь показать правый конец лучинки? левый конец?

Поверните лучинку так, чтобы вы могли показать ее правый конец, левый конец.

Повернитесь к лучинке так, чтобы вы могли показать ее правый конец, левый конец.

3. Положите лучинку так, чтобы середина ее была прямо перед вами. У правого ее конца положите кусочек бумаги. Станьте, позади лучинки и покажите теперь ее правый конец.

4. Станьте лицом к классу и покажите правый, левый и средний ряды скамеек.

Станьте спиной к классу и покажите теперь правый ряд скамеек, левый ряд, средний.

5. Держите лучинку так, чтобы она была направлена прямо вверх. Покажите верхний конец, нижний конец, середину лучинки.

6. Держите лучинку перед собой за ее середину так, чтобы она была направлена прямо вверх. Наклоняйте ее постепенно по направлению к себе, пока лучинка одним концом будет обращена прямо к вам.

7. Наклоняйте постепенно лучинку, стоящую прямо вверх, до тех пор, пока она будет лежать прямо перед вами.

8. Положите на стол какую-нибудь коробку (куб). Покажите на этой коробке линию, которая направлена прямо вверх или прямо вниз.

Около коробки прикрепите к столу лучинку (воском или пластелином) так, чтобы она также была направлена прямо вверх. Будем говорить, что лучинка в таком положении и прямая на коробке имеют одинаковое направление.

Наклоните лучинку вправо, влево, вперед, назад. Лучинка и показанная вами на коробке линия будут иметь разные направления.

9. Начертите на столе мелом при помощи линейки прямую линию. Положите лучинку вдоль начерченной линии. Отодвиньте затем один конец лучинки. Лежит ли и теперь лучинка вдоль начерченной прямой или наклонно к ней?

Выровняйте лучинку — отодвиньте от края стола другой ее конец, чтобы лучинка лежала вдоль начерченной прямой.

Натяните туго бечевку на столе так, чтобы она была направлена вдоль начерченной или другой какой-либо прямой, находящейся на столе.

Натрите бечевку мелом. Натяните ее на столе, и пусть кто-либо из вас приподымает веревку за середину и сразу отпустит ее. Бечевка оставит на столе след прямой линии, по которой она была натянута.

10. Бросьте лучинку, как попадется, на середину стола. Посмотрите, легла ли лучинка вдоль начерченной на столе прямой или наклонно к ней.

Положите лучинку вдоль начерченной на столе прямой и передвигайте лучинку в разные стороны так, чтобы она все время лежала вдоль прямой.

11. Покажите на столе, окнах и стенах класса, на предметах, лежащих перед вами, прямые линии.

Покажите верхний, нижний, правый, левый концы этих линий.

Отыщите и покажите в классной комнате наклонные линии.

Посредством туго натянутой бечевки покажите то направление, какое имеют показанные вами линии.

12. Посмотрите на коробку, лежащую на столе. Замечаете ли вы на ней наклонные линии? Приподнимите коробку одной стороной. Замечаете ли теперь наклонные линии? Приподнимите теперь и другую сторону коробки так, чтобы замеченные вами на ней линии перестали быть наклонными.

площадь его большого круга ²² ' $ ' ⁵ кв. сантиметров, а боковая

4 • 22 • 5 • 5 поверхность этого шара —— кв. сантиметров.

Такой же результат получится, если боковую поверхность шара определить и таким наглядным способом: разрезать деревянный шар на две половины, обмотать довольно толстой веревочкой площадь большого круга и поверхность одного полушария и сравнить между собой длину обеих веревочек.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

616. Из лцста железа весом в 6V2 килограммов, размерами 40 сантиметров X ⁷⁰ сантиметров, вырезан кусок и из него приготовлен кубик размерами 5 X ⁵ X ⁵ куб. сантиметров. Укажите, как надо вырезать этот кусок и какой он должен быть величины: 1) если его согнуть в ребрах и 2) если его спаять из шести отдельных квадратов.

Высчитайте вес этого кубика.

617. Высчитайте вес кубиков при следующих данных (размеры листа те же): вес листа 8, 10, 12 килограммов; кубик имеет ребра 3, 3*/₂ 4 сантиметра.

618. Ящик для упаковки имеет размеры 90 сантиметров X X 90 сантиметров X 90 сантиметров. Какие надо нарезать концы (куски досок) для изготовления этого ящика и сколько таких концов нужно нарезать, если употребить для ящика доски длиной й 4'/₂ метра и шириной в 18 сантиметров? Сколько таких ящиков можно изготовить из 10 досок указанных размеров? Останутся ли обрезки, какой они будут длины и какую часть всех досок они составят?

619. Платяной шкаф имеет в вышину 180 сантиметров, в ширину 1 метр 20 сантиметров и в глубину 70 сантиметров. Высчитайте количество досок (указанных в предыдущей задаче размеров), необходимых для изготовления этого шкафа, если в нем имеется один выдвижной ящик высотой в 25 сантиметров.

620. Погреб, имеющий в глубину 2 метра, в ширину 5 метров и в длину 7 метров, желают для предохранения от сырости покрыть цементом. Определите в квадратных метрах площадь, которую нужно цементировать.

621* Определите в квадратных метрах площадь, которую нужно было покрыть штукатуркой в нашей классной комнате.

622. Определите, сколько кусков обоев нужно для оклейки нашей классной комнаты, если ширина куска 36 сантиметров, а его длина 12 метров.

623. Угловой шкафчик, высотой 50 сантиметров, имеет две полочки в форме равнобедренного прямоугольного треугольника, катеты которого имеют в длину по 20 сантиметров. Определите количество дерева, необходимого для изготовления этого шкафчика, не считая дверцы, сделанной из стекла в узкой деревянной рамочке.

624. Для того, чтобы дрова лучше горели, нужно, чтобы пламя охватывало их по возможно большей поверхности. Укажите, как целесообразнее колоть круглые дрова: по одному диаметру или двум перпендикулярным диаметрам. Определите, насколько увеличивается боковая поверхность круглого полена в 15 сантиметров диаметром и 50 сантиметров длиной, если его расколоть на четыре части по радиусам.

625. Известная пирамида Хеопса занимала квадратную площадь длиной в 185 метров. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания было равно 240 метрам. Сколько извести нужно было для облицовки всего сооружения, если принять, что на каждый квадратный метр облицовки употреблялось 10 пуд. извести.

626. Квадратной формы беседка в 8’/2 метров оканчивается четырехскатной крышей, имеющей форму правильной пирамиды. Длина каждого из стропил крыши 7 метров. Сколько досок длиной в 6 метров и шириной в 18 сантиметров должно пойти на обшивку скатов крыши?

627. Требуется отполировать со всех сторон стальной цилиндр, имеющий диаметр 10 см и высоту 30 см. Определите стоимость этой работы, если за 1 кв. см полировки пришлось уплатить 10 коп.

628. Круглый открытый сверху резервуар для воды должен быть окрашен снаружи и внутри. Диаметр резервуара—3^J/₂ метра, высота его 6 метров. Сколько квадратных метров нужно окрасить (толщина стенок резервуара не принимается в расчет)?

629. Водосточные трубы были изготовлены из листового железа, размерами 140 сантиметров X ⁷⁰ сантиметров, по четыре штуки из одного листа. Сколько погонных метров труб можно изготовить из одного листа железа? Определите поверхность одного метра трубы (закрой, т.-е. железо, уходящее на соединение обоих краев трубы, не принимается в расчет) и диаметр трубы.

630. Сколько нужно листов железа, чтобы изготовить 56 метров водосточных труб, считая по четыре трубы длиной в 140 сантиметров из одного листа?

631. В фабричном помещении стоят 12 чугунных колонн. Нижняя часть этих колонн до высоты 1 метра шестигранная, при ширине одной грани в 20 сантиметров; верхняя часть колонны круглая, радиусом в 8 сантиметров. Общая высота колонны—5 метров. Определите в квадратных метрах поверхность всех колонн и стоимость их покраски, считая покраску 1 кв. метра в 1 руб. 50 коп.

632. Крыша беседки имеет форму конуса с радиусом основания в 4 метра и при длине образующей ^г) в 3 метра. Как следует ее покрывать железом (размеры см. зад. 629)? Сколько листов железа должно уйти, если прибавить к вычисленному количеству листов ^г/₁₀ часть на обрезки и закрой?

633. Жестяные эмалированные кружки, имеющие форму правильных цилиндров, покрыты эмалью снаружи и внутри. Определите в квадратных сантиметрах поверхность, покрытую эмалью, в нескольких кружках различных размеров:

высота 3 сантиметра, диаметр дна 2^Х/₃ сантиметра.

4 3

99 99 99 99 ^М 99

634. На сахарных заводах жидкий сахарный сироп вливается в формы, имеющие вид конуса. В этих формах сахар затвердевает и поступает в продажу под названием головного сахара. Какие нужно знать размеры, чтобы определить количество жести, необходимое для одной формы? Как выкроить такую форму из прямоугольного листа железа?

Решите эти задачи при следующих 1) Для большого размера головок: диаметр дна головки

высота головки

образующая конуса.

2) Для малого размера головок: диаметр дна головки

высота головки

образующая конуса

данных:

30 сантиметров

40

50

15 сантиметров

20

25

^]) Образующей конуса называется нрямая ливня, соединяющая вершину вонуса с какой-либо точкой окружности основания.

635. Так называемый пиленый сахар получается распиливанием головного сахара (головок) на кружки и разрезанием этих кружков на куски прямоугольной формы. Определите, сколько кружков можно отпилить от головки большого размера, чтобы получить из нее головку малого размера, при толщине кружка в 2 сантиметра? (Данные см. в предыдущей задаче).

636. Квадратный деревянный брусок, размерами 15 X ¹⁵ X 40 куб. сантиметров, нужно обточить на токарном станке в цилиндр возможно большего диаметра. Определите боковую поверхность бруска и разницу в величине его боковой поверхности и боковой поверхности полученного из него цилиндра.

637. Две трубки, обе одинаковой длины, отданы в никкели- ровку. Внешний диаметр одной трубки 2 сантиметра, другой 3 сантиметра, длина каждой 10 сантиметров. Определите разницу в величине боковой поверхности обеих трубок и разницу в стоимости никкелировки, если 1 квадратный сантиметр ник- келировки стоит 30 коп.

638. Определите все нужные размеры обыкновенного жестяного чайника, сделайте развертку всех его частей в масштабе ¹/_ь и подсчитайте, сколько жести в квадратных сантиметрах ушло на этот чайник.

636. Как известно, воздух оказывает давление на каждый квадратный сантиметр поверхности всякого предмета на земле с силой в килограмм. Определите давление воздуха на резиновый мяч, диаметром в 15 сантиметров.

640. Сравните поверхность шара и боковую поверхность цилиндра, имеющего высоту и диаметр основания одинаковой величины, как и диаметр шара.

641. Радиус шара равен 2, 4, 6 и 10 сантиметрам. Определите, во сколько раз увеличится поверхность шара, если его диаметр увеличится вдвое, втрое, в пять раз.

642. Измерьте поверхность нашего школьного глобуса. Сравните его поверхность с поверхностью земного шара, приняв радиус последнего в 6400 километров.

643. Аэростат (воздушный шар) имеет форму шара диаметром в 1200 сантиметров. Определите в квадратных метрах количество материи, необходимое для этого шара.

646. Сравните объемы двух коробок с одинаковой величины квадратным дном и одинаковой высотой.

647. Возьмите две коробки с одинаковой величины квадратным дном, при чем высота одной коробки в два раза больше высоты другой. Измерьте объем большей коробки при помощи меньшей (насыпьте меньшую коробку песком, горохом и т. п., а если коробки жестяные, налейте их водой). Сколько меньших коробок заключается в объеме большей коробки?

648. Выберите две коробки одинаковой высоты, но с различной формы дном: в одной коробке квадратным, в другой— формы прямоугольника. Площадь дна коробок (квадрата и прямоугольника) должна быть одинаковая (напр., если сторона квадрата имеет 20 сантиметров, то стороны прямоугольника могут иметь 10 сантиметров в длину и 4 сантиметра в ширину, 8 сантиметров в длину и 5 сантиметров в ширину и т. д.). При помощи песка (или воды) сравните объемы этих коробок.

649. Изготовьте коробку с треугольным дном, площадью в 4 кв. единицы (напр., прямоугольный треугольник с длиной катетов в 4 и 2) и высотой в 3 единицы. Сравните ее объем с объемом квадратной коробки размерами в 2 единицы длины,

2 единицы ширины и 3 единицы высоты.

Сделайте вывод из первых трех упражнений. Сделайте

вывод из четвертого, пятого и шестого упражнений.

650. Возьмите коробки одинаковой высоты, но различной площади и формы дна:

с квадратным дном размерами

2X2X3,

О прямоугольным ДНОМ „ 1Х²ХЗи4Х²ХЗ,

с квадратным дном размерами 1X1X3 и 4X4X3, с квадратным дном (и прямоугольн.) 2X2X3 и 4Х²ХЗ.

Сравните их объемы и сделайте выводы из этих упражнений.

651. Изготовьте цилиндрической формы коробочки следующих размеров (размеры в дюймах): 1) диаметр дна 1, 2, 3; высота коробки 5; 2) диаметр дна 5; высота коробки 1, 2, 3.

Сравните объемы первого набора коробок друг с другом

и сделайте вывод.

То же сделайте и со вторым набором коробок.

Вывод, который можно сделать на основании произведенных упражнений, таков (задача 650): 1) если две призмы имеют одинаковую площадь основания и одинаковую высоту, то их объемы равны; 2) если две призмы имеют одинаковой величины площади

основания и разной длины высоты, то одна из них имеет во столько раз больший объем, во сколько раз ее высота больше высоты другой призмы, и 3) если две призмы имеют одинаковой длины высоты и разной величины площади оснований, то одна из них имеет во столько раз больший объем, во сколько раз площадь ее основания больше площади основания другой призмы. Такие же выводы можно сделать и относительно цилиндров (задача 651).

После этих упражнений с телами различной формы и величины мы пришли к определенным выводам, и они могут нам дать указания, как производить измерения объемов не только коробок, но и других тел. Мы теперь знаем, что величина объема зависит как от величины площади основания, так и от высоты тела. Чем больше обе эти величины, тем и объем тела больше.

Но этого мало. Чтобы определить объем, мы должны сравнивать объем тела с определенным, всем известным объемом, с единицей объема. Такой единицей служит куб, ребро которого равняется какой-нибудь мере длины. Если, напр., вы изготовите куб, каждое ребро которого будет иметь в длину 1 метр, 1 сантиметр и т. д., то каждый такой куб может служить мерой объемов. Вы будете применять ту или другую кубическую меру, в зависимости от того, большого или малого объема тела вы будете измерять.

Таким образом, если бы нам пришлось измерять объем тех коробок, с которыми мы производили свои упражнения, мы должны были бы изготовить коробочку в 1 куб. сантиметр, и она должна была бы служить нам меркой — мы ее насыпали бы песком и наполнили бы им измеряемые коробки. Сколько полных коробочек в 1 куб. сантиметр мы насыпем, столько в объеме измеряемой коробки будет заключаться кубических сантиметров.

Попробуем это сделать над одной, двумя коробками. Вы замечаете, что это работа медленная и скучная. Хорошо, что коробочка сравнительно небольшая. Если бы пришлось измерять таким способом громадный керосиновый резервуар, то неужели и его пришлось бы наполнять песком или водой, а затем опорожнять?

Предположим, что так или иначе мы могли бы справиться со всеми затруднениями. А как же поступить, когда приходится иметь дело не с пустым телом, вместимость которого мы хотим определить, а с телом сплошным? Напр., если нам нужно определить объем кирпича, бревна и т. п., этот прием оказывается уже совершенно негодным.

Посмотрим, нельзя ли и здесь, при определении объемов тел, как это мы делали при определении площадей фигур, обойтись без измерений, — продолжительных, неточных и, большей частью, прямо невозможных. Нельзя ли и при измерении объемов тел пользоваться способом вычисления этих объемов?

Небольшого количества упражнений будет достаточно, чтобы вы убедились, что способ вычисления объемов не только в очень многих случаях единственно возможный, но и самый удобный и, большей частью, точный.

Определение объема правильной призмы. Нам придется возобновить на время одну детскую игру, давно, вероятно, позабытую вами—выкладывание кубиков. Теперь эта игра мало кого- нибудь из вас может занять. Тем не менее мы из нее можем извлечь много поучительного.

Вот перед вами 64 кубика в 1 куб. сантиметр каждый, взятые из нашего школьного арифметического ящика. Пусть несколько человек из вас, поочереди, выложат все эти кубики в одно какое-нибудь правильное геометрическое тело, какой он захочет формы. Будем только соблюдать при этом следующие условия: все 64 кубика должны быть уложены, и каждый из вас должен выложить тело, чем-нибудь отличающееся от предыдущего.

Рассмотрим, что каждый из вас выложил, и для памяти запишем результаты на доске.

Первый выложил из всех 64 кубиков один большой куб: 4 кубика в длину, 4 кубика в ширину, 4 кубиков высоту (рис. 223). Мы можем иначе выразиться, зная, что ребро кубика равно 1 сантиметру, — первый ваш товарищ выложил один куб, ребро которого равно 4 сантиметрам. Записать мы можем так: 4 X 4 X ⁴ — ⁶⁴ (куб. сантиметрам).

Разбросаем кубики. Второй ваш товарищ выложил призму: в длину—8 кубиков или 8 сантиметров, в ширину 2 кубика или

2 сантиметра, в высоту 4 кубика

Рис. 225.

или 4 сантиметра (рис. 224). Запишем на доске так: 8 X ² X 4 = 64 (куб. сантиметрам).

Третий выложил другой формы призму: в длину 8 кубиков или 8 сантиметров, в ширину 4 кубика или 4 сантиметра,

в высоту 2 кубика или 2 сантиметра (рис. 225). Запишем на доске так: 8 X 4 X ² = ⁶⁴ (куб. сантиметрам).

Четвертая запись такова: 16Х²Х² = 64 (куб. сантиметрам).

Пятая запись такова: 32 X ² X 1 = 64 (куб. сантиметрам).

Рис. 226.

Сравним теперь между собой наши записи. Из всех 64 кубиков мы сложили 1 куб и 4 призмы. Составим такую табличку: в одном столбце поместим' числа, показывающие площадь основания каждой фигуры, в другом соответствующие высоты:

Каждое тело вы, таким образом, составили из отдельных слоев кубиков: из 4, 4, 2, 2, 1, т.-е. из стольких слоев, сколько сантиметров тело имеет в высоту. В каждом слое различное число кубиков,—16, 16, 32, 32, 64, т.-е. столько кубиков, сколько квадратных сантиметров заключается в площади основания тела.

Теперь представим себе другого рода упражнение. У вас имеется кусок дерева в форме куба, каждое ребро которого равно 4 сантиметрам. Каков объем этого куба? Вы легко сможете дать правильный ответ на этот вопрос: можно представить себе этот куб разрезанным на четыре планки, толщиной каждая

в 1 сантиметр, при ширине и длине в 4 сантиметра {рис. 227). Каждую планку можно представить разрезанной на 4 узкие планочки, длиной в 4 сантиметра, шириной и толщиной в 1 сантиметр, т.-е. всего на 16 планочек {рис. 228); каждая планочка, в свою очередь, может быть разрезана на 4 кубика, длиной, шириной и высотой в 1 сантиметр (рис. 229). Итак, данный нам куб с ребром в 4 сантиметра можно разрезать

на 64 кубика с ребром

в 1 сантиметр, т.-е. его объем равняется 64 куб. сантиметрам.

Рис. 228.

На основании этих упражнений можно указать следующий способ измерения объемов кубов и призм с прямоугольным основанием: нужно одной какой-нибудь линейной мерой измерить

Рис. 229.

все три измерения таких тел, длину, ширину и высоту, и полученные числа перемножить. Произведение двух измерений покажет площадь основания тела, произведение всех трех измерений покажет число одноименных с линейной мерой кубических мер, содержащихся в объеме измеряемого тела. Иначе это правило можно выразить так: объем куба или призмы о прямоугольным основанием равняется произведению чисел, измеряющих площадь основания и высоту тела.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

652. Составьте куб из 8 куб. сантиметров. Сколько сантиметров этот куб будет иметь в длину, ширину, высоту? Какова площадь его основания?

653. Составьте куб из 125 кубиков (каждый кубик—1 кубический сантиметр). Какова длина, ширина и высота этого куба? Какова площадь его основания?

654. Составьте прямоугольную призму из 40 кубиков. Какова площадь основания этой призмы, если высота будет равна 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 сантиметрам? Какова будет длина основания, если высота этой призмы равна 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 сантиметрам, а ширина 4, 5, 8 сантиметрам?

655. Сколько кубических дюймов в 1 куб. футе? Или: на сколько кубов с ребром в 1 дюйм можно разбить куб с ребром в 1 фут?

656. Сколько кубических сантиметров в 1 куб. метре? Или: на сколько кубов с ребром в 1 сантиметр можно разбить куб с ребром в 1 метр?

657. Сколько кубических сантиметров в 1 куб. метре? Или: на сколько кубов с ребром в 1 сантиметр можно разбить куб в 1 метр?

658. Сколько кубических сантиметров в ^х/₂ куб. метра? кубических дюймов в ^г/₄ куб. фута? кубических сантиметров в ¹/₃ куб. метра?

659. Куб имеет ребро в 3 сантиметра. Чему равен объем этого куба?

660. Чему равен объем куба, ребро которого равно 1% сантиметрам; 1 метру 2 сантиметрам; ³/₄ метра?

661. Чему равен объем призмы, имеющий соответственно следующую длину, ширину и высоту: 3 сантиметра, 1¹/₂ сантиметра, 2^х/₂ сантиметра? 2 сантиметра, 5 сантиметров, ^х/₄ сантиметра? 1 метр, 30 сантиметров, 50 сантиметров?

662. Чему равен объем куба с длиной ребра в 2 сантиметра? Увеличьте ребро в 2 раза. Чему равен объем куба? Если ребро куба увеличивается в 2 раза, во сколько раз увеличивается его объем? Если ребро куба увеличивается в 3 раза, во сколько раз увеличивается его объем?

663. Сколько кубов с длиной ребра в 3 сантиметра можно вырезать из призмы размерами 6 сантиметров в длину, 4 сантиметра в ширину и 3 сантиметра в высоту (6X4X3 куб. санти

метра)? Каких размеров призма останется, когда мы вырежем два таких куба?

664. Можно ли из прямоугольной призмы размерами 5 сантиметров в длину, 4 сантиметра в ширину и 8 сантиметров в высоту (5X4X8 куб. сантиметров) вырезать куб с длиною ребра в 5 сантиметров?

665. Из двух кубов с длиной ребра в 3 сантиметра и 4 сантиметра составьте две призмы с высотою в 7 сантиметров.

666. На сколько кубов с ребром в 2 сантиметра можно разбить куб с ребром в 10 сантиметров?

667. Сколько бумаги нужно, чтобы оклеить куб с ребром в 10 сантиметров и все кубы с ребром в 2 сантиметра, которые из него можно нарезать? Во сколько раз больше бумаги нужно во втором случае, чем в первом? Сравните, во сколько раз больше боковая поверхность и объем большого куба, чем одного маленького куба?

668. Какой объем больше: 5 кубических ящиков с длиной ребра в 6 сантиметров, или 6 кубических ящиков с длиной ребра в 5 сантиметров?

669. Сколько кубиков с ребром в 1 сантиметр не хватает, чтобы образовать один куб с ребром в 5 сантиметров, если его составить из двух кубов, с длиной ребра в 3 сантиметра, и одного куба, с длиной ребра в 4 сантиметра?

670. Сколько кубиков с ребром в 4 сантиметра можно поместить в кубическом же ящике, внутреннее ребро которого 20 сантиметров? Сколько кубиков с ребром в 5 сантиметров можно поместить в том же ящике?

671. Прямоугольный деревянный брусок имеет размеры: 7 сантиметров X 4 сантиметра X 8 сантиметров. Какое количество можно из него нарезать кубиков с ребром в 1 сантиметр? 2 сантиметра? 3 сантиметра? 4 сантиметра? В каких случах останется материал и сколько именно (в куб. сантиметрах)?

672. Сколько нужно кирпичей, чтобы из них сложить куб с ребром в 50 сантиметров, и как эти кирпичи надо уложить? Размеры одного кирпича: 6 X 3 X 1^г/г вершка.

673. Можно ли из кирпичей указанных размеров сложить стену длиной в 12 метров, толщиной в 40 сантиметров и высотой в 2¹/., метра и сколько для этого потребуется кирпичей?

674. Какой объем больше: одного ящика размерами — 12 сантиметров X ⁸ сантиметров X ⁶ сантиметров, или двух

Наглядная Геометрия.

13

ящиков размерами каждый 12 сантиметров X ⁴ сантиметра X X 3 сантиметра?

675. Классная комната имеет 8 метров в длину, 6 метров в ширину и 4 метра в высоту. Сколько кубических метров воздуха приходится на 1 учащегося, если в классе 22 учащихся?

676. Определите в килограммах вес воздуха, находящегося в вашей комнате, если принять вес 1 литра воздуха равным 1,2 грамма?

677. В ящик прямоугольной формы, размерами в 8 сантиметров X Ю сантиметров X 15 сантиметров, наполненный до высоты 10 сантиметров водой, бросили камень неправильной формы. Вода в ящике вследствие этого поднялась на 2 сантиметра. Определите объем камня.

678. Сколько кубических метров земли нужно выкопать для фундамента здания, имеющего в длину 39 метров, в ширину 12 метров, в глубину 1% метра, при толщине фундаментной стены в 1 метр?

679. Комнатный аквариум прямоугольной формы имеет в длину 10 дециметров, в ширину 5 дециметров и в высоту 4 дециметра. Сколько килограммов воды в нем может поместиться, если налить его доверху? (1 килограмм воды занимает объем 1000 кубических сантиметров).

680. Определите количество и вес воды, если аквариум наполнен водой до половины? до ³/₄ своей высоты?

681. Определите, чему равняется вес сплошного железного кубика, размерами 1 сантиметр X 1 сантиметр х 1 сантиметр, если принять, что железо тяжелее воды в 7,8 раз (т.-е. удельный вес железа 7,8).

Пояснение. Для решения этой и следующих задач, где дается удельный вес, нужно предварительно вычислить вес соответствующего объема воды, а затем полученное число умножить на число, показывающее удельный вес, т.-е. на число, показывающее, во сколько раз вес того или другого тела больше или меньше веса того же объема воды.

682. Определите веса такого же кубика из свинца, меди, золота, серебра (удельный вес свинца 11,3; меди 8,9; золота 19,3; серебра 17,5).

683. Определите вес квадратной полосы железа в 1V₂ сантиметра X 1V2 сантиметра, длиной в 1¹/, метра, не взвешивая ее на весах.

684. Полосовое железо имеет размеры 3 сантиметра X 5 сантиметров. Определите вес одного метра такой полосы.

685. Медная плитка имеет размеры 12 сантиметров X ^{7 сан}тиметров X 2 сантиметра. Определите вес этой плитки, не взвешивая ее.

686. Определите вес такой же сухой дубовой доски, приняв, что сухой дуб имеет удельный вес 0,7.

687. Для машины нужно устроить фундамент длиной в 2 метра, шириной 2^х/₄ метра и глубиной 1⁸/₄ метра. Сколько должно уйти кирпича на этот фундамент?

688. Высчитайте приблизительное количество кирпича для двухэтажного здания длиной 12 метров, шириной 7 метров и высотой от дна фундамента до крыши в 10 метров, при кладке фундамента и первого этажа до 5¹/₂ метров—в 3 кирпича и второго этажа в 2 кирпича (окна и двери не принимаются в расчет — предполагается сплошная кладка).

689. Бассейн для купанья, размерами 12 метров X ⁹ метров X X 2% метра выложен внутри изразцовыми плитками, толщиной в б сантиметров. На сколько уменьшилась вместимость бассейна? Сколько гектолитров вмещает бассейн?

690. Определите в кубических метрах вес воздуха в пустой комнате, имеющей размеры 8 X 6 X З^х/₂ метра, если 1 кубический метр воздуха весит 13 килограммов?

691. Сколько жести надо употребить на изготовление куба вместимость которого 1000 кубических дециметров?

692. Определите вместимость ящика, при следующих размерах,

1) ширина 12⁴/_б дециметра, длина 14^х/₈ дециметра, вышина 12⁸/₄ дециметра;

2) ширина 22 метра, длина 14 метров, вышина 12 метров.

693. Ледник имеет следующие размеры: в длину 12 метров, в ширину 8 метров и в глубину 6 метров. Сколько возов льда может вместить ледник, если на каждом возу привозят в среднем 3 кубических метра льда?

694. Определите в кубических сантиметрах вместимость углового треугольного шкафчика высотой в 10 вершков, основание которого—равнобедренный прямоугольный треугольник с длиной катетов по 30 сантиметров.

Определение объема пирамиды. Нам нужно теперь рассмотреть, можно ли объем таких тел, как пирамида, конус, цилиндр и шар, также измерять посредством кубических мер. На первый

взгляд — это может показаться невозможным, так как нам трудно представить, чтобы и самой мелкой величины кубики могли заполнить сплошь цилиндр или шар, совершенно не оставив свободных промежутков между кубиками и стенками цилиндра, или шара. Как бы вы ни старались выложить из кубиков вашего арифметического ящика цилиндр или пирамиду, вам это не удастся. Но с другой стороны, представьте себе, что вы измеряете при помощи песка или воды вместимость того же цилиндра. Песок, будучи всыпан в цилиндр, не сохраняет той формы, какую он имел в вашей мерке — кубическом сантиметре. Он рассыпается на мелкие песчинки, заполняющие все свободные промежутки внутри цилиндра.

Еще точнее можно производить измерения водой. Если, например, нам нужно узнать, сколько стаканов имеет бутылка, вы не станете пробовать вставлять стаканы через горлышко бутылки; вы просто нальете один и другой полный стакан в бутылку и из третьего полного стакана только половину, и скажете, что в бутылке содержится 2^х/₂ стакана. Так будем поступать и мы, измеряя при помощи песка или воды объемы некоторых правильных геометрических тел. Но мы это будем- делать лишь для того, чтобы вывести определенные правила, для измерений, а вообще при измерениях будем попрежнему пользоваться способом вычислений.

Чтобы узнать, как вычислять объем пирамиды, произведем следующее упражнение.

Выберем из наших моделей 1 куб и 1 пирамиду о квадратным дном такой же площади, как и сторона куба, и такой же высоты, как ребро куба. Тщательно следует убедиться в том, что пирамида и куб выбраны именно такие, как указано. В обеих моделях снимаем дно, опрокидываем пирамиду вершиной вниз, насыпаем ее до верха песком и пересыпаем его в куб. Ровно 3 пирамиды песку мы должны насыпать в куб, чтобы его наполнить. Таким образом, выбранная нами пирамида имеет объем в три раза меньший, чем объем куба, с таким же основанием и такой же высотой, как пирамида. Иначе говоря, если мы перемножим числа, показывающие площадь основания пирамиды и высоту, и полученное произведение разделим на три, то получим объем пирамиды.

В правильности этого вывода мы можем убедиться и следующим путем. Согнем из проволоки куб и внутри этого куба проведем 4. диагонали из проволоки, соединяющие все 8 углов

куба; при этом все эти диагонали пересекутся в центре куба.

Если эту точку — центр куба — примем за вершину, а каждую из 6 сторон куба за основание пирамиды, то весь куб будет

разбит на 6 совершенно одинаковых пирамид, другими словами:

объем каждой пирамиды составляет одну шестую часть объема

всего куба {рис. 230). Высота каждой пирамиды составляет половину высоты куба, основание ее то же, что и у куба. Таким образом, если мы площадь основания куба помножим на половину его высоты, т.-е. на высоту пирамиды, и разделим произведение на 3, то получим объем пирамиды. Нетрудно убедиться в том, что объем любой пирамиды измеряется таким же путем, как и объем пирамиды с квадратным основанием.

Приготовим коробку в форме треугольной призмы, у которой •оба основания равные треугольники, а боковые стороны прямоугольники. Приготовим также такую пирамиду, у которой •основание такой же площади треугольник, как треугольник,

лежащий в основании призмы, и высота, равная высоте призмы. Наполняя песком (или водою) пирамиду и пересыпая его в призму,

случае нам придется три раза

мы заметим, что и в данном

пересыпать содержимое пирамиды в призму. Таким образом, объем треугольной пирамиды составляет одну треть объема призмы, имеющей такой же величины площадь основания и высоту, как и пирамида. Иными словами, объем всякой треугольной пирамиды мы можем представить, как треть объема одной третью произведения чисел, показывающих площадь ее основания и высоту (рис. 231).

Любую призму мы можем разрезать на треугольные призмы. Так, пятиугольную призму можно разбить на 3, восьмиугольную

на 6, десятиугольную на 8 треугольных призм, разрезая призму, йак показано на рисунке {рис. 232). Если мы пятиугольную призму разобьем на 3 треугольные призмы, то объем этой призмы можно узнать, если мы сложим числа, показывающие объем всех треугольных призм, из которых она состоит. Многоугольную пирамиду можно также разбить на треугольные пирамиды, и объем каждой треугольной пирамиды, по предыдущему, можно представить, как треть объема призмы, имеющей Одинаковые с пирамидой основание и высоту, следовательно, и объем многоугольной пирамиды можно также представить как треть объема призмы, имеющей одинаковой величины с. пирамидой площадь основания и высоту. Таким образом, и для многоугольной пирамиды мы можем вывести такое же правило для измерения ее объема, как и для измерения объема треугольной и квадратной пирамиды.

Объем цилиндра и конуса. Таким же способом, какой мы употребляли для того, чтобы найти правило измерения объема пирамид, мы можем найти и правило для измерения объема цилиндра и конуса.

Приготовьте три модели: призмы, цилиндра и конуса с одинаковой площади дном и одной высоты. Например, если взять основание призмы равным 2^г/₄ сантиметра X З^г/₈ сантиметра (точнее 2V₄ X 3V₇ сантиметра), а радиусом основания цилиндра и конуса 1V2 сантиметра, то площади круга и прямоугольника, лежащие в основаниях этих тел, почти одинаковы (2^г/₄ х З¹/? и 1% X IV2 X З¹/,). Высотой все эти тела возьмем в 10 сантиметров. Сравним сначала объемы изготовленных нами моделей призмы и цилиндра, а затем конуса и цилиндра.

Наполнив песком (или водой) цилиндр, пересыпаем песок в призму. Мы найдем, что цилиндр и призма имеют одинаковый объем. Наполнив затем песком (или водой) конус, пересыпаем песок в цилиндр. Мы найдем, что объем конуса составляет ¹/₃ объема цилиндра.

На основании этих упражнений мы можем сделать такой вывод: 1) если призма и цилиндр имеют одинаковые площади основания и равные высоты, то они имеют и одинаковый объем; иначе: объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту; 2) если цилиндр и конус имеют одинаковой величины площади основания и равные высоты, то объем конуса составляет ¹/₃ объема цилиндра; иначе: объем конуса равен произведению площади его основания на высоту, разделенному на три.

Объем шара. Найти правило для определения объема шара практическим путем несколько труднее, чем для других рассмотренных нами тел. И здесь мы применим прежний прием — сравнение шара с телами, объемы которых мы уже научились определять.

Достанем пустотелый шар ^г), изготовим цилиндр такого же внутреннего диаметра и такой же высоты, как внутренний диаметр шара. Наполним до верха одно из полушарий песком и пересыплем его в цилиндр. Придется насыпать в цилиндр три полу шара, чтобы наполнить его, следовательно, объем полутора шаров равен объему одного цилиндра, имеющего диаметр основания и высоту, равные диаметру шара; или: объем вписанного в цилиндр шара (рис. 233) равен ²/₈ объема цилиндра. А так как объем цилиндра мы узнаем, помножив площадь его основания на высоту, то объем шара мы получим, умножив площадь его большого круга (диаметр большого круга равен диаметру шара и диаметру основания цилиндра, а площадь равна площади основания цилиндра) на диаметр и взяв ²/₃ этого

произведения. Другими словами: объем шара равен % площади большого круга, умноженной на диаметр.

Вылепим из глины три шарика одинакового диаметра в 6 сантиметров. Затем скатаем их вместе в цилиндр с диаметром основания также в 6 сантиметров. Высота этого цилиндра будет равна 12 сантиметрам. Если мы скатаем вместе 1^х/₂ шарика в один цилиндр, то его высота и диаметр основания будут равны в сантиметрах. В данном случае мы имеем один и тот же объем, — одинаковое количество глины, из которой слеплено 1¹/₂ шарика или 1 цилиндр с диаметром основания и высотой, равными диаметру шарика. На основании этого упражнения мы также приходим к прежнему выводу.

Достаньте шар и изготовьте куб, ребро которого равнялось бы диаметру этого шара. Наполните до краев куб водой и опустите в него шар, часть воды выльется, и по высоте оставшейся воды вы увидите, что вылилась половина воды.

*) В продаже имеются деревянные пустотелые, разнимающиеся пополам шары.

Следовательно, объем куба, ребро которого равно диаметру шара, вдвое больше объема шара. Если мы представим себе шар, вписанный в куб (такой шар касается в 6 точках — концами трех взаимно перпендикулярных диаметров — центров граней куба), то объем шара равен */₂ объема куба (точнее ^п/₂₁). Так как объем куба равен ребру куба, помноженному три раза на себя самого (иначе кубу ребра), то объем шара равен приблизительно половине куба диаметра шара.

Этот последний вывод ничем не отличается от сделанного прежде, на основании сравнения объема шара и цилиндра, если принять, что вписанный в куб шар равен ^и/₂₁ его объема. В самом деле, сравним объем шара, цилиндра и куба, при чем шар вписан в цилиндр, а цилиндр в куб, а ребро куба равно 2 сантиметрам.

Объем куба равен 8 куб. сантиметрам (2 X 2 X 2).

Объем цилиндра = у X 1 X 1 X ² = ⁴⁴Х = $²Х ^кУб- сантиметра.

Объем шара по сравнению с цилиндром == ^|^| =⁸⁸/₂i = = 4⁴/₂₁ куб. сантиметра.

Объем шара по сравнению с кубом 8:4 = 2 куб. сантиметрам, или, точнее, 8 X ¹¹/₂₁ = ⁸⁸/₂₁ = 4⁴/₂₁ куб. сантиметра.

Следовательно, объем шара мы получим, если диаметр его помножим три раза на себя самого (возведем в куб) и произведение разделим на два (точнее — помножим на ¹¹/₂₁).

УПРАЖНЕНИЯ и ЗАДАЧИ

695. Площадь основания квадратной пирамиды 9 кв. сантиметров, высота пирамиды 6 сантиметров. Чему равен объем пирамиды?

696. Пирамида и куб имеют одинаковой величины площади оснований. Во сколько раз высота пирамиды должна быть больше длины ребра куба, чтобы объемы обоих тел были равны?

697. Площади оснований куба и пирамиды имеют по 16 кв. сантиметров. Чему должна быть равна высота пирамиды, чтобы ее объем равнялся объему куба?

698. Из слитка свинца прямоугольной формы, размерами 1 сантиметра X 6 сантиметров X 8 сантиметров, нужно выплавить пирамиды, имеющие в основании 16 кв. сантиметров и высоту в 6 сантиметров. Сколько таких пирамид можно отлить?

699. Пирамида имеет основанием квадратной формы площадь в 16 кв. сантиметров. Высота ее 6 сантиметров. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если высоту ее увеличить в два раза? Во сколько раз увеличится объем той же пирамиды, если сторона ее основания увеличится в два раза? Во сколько раз уменьшится объем этой пирамиды, если высота ее уменьшится в два раза? Во сколько раз уменьшится объем этой пирамиды, если сторона ее основания уменьшится в два раза?

700. Одна из египетских пирамид имеет высоту около 65 метров, а основанием ее служит квадрат, сторона которого равна 125 метрам. Определите, сколько глыб, в 1¹/* кубических метра каждая, пошло для сооружения пирамиды, считая, что пирамида сплошная.

701. Шатер, обтянутый парусиной, состоит из четырех жердей, образующих правильную четырехугольную пирамиду. Длина жерди 10 арш., вышина шатра 8^г/₂ арш., расстояние между основаниями каждых двух ближайших жердей 6 арш. Определите, сколько воздуха (в кубич. метрах) заключает в себе шатер и сколько потребуется парусины шириной в 1 метр, чтобы шатер обтянуть?

702. Медный пресс для бумаг имеет форму пирамиды. Основание пресса занимает 25 кв. сантиметров, высота его 10 сантиметров. Определите его вес (удельный вес меди 8,8).

703. Из деревянного квадратного бруска в 10 сантиметров X ХЮ сантиметров, длиной в 20 сантиметров, нужно приготовить возможно больших размеров правильную пирамиду. Определите, как велик объем этой пирамиды и насколько уменьшился объем бруска.

704. Бак для воды имеет форму куба в 2^г/₂ метра высоты и оканчивается правильной четырехугольной пирамидой высотой в 20 сантиметров. Определите объем этого бака.

705. Радиус основания цилиндра 7 сантиметров, высота его 10 сантиметров. Определите: 1) площадь основания цилиндра; 2) его полную поверхность; 3) объем цилиндра; 4) длину и ширину прямоугольника, площадь которого равна площади основания цилиндра; 5) размеры призмы, имеющей такой же объем, как и цилиндр.

706. Из прямоугольного бруска дерева, размерами 20 сантиметров X15 сантиметров X10 сантиметров, можно выточить цилиндры высотой в 2, 3 и 4 сантиметра, смотря по тому, как точить цилиндры — по длине, ширине или толщине бруска.

Определите число цилиндров и объем каждого из них, если стремиться делать их как можно большего радиуса.

707. Какие нужно иметь данные, чтобы определить вместимость самовара, имеющего цилиндрическую форму (не считая нижнего закругления)? (Высота самовара внутренний диа

метров. . .диаметр трубы).

708. Сколько стаканов вмещает в себе этот самовар, если высота стакана . см, внутрений его диаметр . см?

709. Определите объем следующих монет: серебр. рубля, 5 коп., 3 коп.

710. Какой объем занимает столбик в 10 штук серебряных рублей? Столбик в 20 монет по 5 коп.?

711. Сколько рублевых монет можно поместить столбиками в железном ящике-кассе длиной в 50 сантиметров, шириной в 20 сантиметров и глубиной в 30 сантиметров?

712. Сколько в том же ящике может поместиться медных пятаков?

713. Квадратный брусок дерева в 20 X 20 сантиметров, длиной 1 метр, обточен на токарном станке в цилиндр возможно большего диаметра. Определите разницу в объемах бруска и цилиндра.

714. Плитка свинца размерами 11 дециметров X10 дециметров X 2 дециметра перелита в цилиндр, радиус основания которого 3’/₂ дециметра. Какой высоты получится цилиндр?

715. В железной прямоугольной пластинке размерами 8 сантиметров X⁴ сантиметрах³ сантиметра просверлены 5 дыр, диаметром в 1 сантиметр. Определите вес пластинки, считая удельный вес железа 7,5.

716. Сколько кубических метров земли нужно выкопать для устройства круглого каменного резервуара глубиной в 2 метра 20 сантиметров, диаметром в 80 сантиметров, при толщине дна в 15 сантиметров и стенок в 25 сантиметров.

717. Круглое железо имеет диаметр в 2 сантиметра. Определите вес 1 погонного метра такого железа.

718. Определите вес железной шины колеса, ширина которой 12 сантиметров, толщина 15 миллиметров, а наружный диаметр 90 сантиметров.

719. Жестяная воронка (лейка) в виде конуса, с радиусом в 6 сантиметров и образующей в 10 сантиметров, наполнена водой. Определите внутренний объем этой воронки. Сколько раз нужно наполнить эту лейку, чтобы налить доверху цилиндрический стакан, радиусом также в 6 сантиметров и высотой в 8 сантиметров.

720. Вогнутое дно бутылки имеет вид конуса. Сделайте нужные измерения и определите, насколько меньше вместимость бутылки с вогнутым дном в сравнении с бутылкой с плоским дном.

721. Сделайте нужные измерения и определите вместимость цилиндрической с конической верхушкой кубышки для керосина. Определите, сколько фунтов керосина вмещается в кубышке, если удельный вес керосина 0,8.

722. Из кубического куска дерева, ребро которого 10 сантиметров, следует выточить конус с возможно большим радиусом основания. Определите объем такого конуса.

723. Диаметр основания конуса 7 сантиметров, высота конуса 10 сантиметров. Определите его объем.

724. Радиус основания конуса 3 сантиметра, высота его 4 сантиметра, образующая 5 сантиметров. Определите: 1) площадь основания; 2) боковую поверхность; 3) полную поверхность; 4) объем конуса.

725. Медная болванка, имеющая форму цилиндра, с радиусом основания в 10 сантиметров и высотой в 50 сантиметров, перелита в конусы. Сколько конусов можно вылить из этой болванки, если высота конусов должна быть 5 сантиметров и радиус основания 2 сантиметра, высота 5 сантиметров и радиус основания 1 сантиметр.

726. Радиус основания конуса увеличивается (уменьшается) в 2, 3, 4 раза. Во сколько раз увеличивается (уменьшается) объем конуса?

727. Высота конуса увеличивается (уменьшается) в 2, 3, 4 раза. Во сколько раз увеличивается (уменьшается) объем конуса?

728. Бак для керосина, в виде цилиндра с конической верхушкой, имеет следующие размеры: вышина его до крыши 12 метров, вышина с крышей 18 метров, окружность бака 47,1 метра (радиус основания около 7,5 метра). Определите, сколько гектолитров керосина вмещает бак: 1) если его налить полным; 2) если его налить до высоты 12 метров.

729. Щебень, песок и т. п. сыпучие материалы меряют на кубические сажени, для чего приготовляют определенных размеров ящики. Вместо этого, такой материал часто насыпают в конические кучи определенной высоты и радиуса основания. По краям шоссейной дороги насыпано 30 куч щебня, при высоте

тсонуса в Р/г метра и с радиусом его основания в 1 метр 40 сантиметров. Весь этот щебень нужно рассыпать по шоссе. Рассчитайте, на какую длину дороги хватит этого щебня, если его насыпать слоем толщиной в 12 сантиметров и если ширина шоссе б¹/* метра?

730. Диаметр одного шара 2 сантиметра, другого 4 сантиметра, третьего 6 сантиметров. Определите объем каждого шара. Узнайте, во сколько раз увеличивается объем шара, если его радиус увеличивается вдвое, втрое.

731. Определите объем шара, радиус которого 1 сантиметр, "2 сантиметра, 4 сантиметра, 5 сантиметров, 6 сантиметров. Как увеличивается объем шара, если радиус увеличивается в 2, 3, 4, 5 раз?

732. В прямоугольной формы коробку упакованы 8 мячей в два ряда, по 4 мяча в каждом ряду; диаметр мяча 10 сантиметров. Определите размеры коробки, если мячи касаются стенок коробки. Определите в кубических сантиметрах свободное место в коробке.

733. Сколько шариков радиусом в 1 сантиметр можно вылить из одной свинцовой болванки, имеющей форму цилиндра с радиусом основания в 3¹/₂ сантиметра и высотой 14 сантиметров?

734. Сколько таких же шариков можно вылить из свинцовой болванки, имеющей форму куба, с ребром в 4 сантиметра?

735. Шарообразный кусок глины с диаметром в 5 сантиметров сплюснули в куб. Определите объем шара и укажите, будет ли равняться ребро этого куба диаметру шара или должно быть меньше его.

736. Определите и сравните между собой вес одинакового радиуса шариков: деревянного (уд. вес 0,7), свинцового (уд. вес 11,3), медного (уд. вес 8,9), золотого (уд. вес 19,3), серебряного (уд. вес 17,5).

737. Разливная ложка имеет форму правильного полушара. Определите вместимость ложки, если глубина ложки 2 сантиметра.

738. В кубической формы ящик вложен шар, касающийся всех боковых стенок дна и крышки ящика. Радиус шара — 15 сантиметров. Определите объем свободной части коробки.