Сборник задач по геометрии часть 2 - стереометрия для 9-10 классов средней школы (Рыбкин) 1960 год - старые учебники

§ 1. Перпендикуляр и наклонные к плоскости.

1. На чертеже 1 изображён прямоугольный параллелепипед.

1) Пересекаются ли прямые DBt и DtC? BBt и

2) Возможно ли провести плоскость через прямые AD и BjCj? через DC и DBxf через ВС и

2. Провести плоскость, проходящую через концы трёх рёбер куба, выходящих из одной вершины. Ребро куба равно а. Вычислить площадь сечения (черт. 2).

3. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 7 см. Определить площадь сечения, проведённого через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины.

4. Основанием правильной призмы служит треугольник со стороной а. Высота призмы равна Ь. Провести плоскость через одну из сторон нижнего основания и через противоположную вершину верхнего основания. Вычислить площадь полученного сечения.

б. Через точку, взятую на прямой, провести плоскость, перпендикулярную к этой прямой.

6. Через точку, взятую вне прямой, провести плоскость, перпендикулярную к этой прямой.

7. 1) Из точки А, данной на расстоянии 6 см от плоскости, проведена к ней наклонная АВ, равная 10 см. Найти её проекцию ВС на данную плоскость (черт. 3).

2) Из некоторой точки проведены к дан

ной плоскости перпендикуляр, равный а, и наклонная; угол между ними равен 45°. Найти длину наклонной.

8. Определить на данной плоскости геометрическое место точек, удалённых на данное расстояние от точки, лежащей вне плоскости.

9. Из центра круга проведён перпендикуляр к его плоскости. Определить расстояние от конца этого перпендикуляра до точек окружности, если длина перпендикуляра равна а, а площадь

круга равна Q.

10. Определить равноудалённых от точек, не лежащих геометрическое место точек в пространстве, всех точек данной окружности или от трёх на одной прямой.

11. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек.

12. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\BXCXDX боковое ребро 41Л = 56 см, а стороны основания: АВ = 33 см и AD = 40 см. Определить площадь сечения, проведённого через рёбра AD и BjCj.

13. Точка О — центр квадрата со стороной а; О А — прямая, перпендикулярная к плоскости квадрата и равная Ь. Найти расстояние от точки А до вершин квадрата.

14. Из точки Л1, отстоящей от плоскости Р на расстоянии d = 4, проведены к этой плоскости наклонные МА, МВ, МС под углами в 30°, 45°, 60° к прямой МО, перпендикулярной к Р. Определить длину наклонных МА, МВ и МС.

16. Из некоторой точки М проведены к плоскости Р три равные наклонные: МА = МВ = МС = I. Показать, что точки А, В и С (основания наклонных на плоскости Р) лежат на одной окружности, центром которой служит точка О — проекция точки М.

16. Дана плоскость; из некоторой точки пространства проведены к этой плоскости две наклонные длиной в 20 см и 15 см", проекция первой из них на плоскость равна 16 см', найти проекцию второй наклонной.

17. Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная длиной 9 см. Найти проекцию перпендикуляра на наклонную.

18. Сторона равностороннего треугольника равна 3 см. Определить расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2 см.

19. 1) Из некоторой точки А (черт. 4) проведены к данной плоскости Р перпендикуляр АО= 1 см и две равные наклонные В А

и АС, которые образуют с перпендикуляром £ВА0=з = £ САО = 60°, а между собой САВ = 90°. Найти расстояние ВС между основаниями наклонных.

2) Из данной точки проведены к данной плоскости две наклонные, равные каждая 2 см\ угол между ними равен 60°, а угол между их проекциями — прямой. Найти расстояние данной точки от плоскости.

3) Из некоторой точки проведены к данной плоскости две равные наклонные; угол между ними равен 60°, угол между их проекциями — прямой. Найти угол между каждой наклонной и её проекцией.

20. В равнобедренном треугольнике основание и высота содержат по 4 см. Данная точка находится

на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найти это расстояние.

21. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием b = Q см и боковой стороной а = 5 см. К плоскости треугольника в круга проведён перпендикуляр

центре О вписанного в него ОК = 2 см. Найти расстояние

точки К от сторон треугольника и от вершины В.

22. 1) В треугольнике АВС угол В прямой и катет ВС=а. Из вершины А проведён к плоскости треугольника перпендикуляр AD так, что расстояние между точками D и С равно /. Определить расстояние от точки D до катета ВС.

2) Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15 м и 20 м. Из вершины прямого угла С проведён к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD = 35 м. Найти расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

3) Стороны треугольника: 10 см, 17 см и 21 см. Из вершины большего угла этого треугольника проведён перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Определить расстояние от его концов до большей стороны.

23. В треугольнике АВС угол С прямой; CD — перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Точка D соединена с А и В. Определить площадь треугольника ADB, если дано: С А = 3 дм, ВС = 2 дм и CD = 1 дм.

24. В вершине А прямоугольника ABCD проведён к его плоскости перпендикуляр АК, конец К которого отстоит от других вершин на расстояние 6 см, 7 см и 9 см. Найти длину перпендикуляра АК.

25. А и В — точки на плоскости М\ АС и BD — перпендикуляры к этой плоскости, причём = а и BD = b. Доказать, что линии AD и ВС пересекаются, и определить рас-стояние от точки их пересечения до плоскости М.

26. Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от его вершины В на а, а от каждой из сторон — на Ь. Чему равно расстояние МО точки М от плоскости прямого

М

4 В

Черт. 5.

угла (черт. 5)?

27. На плоскости М даны две параллельные прямые АВ и CD, расстояние между которыми равно а. Вне плоскости М дана точка 5, удалённая от АВ на b и от CD на с. Определить расстояние от точки S до плоскости М, если известно, что I) а = = 66, b = с = 65; 2) а = 6, /> = 25, с = 29.

28. 1) Если из вершины угла, лежащего на плоскости, провести наклонную к плоскости так, чтобы она составляла со сторонами угла равные углы, то проекция этой наклонной будет служить биссектрисой данного угла. Доказать.

2) Из вершины А треугольника АВС проведена вне его плоскости прямая AD, образующая со сторонами АВ и АС равные острые углы. На какие части проекция прямой AD на плоскость треугольника делит сторону ВС, если АВ = 51 м, АС =34 м и ВС =3Q м?

§ 2. Угол прямой ЛИНИИ С плоскостью.

1. Рёбра основания прямоугольного параллелепипеда имеют длину 4 см и 3 см', высота параллелепипеда равна 5 см. Найти его диагональ и угол диагонали с плоскостью основания.

2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью его основания угол в 45°. Стороны основания равны 120 см и 209 см. Определить высоту параллелепипеда.

3. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна Л; апофема наклонена к плоскости основания под углом в 60°. Найти боковые рёбра.

4. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно b и образует с основанием пирамиды угол в 30°. Найти сторону основания.

5. Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью проекции угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?

6. Точка отстоит от плоскости на h. Найти длину наклонных, проведённых из неё под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.

7. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость; концы его находятся на расстоянии 3 см и 2 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

8. Под каким углом к плоскости надо провести наклонный отрезок, чтобы его проекция была вдвое меньше самого отрезка?

9. 1) Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45°, а между собой угол в 60°. Определить расстояние между концами наклонных.

2) Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45° и 30°, а между собой прямой угол. Определить расстояние между концами наклонных.

10. Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две наклонные под углом в 30° к плоскости, причём их проекции составляют между собой угол в 120°. Определить расстояние между концами наклонных.

11. В плоскости М находится прямая АВ. Из точки В проведены по одну сторону плоскости перпендикулярные к АВ прямые ВС и BD, отклонённые от плоскости М на 60° и 16°. Определить угол CBD.

12. Если в равнобедренном прямоугольном треугольнике один катет находится на плоскости М, а другой катет образует с ней угол в 45°, то гипотенуза образует с плоскостью М угол в 30°. Доказать это.

13. Если наклонная АВ составляет с плоскостью М угол в 45°, а прямая АС, лежащая в плоскости М, составляет угол в 45° с проекцией наклонной АВ, то £ВАС=60°. Доказать это.

14. Если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания, то боковые рёбра составляют с плоскостью основания угол в 60°. Доказать.

§ 3. Параллельные прямые и плоскости.

Параллельные прямые.

1. 1) А и В — точки вне плоскости М; АС и BD— перпендикуляры на эту плоскость; АС = 3 м, BD = 2 м и CD = 24 дм. Определить расстояние между точками А и В.

2) На верхние концы двух вертикально

стоящих столбов, удалённых один от другого (по поверхности земли) на 3,4 м, упирается концами перекладина. Один из столбов возвышается над землёй на 5,8 м, другой — на 3,9 м. Определить длину перекладины.

2. 1) Концы данного отрезка длиной в 125 см отстоят от плоскости на 100 см и 56 см. Найти длину его проекции.

2) Телефонная проволока длиной в 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где её прикрепили на высоте 20 м. Определить расстояние между домом и столбом, предполагая, что про-волока не провисает.

3. Из точки А плоскости ЛГ проведена наклонная прямая линия, и на ней взяты точки В и С, причём АВ=8 см и ЛС= 14 см. Точка В удалена от плоскости М на 6 см. Найти расстояние точки С от плоскости М.

4. Отрезок длиной в 10 см пересекает плоскость; концы его удалены от плоскости на расстояние 5 см и 3 см. Найти длину проекции отрезка на плоскость.

6. Отрезок пересекает плоскость; концы его отстоят от плоскости на расстояние 8 см и 2 см. Найти расстояние середины этого отрезка от плоскости.

в. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от неё на 30 см и 50 см. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3:7? (Два случая.) 7. Правильный треугольник спроектирован на плоскость; вершины его отстоят от плоскости на расстояние 10 дм, 15 дм и 17 дм. Найти расстояние его центра от плоскости проекций.

8. Данный отрезок АВ параллелен плоскости и равен а. Отрезок BAlt соединяющий конец В с проекцией At другого конца, составляет с плоскостью угол в 60°. Определить длину отрезка ВД(.

9. Из точек А н В плоскости М проведены вне её параллельные между собой отрезки: АС = 8 см и BD = 6 см. Прямая, проведённая через С и D, пересекает плоскость М (почему?) в точке Е. Отрезок ЛВ = 4 см. Определить расстояние BE.

10. АВ — отрезок на плоскости М, равный а, АС и BD — отрезки вне плоскости М, равные Ь, причем отрезок АС перпендикулярен к плоскости М, a BD, будучи перпендикулярным к АВ, составляет с плоскостью М угол в 30°. Определить расстояние CD.

Прямая, параллельная плоскости.

II. 1) Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости.

2) Через данную точку провести плоскость, параллельную данной прямой. Сколько возможно провести таких плоскостей?

3) Даны плоскость и параллельная ей прямая. Через точку, взятую на плоскости, провести в этой же плоскости прямую, параллельную данной прямой.

12. Провести через данную точку отрезок а так, чтобы его проекция на данную плоскость была равна самому отрезку.

13. По стороне основания а и боковому ребру b правильной треугольной призмы определить площадь сечения, проведенного через боковое ребро и ось призмы.

14. Из внешней точки А проведен к плоскости М отрезок АВ. Он разделен точкой С в отношении 3:4 (от А к В) и отсюда проведен параллельно плоскости М отрезок CD =12 см. Через точку D проведен к плоскости М отрезок ADE. Определить расстояние между точками В и Е.

16. В DC — отрезок, параллельный плоскости М\ ABE, ADF и АСО — прямые, проведенные из внешней точки А к плоскости М и пересекающие ее в точках Е, F, О. Определить расстояние

между точками Е и О, если 16. АВ и CD — параллельные отрезки, лежащие в двух пересекающихся плоскостях; АЕ и DF — перпендикуляры на линию пересечения плоскостей. Расстояние AD= = 5 см, и отрезок EF = = 4 см. Найти расстояние между прямыми АВ и CD.

17. Основание DA трапеции ABCD (черт. 6) находится на плоскости Р, а основание СВ отстоит

ВС=а, AD = b и DF = c. В

Черт. 6.

от нее на 5 см. Найти расстояние от плоскости Р точки М пересечения диагоналей этой трапеции! если DA: СВ = 7:3.