Арифметика для 5-го класса семилетней и средней школы (Киселёв) 1947 год - старые учебники

I. Признаки делимости . . 51 II. Разложение чисел на простые множители. . 58 III. Нахождение делителей составного числа ... 65 IV. Наибольший общий делитель нескольких чисел   67

V. Наименьшее общее кратное нескольких чисел   71

Стр.

Отдел четвёртый.

Обыкновенные (простые)дроби.

I. Основные понятия ... 83 II. Изменение величины дроби с изменением её членов  88

III. Сокращение дроби ... 90 IV. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю  92

V. Действия над дробными числами  95

Отдел пятый.

Десятичные дроби.

I. Основные свойства десятичных дробей ... 121

II. Действия над десятичными дробями 125

III. Обращение обыкновенных дробей в десятичные  132

IV. Обращение периодических дробей в обыкновенные  138

Отдел шестой.

Отдел третий.

Измерение величин. Метрическая система мер 76

Пропорциональные величины.

I. Пропорции 149

II. Пропорциональная зависимость величин ... 156 III. Задачи на пропорциональное деление .... 162

Таблица простых чисел, не превосходящих 6000 . . 167

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА ПЕРЕРАБОТКИ.

Всё многообразие трудных вопросов, встающих перед составителем каждого учебника, для своего удовлетворительного разрешения требует прежде всего единой принципиальной установки. При переработке курса арифметики А. П. Киселёва я исходил из того принципа, что каждый учебник, хотя бы это был учебник для V класса средней школы, должен представлять собой единое логически систематизированное целое. Проведение этого принципа должно было оказать и оказало решающее влияние на выбор и расположение материала.

В отношении выбора материала я не счёл возможным ограничиться лишь тем, что может и должно быть усвоено каждым учеником V класса. Требование логической цельности заставило ввести в учебник некоторую долю материала, который, как пра-вило, может быть надлежащим образом усвоен учащимися лишь в старших классах, при повторении курса. Весь материал такого рода выделен мелким шрифтом, и построение учебника таково, что всё набранное мелким шрифтом может быть пропущено без ущерба для понимания дальнейшего. Я не хочу советовать учителю безраздумно пропускать весь мелкий шрифт; здесь необходим дифференцированный подход в зависимости от уровня развития класса, и нельзя провести огульно резкой черты между тем, что доступно ученику V класса, и тем, что ему недоступно.

С другой стороны, требование предметного и логического единства заставило значительно сократить, а иногда и вовсе опустить ряд разделов, по традиции включаемых обычно в учебники арифметики; сюда относится теоретическая трактовка задач на тройное правило, на смешение и сплавы и т. п. Элементарная арифметика есть учение о действиях над рациональными числами. Специфические требования средней школы заставляют понимать это определение расширительно и включать в курс арифметики учение об измерении величин и о пропорциональных величинах. Это в известной мере нарушает цельность курса, не создавая, однако, существенного дефекта, ибо к арифметике просто присоединяется несколько более или менее законченных дополнительных глав. Но включение в такой курс не объединённых никакой общей теоретической основой приёмов решения отдельных встречающихся на практике типов задач означало бы сползание от научного руко-водства к .рабочей книге*. Местом для такого рода задач должен быть задачник, а не теоретическое руководство.

Проведение основного принципа существенным образом сказалось и в расположении материала. Так, учение об измерении величин, понятие о мерах и именованных числах естественно нашли себе место в виде особого отдела на рубеже между учением о целых числах и учением о дробях. Это не значит, конечно, что в живом педагогическом процессе метры и килограммы должны быть впервые упоминаемы лишь после окончания учения о целых числах, включая теорию делимости. Разумеется, уже в работе над целыми числами учащиеся должны знакомиться с основными мерами; не будет ничего плохого, если уже при изучении целых чисел учащиеся прочитают тот или другой параграф из раздела, посвя-щённого мерам и измерению; но учебник как цельное и систематическое руководство не может и не должен в точности воспроизводить живого педагогического процесса.

В этом же порядке идей я счёл необходимым изъять из учебника особый раздел о процентах. Я исходил при этом из убеждения, что этот раздел, включавший в себя математически различные задачи, объединённые лишь общностью практической обстановки, являлся одним из пережитков .комплексного* метода и что именно этот его характер и создавал в значительной мере специфические трудности в создании прочных навыков в области процентных вычислений. У учащихся, естественно, создавалось представление, будто процентные вычисления представляют собой нечто принципиально новое по сравнению с обычными действиями над дробными числами, и это представление затрудняло применение уже приобретённых навыков к задачам, которые лишь облечены в новую форму, но по существу не представляют собой ничего нового. Впрочем, учитель, который пожелал бы проходить процентные вычисления в виде особого раздела, имеет полную возможность сделать это по настоящему учебнику: для этого надо только выделить из IV и V отделов книги все параграфы, посвящённые процентам, и расположить их в том же порядке в виде особого отдела в конце книги.

Весь текст учебника Киселёва подвергся весьма тщательной переработке в сторону большей научной чёткости и большей доступности изложения. Во многих местах приводимые примеры заменены новыми и число примеров увеличено. Тем не менее, строение и стиль книги в основном были предопределены её первона-чальным текстом; автор переработки не мог ставить себе целью создание нового учебника.

В моей работе мне оказал весьма существенную помощь весь коллектив группы математики Центрального института средней школы; ряд ценных советов я получил и от представителей актива московских учителей; всем этим товарищам я приношу искреннюю благодарность.

А. Хинчин.

ОТДЕЛ I.

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, ИХ НАИМЕНОВАНИЕ И ОБОЗНАЧЕНИЕ.

1. Понятие О целом числе. Один предмет да один предмет составляют два предмета; два предмета да один предмет составляют три предмета; три да один составляют четыре и т. д. Один, два, три, четыре и т. д. называются целыми числами.

Число один иначе называется единицей. Число два можно рассматривать как собрание (совокупность) двух единиц, число три — как собрание трёх единиц и т. д. Таким образом, всякое целое число есть либо единица, либо собрание нескольких единиц.

Кроме целых чисел, арифметика изучает и другие числа. С ними мы познакомимся дальше.

2. Натуральный ряд. Если к единице присоединить ещё единицу, к полученному числу снова присоединить единицу, потом ещё единицу и т. д., то получится натуральный ряд чисел: один, два, три, четыре, пять, шесть, семьи т. д.

Наименьшее число в этом ряду — единица; наибольшего числа нет, потому что ко всякому числу, как бы велико оно ни было, можно присоединить ещё единицу и получить число ещё большее; значит, натуральный ряд можно продолжать без конца; поэтому говорят, что натуральный ряд бесконечен.

Число три меньше, чем число пять, которое в натуральном ряду стоит дальше, чем три; действительно, чтобы получить число пять, надо к тем трём единицам, из которых составлено число три, присчитать ещё две единицы. Вообще, из двух разных чисел всегда меньшим будет то, которое в натуральном ряду стоит раньше; действительно, чтобы из этого числа получить второе число, которое в натуральном ряду стоит позже, надо к первому числу присчитать ещё

одну или несколько единиц, т. е. увеличить его; поэтому второе число больше первого.

Из двух чисел меньше то, которое в натуральном ряду встречается раньше, и больше то, которое в натуральном ряду встречается позже.

3. Счет. Чтобы узнать, сколько в классе столов или сколько в саду деревьев, мы должны сосчитать их. Счёт состоит в том, что, отделяя один предмет за другим (на самом деле или только мысленно), мы называем каждый раз число отдельных предметов. Так, считая столы в классе, мы отделяем мысленно один стол за другим и говорим один, два, три, четыре и т. д. Если при отделении последнего стола мы сказали, например, восемь, то значит, в классе восемь столов; число восемь есть в этом случае результат счёта.

Мы принимаем за очевидную истину, что результат счёта не зависит от того порядка, в каком мы считаем предметы. Так, считая столы в классе, мы получим одно и то же число независимо от того, считаем ли мы от передних столов к задним или от задних к передним. Важно только, чтобы при счёте ни один стол не был пропущен и чтобы каждый стол был сосчитан только один раз.

4. Названия чисел до тысячи. Первые десять чисел натурального ряда носят следующие названия:

один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять (или десяток).

С помощью этих названий и ещё некоторых других можно выражать и другие числа. Положим, например, мы желаем назвать число поставленных здесь чёрточек:

десяток десяток десяток десяток три

Для этого отсчитываем десять чёрточек и отделяем их от остальных; потом отсчитываем еще десять чёрточек и отделяем их от остальных. Продолжаем так отсчитывать по десятку до тех пор, пока либо совсем не останется чёрточек, либо их останется менее десяти. Теперь сосчитаем десятки и оставшиеся чёрточки (или единицы); так как десятков оказалось четыре, а оставшихся чёрточек три, то мы можем число всех чёрточек назвать так:

четыре десятка три единицы.

Когда в числе окажется более десяти десятков, то поступают так: отсчитывают десять десятков, потом ещё десять десятков, затем снова десять десятков и т. д. — до тех пор, пока можно. Каждые десять десятков называют одним словом: сто, или сотня. Положим, что в каком-нибудь числе оказывается: сотен — три, оставшихся десятков — пять и оставшихся единиц — семь; такое число можно назвать так:

три сотни пять десятков семь единиц.

Если сотен в числе окажется более десяти, то эти сотни считают тоже десятками. Каждые десять сотен называют одним словом тысяча.

5. Сокращение некоторых названий. В нашем языке употребительны некоторые сокращённые названия чисел. Так, десять да один называется одиннадцать (т. е. один-на-десять); десять да два называется двенадцать (т. е. две-на-десять) и т. д. Два десятка называется двадцать (т. е. два-десять); три десятка называется тридцать (т. е. три-десять); четыре десятка называется сорок и т. д. Две сотни называется двести; три сотни называется триста и т. д.

6. Обозначение чисел ДО ТЫСЯЧИ. Первые девять чисел обозначаются особыми знаками или цифрами’.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

С помощью этих девяти цифр и десятой 0 (нуль), означающей отсутствие предметов, можно изобразить всякое число.

Цифра 0 обозначает, что предметов вовсе нет, цифра 1, — что имеется только один предмет и т. д.

Чтобы изобразить цифрами число, условились писать: простые единицы — на первом месте справа, десятки — на втором месте справа, сотни — на третьем месте; например:

число сорок два изобразится  42

„ сорок ,  40

„ триста сорок пять изобразится .... 345

„ триста сорок • .... 340

„ триста семь , .... 307

„ триста . .... 300

Все цифры, кроме нуля, называются значащими цифрами.

Приведённые примеры показывают необходимость введения нуля. Так, в обозначении числа триста сорок (340) нельзя опустить нуль, потому что 34 означает тридцать четыре. Напротив, нули, стоящие влево от первой значащей

цифры, могут быть опущены и почти всегда опускаются; 045 означает то же, что 45; 007 — то же, что просто 7. При этом условии число, изображаемое одной цифрой, называется однозначным, двумя цифрами — двузначным, тремя цифрами — трёхзначным и т. д.

7. Названия чисел, превосходящих тысячу. Когда считаемых предметов более тысячи, то составляют из них столько тысяч, сколько можно; затем считают тысячи и оставшиеся единицы и называют число тех и других; например: двести сорок тысяч пятьсот шестьдесят две единицы.

Тысяча тысяч составляет миллион, тысяча миллионов—миллиард (или биллион}, тысяча миллиардов — триллион и т. п.!).

8. Обозначение чисел, превосходящих тысячу. Пусть требуется написать число: тридцать пять миллиардов восемьсот шесть миллионов семь тысяч шестьдесят три единицы. Его можно написать при помощи цифр и слов так:

35 миллиардов 806 миллионов 7 тысяч 63 единицы.

Чтобы можно было обойтись совсем без слов, условились: во-первых, числа миллиардов, миллионов, тысяч и простых единиц писать рядом, в одну строчку, слева направо, и, во-вторых, изображать каждое из этих чисел всегда тремя цифрами, т. е. вместо 63 единиц писать 063, вместо 7 тысяч писать 007 и т. п. Тогда наше число изобразится так:

035 806 007 063.

Впрочем, и здесь с левой стороны нулей не пишут, т. е. изображают наше число так:

35 806 007 063.

Наконец, то же число часто пишут и без промежутков: 35806007063.

При этом запоминают, что первые справа три цифры означают число единиц, следующие влево три цифры означают число тысяч, следующие за этими три цифры — число миллионов и т. д. Например:

567002301 означает . . 567 миллионов 2 тысячи 301 единица 15000026 „ . . 15 миллионов 26 единиц

2008001020 . . . 2 миллиарда 8 миллионов 1 тысяча 20 единиц и т. п.

Затем следуют названия: квадриллион (тысяча триллионов), квинтиллион (тысяча квадриллионов), секстиллион (тысяча квинтиллионов) и т. д.

9. Как прочитать число, написанное длинным рядом цифр. Чтобы легче прочитать число, изображённое длинным рядом цифр, например такое: 5183000567029, мысленно отделяют в нём справа (например запятой, поставленной сверху) по три цифры до тех пор, пока можно:

5’183’000’567’029.

Первая справа запятая заменяет слово „тысяч", вторая — „миллионов*, третья — „миллиардов*, четвёртая—„триллионов*. Значит, наше число должно быть прочтено так:

5 триллионов 183 миллиарда 567 тысяч 29.

К последнему числу обыкновенно не добавляют слова „единиц*.

Если то же число записано так, что через каждые три цифры, считая справа, оставлен промежуток:

5 183 000 567 029, то его легко прочитать и не ставя запятых.

10. Значение мест, занимаемых цифрами. При таком способе писания чисел каждое место, занимаемое цифрой, имеет своё особое значение, а именно:

на 1-м месте справа ставятся простые единицы

я 2-м „ „ десятки

1» 3-м „ „ „ сотни

Л 4-м „ „ единицы тысяч

Л 5-м „ „ „ десятки тысяч

б-м „ „ „ сотни тысяч

7-м „ „ „ единицы миллионов

9 8-м „ „ „ десятки миллионов

9 9-м „ „ „ сотни миллионов

» 10-м » „ „ единицы миллиардов п

т. д.

Мы видим, таким образом, что наша система обозначения

основана на употреблении десяти цифр, которым приписывается двоякое значение: одно — в зависимости от начертания цифры, другое — в зависимости от места, занимаемого цифрой; а именно:

из двух написанных рядом цифр левая означает единицы, в 10 раз большие, чем правая,

11. Разряды единиц. Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иногда удобнее называть иначе, а именно:

единицы называются единицами 1-го разряда (или простыми единицами), десятки . . 2-го „

сотни . . 3-го • и т. д.

Все единицы, кроме простых единиц (единиц 1-го разряда), называются составными единицами. Так, десяток, сотни, тысяча— составные единицы.

Всякая составная единица по сравнению с другой единицей, меньшей ее, называется единицей высшего разряда, а по сравнению с единицей, большей её, называется единицей низшего разряда', так, сотня есть единица высшего разряда сравнительно с десятком и единица низшего разряда сравнительно с тысячей.

Всякая составная единица содержит 10 единиц следующего низшего разряда; например, сотня тысяч содержит 10 десятков тысяч, десяток тысяч — 10 тысяч и т. д.

12. Классы единиц. Разряды единиц группируют ещё в классы; к 1-му классу относятся первые три разряда: сотни, десятки и единицы; ко 2-му классу относят следующие три разряда: тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и т. д. 1-й класс есть класс единиц (содержит сотни, десятки и единицы единиц); 2-й класс — класс тысяч (содержит сотни, десятки и единицы тысяч) и т. д.

13. Как узнать, сколько в числе всех единиц данного разряда. Пусть требуется узнать, сколько в числе 56284 заключается всех сотен, т. е. сколько сотен заключается в десятках тысяч, в тысячах и в сотнях данного числа вместе.

Простые сотни ставятся на третьем месте справа; в данном числе на третьем месте стоит цифра 2; значит, в числе есть две простые сотни. Следующая влево цифра 6 означает тысячи, но в каждой тысяче содержится 10 сотен; значит, в 6 тысячах их заключается 60. Следующая влево цифра 5 означает десятки тысяч, но каждый десяток тысяч содержит в себе 10 тысяч, и следовательно, 100 сотен; значит, в 5 десятках тысяч заключается 500 сотен. Всего, таким образом, в данном числе содержится сотен 500 да ещё 60 да ещё 2, т. е. 562.

Так же узнаём, что в данном числе всех десятков 5628.

Правило, Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц данного разряда, надо отбросить все цифры, означающие единицы низших разрядов, и прочитать число, выражаемое оставшимися цифрами.

П. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. РИМСКИЕ ЦИФРЫ.

14. Понятие о системах счисления. Всякий общий способ наименования и обозначения чисел называется системой счисления, или нумерацией. Наша система счисления называется десятичной (или десятеричной), потому что по этой системе 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда. Число 10 называют поэтому основанием десятичной системы счисления. Всякое число /V по этой системе представляется разложенным на простые единицы, десятки, сотни, тысячи и т. Д., причем число единиц каждого разряда меньше 10. Если положим, что в числе М содержится простых единиц а, десятков Ь, сотен с, тысяч 4 и т. д., то это число представляет собой сумму:

н=а -р ь • ю 4- с-102 4- а-ю»4-....

Можно вообразить себе другие системы, в которых за основание принято какое-нибудь иное число. Если, например, за основание взять число 5, то получится пятеричная система счисления, по которой 5 единиц одного разряда должны составить единицу следующего высшего разряда. Таким образом, по пятеричной си-стеме единицей 2-го разряда должна быть пятерка, единицей 3-го разряда — 5 пятерок, или 53, единицей 4-го разряда — 5 раз по 5 пятерок, или 53, и т. д. По этой системе число ТУ представлялось бы так:

УУ = а 4- Ь • 5 4- с •524- а • 5» 4- е • 5* 4-..., где каждое из чисел а, Ь, с, <1,е, ... было бы меньше 5.

15. Число цифр, необходимое для изображения чисел по данной системе. Для письменного изображения чисел по десятичной системе употребляются 10 различных знаков. Для другой системы счисления потребовалось бы иное число цифр. Например, для пятеричной системы достаточно было бы следующих пяти цифр: 1,2, 3, 4, 0. Действительно, число 5 представляло бы по этой системе 1 единицу 2-го разряда и, следовательно, изображалось бы так: 10. Число 6 представляло бы 1 единицу 2-го разряда (пятерку) и одну единицу 1-го разряда и, следовательно, изображалось бы так: 11 и т. п. Для изображения чисел по системе, у которой ос-нование превосходит 10, было бы недостаточно наших цифр. Например, для двенадцатеричной системы пришлось бы придумать особые знаки для чисел 10 и 11, потому что наши обозначения этих чисел выражали бы тогда другие числа, именно: 10 означало бы 1 единицу 2-го разряда, т. е. дюжину, а 11 означало бы 1 единицу 2-го разряда и 1 единицу 1-го разряда, т. е. 13.

16. Число, написанное по десятичной системе счисления, изобразить по другой системе. Для примера положим, что требуется число 176 о выразить по пятеричной системе при помощи пяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4. Для этого узнаем сначала, сколько в 1766 заключается единиц 2-го разряда, т. е. пятёрок. Их оказывается 353, причём остаётся 1 единица 1-го разряда. Теперь узнаем, сколько в 353 пятёрках заключается единиц §-го разряда. Так как единица 3-го разряда содержит 5 единиц 2-го разряда, то надо 353 разделить на 5. Разделив, узнаем, что в 353 пятёрках заключается 70 единиц 3-го разряда и 3 единицы 2-го разряда. 70 единиц

3-го разряда превращаем в единицы 4-го разряда; эти последние— в единицы 5-го разряда и т. д.

1766| 5

26 353'_3

1б~3 70| 5 п 20 14 |5. ТП 2

Таким образом, находим, что 1766 содержат 2 единицы 5-го разряда, 4 единицы 4-го разряда, 3 единицы 2-го разряда и 1 единицу 1-го разряда; следовательно, 1766 изобразится по пятеричной системе так: 24031.

Пусть ещё требуется изобразить 121380 по двенадцатеричной системе:

121380| 12

13 10115 112

18 51 8421_12

60 35 2 701 12

"О 11 10 5

Обозначая 10 через а, 11 через Ь, найдём, что данное число изобразится так: 5п2оО.

17. Число, написанное по какой-нибудь системе счисления, изобразить по десятичной. Пусть, например, требуется число 5623, написанное по восьмеричной системе, перенести на десятичную систему. Это можно выполнить, вычислив сумму:

ЛГ = 3 4-2-8 + 6.82+5-8» = 34-16 + 384 + 2560 = 2963.

Но проще поступить так: раздробим 5 единиц 4-го разряда в единицы 3-го разряда, для чего умножим 5 на 8 (потому что единица 4-го разряда содержит по восьмеричной системе 8 единиц 3-го разряда); к полученному числу приложим 6 единиц 3-го разряда, находящиеся в данном числе. Раздробим единицы 3-го разряда в единицы 2-го разряда; к полученному числу приложим 2 единицы 2-го разряда, находящиеся в данном числе. Раздробим единицы 2-го разряда в единицы 1-го разряда; к полученному числу приложим 3 единицы 1-го разряда, находящиеся в данном числе. Получим 2963.

Замечания. 1) Десятичная система счисления распространена почти повсеместно. Многие видят причину такой распространенности в том, что каждый человек с детства привыкает считать при помощи десяти пальцев обеих рук. Однако десятичное счисление не является самым удобным. Например, в некоторых отношениях удобнее была бы двенадцатеричная система, которая, не требуя для изображения чисел большого числа цифр, обладает важным свойством, что основание её делится без остатка на 2, на 3, на 4 и на 6, тогда как основание нашей системы делится, только на 2 и на 5; подобные же соображения послужили, вероятно, основанием шестидесятеричной системы счисления, употреблявшейся в древнем Вавилоне. Для теоретических исследований наиболее целесообразной оказывается двоичная система, которая, впрочем, для практических целей совсем неудобна, так как по этой системе даже небольшое число выражается длинным рядом цифр (например, число 70 выражается так: 1000110).

2) Употребляемые нами цифры и самая система обозначения чисел заимствованы европейцами у арабов (около XII в.). Вот почему эти цифры называются арабскими. Но есть основание думать, что арабы в свою очередь заимствовали эту систему у индусов.

18. Римские цифры. Так как римские цифры в настоящее время употребляются иногда для обозначения чисел, то полезно ознакомиться и с ними. Римляне употребляли для обозначения чисел только следующие семь знаков:

1 = 1, У = 5, Х = 10, Е = 50, С = 100, 0=500, М = 1000.

Их способ выражать числа существенно отличался от нашего. У нас цифры изменяют своё значение с переменой места, а в римской нумерации цифры на всяком месте сохраняют своё значение. Когда написано несколько римских цифр рядом, то число, выражаемое ими, равно сумме чисел, выражаемых каждой цифрой; например, XXV означает сумму 10+10+5, т. е. 25; СЕХУ означает сумму 100+50-1-10+5, т. е. 165, и т. п. Исключение из этого правила составляют только следующие 6 чисел:

4= IV, 9= IX, 40= ХЕ, 90 = ХС, 400 = СО, 900 = СМ.

В этих изображениях значение левой цифры вычитается из значения правой.

После этого понятны будут следующие изображения чисел.

1 = 1, Ц=2, III =3, IV = 4, У=5, VI =6,

УП=7, УШ=8, IX =9, Х = 10, XI = 11, ХН = 12, XIV = 14, XVIII = 18, XIX = 19, XX = 20, XXIX =29, ХЕП = 42, ЕХХХ1У = 84, ХСУ=95, ССС = 300, МСМХХХ VII = 1937.

Число тысяч изображается так же, как число единиц, только с правой стороны, внизу ставят букву ш (пйПе — тысяча); например:

СЕХХХтСССЕХ1У = 180 364.

Ш. СЛОЖЕНИЕ.

19. Что такое сложение. Единицы, из которых составлено несколько чисел, могут быть объединены в одно собрание. Число, которое получится после счёта всех единиц этого собрания, называется суммой, а те числа, которые соединяются в одно собрание, называются слагаемыми. Так, 5 спичек да 7 спичек да 2 спички могут быть соединены в одно собрание 14 спичек. Число 14 есть сумма трёх слагаемых: 5, 7 и 2. Слагаемых может быть 2, 3 и более.

Слагаемые можно рассматривать как части суммы.

Нахождение по нескольким данным числам одного нового числа называется арифметическим действием (для краткости мы его будем просто называть действием).

Действие, состоящее в образовании суммы нескольких чисел, называется сложением этих чисел.

Знак сложения есть-}-(плюс); так, если написано: 5-|-7-|-2, то это означает сумму чисел 5, 7 и 2.

Действие сложения всегда возможно (любые числа могут быть соединены в одно собрание) и всегда даёт единственный результат.

20. Основные свойства суммы. 1) Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.

Так, сумма 5-|-7-|-2 всегда равна 14, в каком бы порядке мы ни производили сложение:

5 + 7 + 2 = 2 + 7 + 5 = 7 + 5 + 2 = 14.

Свойство это принято называть переместительным законом сложения, так как оно состоит в том, что слагаемые можно перемещать, не изменяя суммы.

В общем виде это свойство для трёх слагаемых можно записать так:

а + д+с = « + с + д = д + а+с=д+е + а=с+а+ + д=з<? + д+а,

где под буквами разумеются какие угодно числа.

2) Сумма не изменится, если какую-либо группу слагаемых мы заменим их суммой.

Например, сумма 5 + 7 + 2 не изменится, если мы слагаемые 7 и 2 заменим их суммой:

5 + 7 + 2 = 5 + 9=14.

Это свойство называется сочетательным законом сложения, так как оно состоит в том, что любые сла- 14

гаемые мы можем сочетать (соединять) в одно число (в одну группу).

В общем виде это свойство для трёх слагаемых можно записать так:

« + д + с=(а + Ь) + <?=« + (Ь + с), где скобками указано, в каком порядке надо произвести сложение: сначала сделать сложение, указанное внутри скобок, а затем ело* жение, указанное вне скобок.

21. Как прибавить сумму и как прибавить к сумме. Из основных свойств суммы можно вывести следующие два предложения:

1) Чтобы прибавить к какому-нибудь числу сумму нескольких чисел, можно прибавить к этому числу каждое слагаемое одно за другим.

100 4-(20 4-7 + 3) = 100 + 204-74- З1).

В самом деле, на основании свойства 2) (§ 20) правая часть написанного равенства не изменится, если мы в ней слагаемые 20, 7 и 3 соединим в одну группу; но, сделав это, мы получим как раз левую часть написанного равенства.

2) Чтобы прибавить какое-нибудь число к сумме, можно прибавить это число к одному какому-нибудь слагаемому, оставив другие без изменения.

Так:

(35 + 15+ 20)+10 = (35+ 10)+15 +20 = = 35 4-(15+ 10) +20 = ...

Все эти суммы равны сумме 35+15 + 20 + 10, только в некоторых из них слагаемые переставлены и некоторые из слагаемых соединены в одну группу. Поэтому на основании свойств I) и 2) (§ 20) все эти суммы равны сумме 35+15 + 20 + 10 и, значит, равны между собой.

22. Сложение двух однозначных чисел. Чтобы найти сумму двух однозначных чисел, достаточно к одному из них присчитать все единицы другого. Так, присчитывая к 7 все единицы числа 5, находим сумму 12.

Чтобы уметь быстро складывать всякие числа, следует запомнить все суммы, которые получаются от сложения двух однозначных чисел.

Ч Скобки ( ) здесь и в дальнейшем означают, что действия, стоящие внутри скобок, должны быть выполнены прежде остальных; подробнее об употреблении скобок см. § 41.

Замечание. Так как нуль указывает на отсутствие единиц, то 54-0 = 5 (если к пяти ничего не прибавить, то останется 5) и 0-|-5 = 5 (если единиц не было, а затем присчитано 5 единиц, то 5 единиц и получится). Вообще, сложение любого числа с нулём или нуля с любым числом всегда даёт это самое число.

23. Сложение многозначного числа с однозначным. Пусть требуется сложить 37 и 8. Для этого от 37 отделим 7 единиц и сложим их с 8; получим 15. Эти 15 единиц прибавим к 30; но 15 всё равно что 10 да 5. Прибавив 10 к 30, получим 40; прибавив к 40 ещё 5, получим 45.

Можно поступить и так. Заметив, что к 37 надо прибавить 3, чтобы получить 40, отделим 3 единицы от 8 единиц и приложим их к 37; тогда получим 40 и ещё 5 единиц, оставшихся от 8, т. е. получим 45.

Следует привыкнуть выполнять эти действия в уме и притом быстро.

Указанные в этом параграфе два приёма сложения составляют применение тех предложений, о которых говорится в § 21, как это видно из равенства:

37 4-8 = (304-7)4-8 = 30 4-(7 4-8) = 304-15 = 304- 4-(104-5) = (304- 10)4- 5 = 404-5 = 45, или

37 4-8 = 37 4-(3 4-5) = (37 4-3)4-5 = 40 4-5 = 45.

24. Сложение многозначных чисел. Пусть требуется найти сумму четырёх чисел: 13653, 22409, 1608 и 346. Для этого сложим сначала простые единицы всех слагаемых, потом их десятки, затем сотни и т. д. Чтобы при этом не смешать между собой единиц различных разрядов, напишем данные числа одно под другим так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сот-нями и т. д.; под последним слагаемым проведём черту:

13653 . 22409 “Г 1608 346 38016

Сложив единицы, получим 26, т. е. 2 десятка и 6 единиц; 2 десятка запомним, чтобы их сложить с десятками данных чисел, а 6 единиц запишем под чертой, под единицами слагаемых.