Арифметика V-VI классы заочной средней школы (Пономарев) 1968 год - старые учебники

§ 9. Сложение. Законы сложения 23

§ 10. Сложение однозначных и многозначных чисел 25

§ 11. Задачи, решаемые сложением 29

§ 12. Вычитание 30

§ 13. Устное и письменное вычитание. Свойства вычитания ... 31

§ 14. Проверка сложения и вычитания. Сложение и вычитание на счетах 34

§ 15. Основные задачи, решаемые вычитанием 37

§ 16. Умножение. Законы умножения 39

§ 17. Устное и письменное умножение. Проверка 42

§ 18. Основные задачи, решаемые умножением 46

§ 19. Деление. Основные свойства деления 43

§ 20. Устное и письменное деление. Проверка деления 50

§ 21. Приближенное частное 55

§ 22. Приемы устных вычислений при умножении и делении • • • 56

§ 23. Основные задачи, решаемые делением 57

§ 24. Зависимости между данными числами и результатами действий над ними 59

§ 25. Изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов $$

§ 26. Порядок выполнения совместных действий. Скобки . ... 74

§ 27. Немного истории об арифметических действиях 76

§ 28. Решение задач на все действия 77

Зачетная работа № 1 94

Глава III. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

§ 29. Делимость суммы двух чисел. Признаки делимости . . . .96

§ 30. Разложение чисел на простые множители 100

§ 31. Общий делитель нескольких чисел. Наименьшее общее кратное нескольких чисел ЮЗ

§ 32. Краткие исторические сведения о теории простых чисел . .106

Зачетная работа № 2 Ю7

Часть вторая. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА

Глава IV. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

§ 33. Понятие дроби Ю9

§ 34. Правильные и неправильные дроби. Смешанное число . . .112

§ 35. Числовой луч. Сравнение дробей 117

§ 36. Изменение величины дроби с изменением ее членов . . .121

§ 37. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 124

§ 38. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю . .127

§ 39. Сложение дробей. Законы сложения дробей 131

§ 40. Вычитание дробей. Свойство вычитания дробей. Проверка сложения и вычитания дробей 138

§ 41. Умножение дробей. Законы умножения 147

Зачетная работа № 3 161

§ 42. Деление дробей 163

Зачетная работа № 4 176

§ 43. Решение примеров и задач на все действия с обыкновенными дробями 177

Зачетная работа № 5 198

Глава V. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

§ 44. Основные свойства десятичных дробей 200

§ 45. Сложение десятичных дробей 209

§ 46. Вычитание десятичных дробей 212

§ 47. Умножение десятичных дробей 216

§ 48. Деление десятичных дробей 222

§ 49. Примеры и задачи на все действия с десятичными дробями 230

Зачетная работа № 6 238

§ 50. Запись десятичных дробей в виде обыкновенных и обращение обыкновенных дробей в десятичные (точно и приближенно). Понятие о периодической дроби . . . .239

§ 51. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями 246

§ 52. Отношение величин и чисел; числовой масштаб и его применение 252

Зачетная работа № 7 259

§ 53. Решение задач с геометрическим содержанием 261

Зачетная работа № 8 275

§ 54. Повторение материала, пройденного в V классе 276

Глава VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

ЗАДАЧ

А. Приближенные вычисления

§ 55. Понятие о точных и приближенных значениях величин . .282

§ 56. Абсолютная погрешность приближенного числа 285

§ 57. Сложение и вычитание приближенных чисел 289

§ 58. Умножение и деление приближенных чисел 291

Б. Решение геометрических задач

§ 59. Деление отрезка и угла на равные части. Построение параллелограмма по данным сторонам и углу между ними . . 294

§ 60. Вычисление длины окружности и площади круга, поверхности и объема цилиндра 296

§ 61. Вычисление поверхностей и объемов правильной треугольной пирамиды, правильной четырехугольной пирамиды, конуса и усеченного конуса 302

Зачетная работа № 1 308

Глава VII. ПРОЦЕНТЫ

§ 62. Определение процента числа. Нахождение процентов числа .309

§ 63. Нахождение числа по его процентам 313

§ 64. Нахождение процентного отношения чисел 316

§ 65. Относительная погрешность приближенного числа. Секторные диаграммы 318

§ 66. Решение задач на все типы процентных вычислений . . .321

Зачетная работа № 2 325

Глава VIII. ПРОПОРЦИИ. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН

§ 67. Пропорция. Основное свойство пропорции 327

§ 68. Нахождение неизвестного члена пропорции 330

§ 69. Понятие о величинах. Прямая пропорциональность величин 332

§ 70. Решение задач на прямо пропорциональную зависимость между двумя величинами 337

§ 71. Обратная пропорциональность двух величин 340

§ 72. Решение задач на обратно пропорциональную зависимость между двумя величинами 344

§ 73. Деление числа пропорционально данным числам 347

§ 74. Задачи на пропорциональную зависимость и пропорциональное деление 351

Зачетная работа № 3 353

§ 75. Повторение материала, пройденного в VI классе .... 354

Зачетная работа № 4 366

Приложения 368

Ответы 372

;К УЧАЩИМСЯ

Мы живем в эпоху завоевания человеком космоса, в эпоху атома и глубокого освоения ресурсов Земли. Человек создал космические корабли, посылая их не только вокруг Земли, но и на другие планеты; человек сооружает грандиозные гидроэлектростанции и атомные электростанции, превращает пустыни в пло-дородные земли и проникает в тончайшие особенности строения вещества. Все эти достижения стали возможными благодаря применению так называемых математических методов и расчетов. А в основе математических расчетов лежит арифметика (арифметика — наука, изучающая числа и действия над ними), поэтому вам необходимо сознательно и прочно усвоить все то, что говорится в учебнике арифметики. Усвоить содержание учебника арифметики — значит понять его содержание, запомнить определения и правила, научиться обосновывать эти правила, уметь решать примеры и задачи и применять полученные знания в жизни.

Как же надо работать с учебником?

Учебник математики пишется не для быстрого чтения, а для систематического изучения. Поэтому читать учебник, особенно на первых порах, будет и нелегко. Чтобы облегчить вашу работу с учебником, в нем сделаны такие выделения:

а) Определения и правила, требующие твердого запоминания, «слово в слово», выделены полужирным шрифтом.

б) Места материала, которые надо запомнить, но излагать можно «своими словами», отмечены на полях с левой стороны знаком «♦». Эти места надо прочитать несколько раз, до полного их уяснения.

При чтении учебника надо:

1. Содержание параграфа читать так, чтобы каждая фраза была понята. Если при первом чтении вы ее не поняли, прочтите эту фразу повторно.

2.Читать содержание с карандашом в руке, выполняя в тетради примеры, рассмотренные в книге.

3. Поняв прочитанное и ответив на вопросы для самоконтроля, записать эти ответы в тетради.

4. Убедившись, что содержание параграфа усвоено, приступить к решению упражнений.

5. Решив упражнения параграфа, выполнить контрольную работу по содержанию параграфа.

6. Все записи вести тщательно и аккуратно (см. образцы записей на стр. 92).

Учащиеся заочной школы обязаны сдать устные и письменные зачеты. Те учащиеся, которые не имеют возможности сдавать устные зачеты, должны выполнять полностью приводимые в заданиях зачетные работы, а сдающие зачеты устно выполняют упражнения зачетных работ, отмеченные звездочкой.

649. Колхоз имел под огородами 20,8 га земли. Капустой было занято 0,15 этой земли. Сколько гектаров земли было отведено под капусту?

650. Тело, весящее на Земле 1 кг, на Луне весит 0,16 кг. Сколько весит тело на Луне, если на Земле оно весит 100 кг? Каков будет ваш вес на Луне? (Рис. 93.)

651. Мальчик, наблюдая грозу, увидел вспышку электрического разряда (молнию), а через 25 сек. услышал звук разряда (гром). На каком расстоянии от мальчика произошел разряд, если скорость звука в воздухе равна 0,33 км!сек? (Рис. 94.) (От-вет округлить до 0,1 км.)

652. При каждом вдохе взрослый человек вводит в легкие 0,5 л воздуха. Сколько воз-духа пропускает человек за сутки, если считать, что он делает 18 вдохов в минуту? Сколько весит воздух, который проходит за сутки через легкие человека, если 1 л воздуха весит 1.23 г? (Ответ округлить до 1 кг.)

653. Семья колхозника выработала за год 1023 трудодня. Сколько зерна, овощей и денег получит семья, если колхоз выдавал 3,5 кг зерна, 4 кг овощей и 1,25 руб. на 1 трудодень?

654. Огород имеет форму квадрата, сторона которого — 12,6 м. Найти периметр и площадь огорода.

655. Комната имеет размеры 8,4 X 5,2 X 3,6 м. Найти ее объем. (Ответ округлить до 1 куб. м.)

656. Выполнить указанные действия:

1) 10,08 • 0,13 + 7,2 • 1,068;

2) 4,5 • 3,1 +1,2 • 0,3 • 2,1;

3) 105-7,08—105-6,08;

4) (5,6—4,2) • 1,25—2,4 • 0,5.

657. 1) 5,423 + 3,577-(5,423—3,577);

2) (9—0,4) • (6,1—4,6) + (4,1—2,85)- (3,2—3,12);

3) (2,743 +12,257) • 0,01 + 0,047 • (10 000—429,5).

658. 1) 34,8-0,5—(9,8 + 1,4)-0,2 + 0,6-(24,3—18,8);

2) 41,5 • 0,6—0,4 • (15,8—12,3) + (13,4 +15,4) • 0,5;

3) 100 • (5,423—4,908) + 0,1 • (19,4—17,4)—0,5 • (14,7—11,6).

659- Записать при помощи скобок и знаков арифметических действий и произвести вычисления над числами 10,8; 3,4 и 5,2 в следующих случаях:

1) сумму всех трех чисел умножить на разность между первым и вторым числами;

2) сумму первых двух чисел умножить на удвоенную разность между первым и третьим числами.

660. Проверить распределительный закон умножения: 1) умножив сумму чисел 4,21 и 2,29 на 0,25; 2) умножив разность чисел 5,34 и 1,09 на 0,4.

661. 1) К какому числу надо прибавить 25,4, чтобы получить число, в 2,5 раза большее, чем 15,1?

2) От какого числа надо отнять 3,2, чтобы получить число, в 4, 6 раза большее, чем 6,8?

662. На окучивании участка картофеля одновременно работали тракторный окучник производительностью 1,3 га в час и два конных окучника производительностью 0,25 га в час каждый. Сколько гектаров картофеля они окучили вместе за 5 час. работы?

663. На окучивании участка картофеля работали тракторный окучник производительностью 1,3 га в час и два конных окучника производительностью 0,25 га в час каждый. Тракторный окучник работал 8 час., а конные окучники — по 5 час. каждый. Сколько гектаров картофеля они окучили вместе?

664. Поле площадью 75 га было засеяно пшеницей, рожью и просом. Пшеницей было засеяно 0,4 всего поля, рожью на 5,2 га больше, чем пшеницей, а остальная площадь поля была засеяна просом. Сколько гектаров земли было засеяно просом?

665. В полдень из порта А в порт Б вышел пассажирский пароход, скорость которого—22,4 км в час. В 15 час. из того же порта в порт Б вышел грузовой пароход, скорость которого — 16,5 км в час. На каком расстоянии друг от друга будут пароходы в 20 час.?

666. Из Москвы в Иркутск вышел скорый поезд со средней скоростью 60 км в час, а через 12,5 часа по тому же направлению вылетел самолет, скорость которого —760 км в час. На каком расстоянии будут друг от друга самолет и поезд через 2,5 часа после вылета самолета?

667. Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли два поезда: один со скоростью 48,4 км в час, а другой со скоростью 56,8 км в час. Встреча их произошла через 2,5 часа. Найти расстояние между городами.

668. Надо огородить колхозный сад, ширина которого—109,4 м, ,а длина на 24,6 м больше ширины. Сколько потребуется кольев для изгороди, если на каждый метр идет 5 кольев?

669. Через поле прямоугольной формы, ширина которого —70,5 м, а длина в 6 раз больше ширины, проходит поперек его (по ширине) грунтовая дорога шириной 6,5 м. Сколько земли используется под посев? (Ответ округлить до 1 а.)

Контрольная работа по § 47

1. Вычислить: 2,5 * 2,45 * 4 * 6,25 * 1,25 . 80.

2. Проверить справедливость равенства: 4,82 • 3,5 = 48,2 • 0,35. Объяснить, почему получаются равные произведения двух сомножителей, хотя сомножители и неравные.

3. Вычислить: 3,16 • 0,9-Ь 10,5 • 9,64-0,1 • 2,7.

4. Вес тела на Луне составляет 0,16 веса этого тела на Земле, на Марсе — 0,38, на Юпитере в 2,64 раза больше веса тела на Земле. Определить вес взрослого человека на Луне, Марсе и Юпитере, если на Земле человек весит 72 кг.

5. Трактор при пахоте пятикорпусным плугом, захватывающим полосу в 1,75 м шириной, развивает скорость 4,8 км в час. Какое поле этот трактор может вспахать за 6 час. непрерывной работы? (Выразить работу в гектарах.)

6. Квартира имеет три комнаты. Длина первой комнаты — 5,6 м и ширина — 5 л; длина второй комнаты — 4,5 м и ширина — 5 м; длина третьей комнаты — 4,8 м и ширина — 3,5 м. Определить квартирную плату за месяц, если за 2 км. м платят 0,06 руб. (Ответ округлить с точностью до 0,1 руб.)

§ 48. ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕН

♦ Деление десятичных дробей, как и деление натуральных чисел, иногда выполняется без остатка, а иногда — с остатком. Рассмотрим деление десятичных дробей в такой последовательности :

1. Деление десятичной дроби на натуральное число без остатка. 2. Деление десятичной дроби на десятичную дробь без остатка. 3. Приближенное частное.

Деление десятичной дроби на натуральное число без остатка. Пусть надо вычислить частное 74,55 : 35. Запишем деление десятичной дроби так, как записываем деление натуральных чисел:

Делим 74 целых на 35; получим в частном 2 целых, записываем эту цифру и ставим запятую, так как деление целых окончено. Остаток 4 единицы раздробляем в десятые доли (40 десятых) и прибавляем к ним 5 десятых долей; получим 45 десятых. Делим 45 на 35, получим в частном 1 десятую и в остатке 10 десятых; записываем в частном 1 десятую, а остаток 10 десятых; раздробляем в сотые доли (100 сотых) и прибавляем к ним 5 сотых, получим 105 сотых. Делим 105 сотых на 35, получим в частном 3 сотых и в остатке 0. Деление закончено.

Из рассмотренного примера видно, что процесс деления десятичной дроби на натуральное число аналогичен процессу деления натуральных чисел.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо производить деление так, как производится деление натуральных чисел, обращая остатки в более мелкие десятичные доли.

Деление десятичной дроби на десятичную дробь без остатка.

Мы знаем, что если делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз, то частное не изменится. Это свойство позволяет свести случай деления на десятичную дробь к случаю деления на натуральное число, уже рассмотренному нами.

Пусть надо вычислить частное 3,825 : 0,85.

Рассматривая пример, видим, что если делитель и делимое увеличить в 100 раз, то делитель будет натуральным числом, т. е. мы преобразовали деление на десятичную дробь в деление на натуральное число.

Действие записывают так:

3,825:0,85=382,5:85 = 4,5

—340

_ 425

425 0

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо отбросить в делителе запятую и, увеличив делимое во столько раз, во сколько увеличили делитель, разделить его по правилу деления на натуральное число.

Приведем два способа записи деления:

1-й способ.

Запись второго способа более экономична, а потому тельно записывать деление десятичных дробей вторым

жела- спосо-

бом. Если деление можно выполнить устно, то действие записывают в строчку: 5,6 : 0,28 = 560 : 28 = 20-

Понятие о приближенном частном. Мы рассмотрели деление десятичных дробей при условии, что частное выражалось точным (конечным) числом, т. е. деление выполнялось без остатка. Но в практических задачах, для решения которых необ-ходимо применить деление, искомое частное в большинстве случаев не может быть выражено точным числом. Приведем примеры.

Первый пример. Самолет ТУ-104 пролетает расстояние между Москвой и Ленинградом за 45 мин. С какой скоростью он пролетает это расстояние, если оно равно 650 км?

Решение.

1) Какую часть часа составляют 45 мин.?

45 3

45 мин. = — часа = —часа =0,75 часа.

60 4

2) С какой скоростью летит ТУ-104?

650 : 0,75 = -65000 : 75 = 866,666- - •

50

50

50

Многоточие в этой записи указывает на то, что в частном цифра 6 бесконечно повторяется.

Второй пример. Бригада ремонтников отремонтировала за месяц 19 км шоссе вместо 7 км, предусмотренных планом. Во сколько раз бригада перевыполнила план?

Решение. Для нахождения ответа мы должны 19 разделить на 7.

Видим, что начиная с 7-го десятичного знака цифры частного стали повторяться. Значит, деление будет бесконечным. В таких случаях,- когда убеждаются, что деление бесконечно (в первом примере цифры частного стали повторяться начиная с цифры 6, во втором — с цифры 7), деление прекращают и

записывают результат, ограничиваясь несколькими первыми цифрами частного.

В рассмотренных примерах вполне достаточно ограничиться десятыми долями. Приближенный результат деления записывается так:

650 : 0,75 «866,6;

19 : 7 «2,7.

Результат деления выражают приближенным числом не только в случае бесконечного деления. При решении практических задач и в том случае, когда деление может быть выполнено без остатка, т. е. выражено точным числом, часто пользуются приближенным значением результата. Приведем пример. Сельские труженики Ставропольского края в 1963 г. продали государству 170 млн. пудов хлеба вместо 127 млн. пудов, предусмотренных планом. Какую часть составляет план от фактического выполнения?

Решение. Для нахождения ответа надо 127 разделить на 170.

127,0 I 170

800 | 0,74705

1200

100

В данной задаче нас удовлетворяет число, ограниченное сотыми долями, т. е. 127 : 170«0,75.

Из рассмотренных трех примеров можно сделать вывод: когда частное имеет большое число десятичных знаков или их число бесконечно, частное обычно выражают приближенным числом.

Нахождение приближенного частного с тем или иным количеством десятичных знаков зависит от практических соображений, от тех данных, которые содержатся в задаче. В рассмотренных трех примерах брали приближенные частные с недо-статком ; так, в первом примере мы отбросили значение 0,0666..., во втором—0,0142..., в третьем—0,00705... . Если бы мы взяли в этих примерах значения 866,7; 2,8; 0,75, то эти значения называли бы приближенными частными с избытком.

Обычно из двух приближенных значений частного берут то, которое меньше отличается от точного частного. При этом пользуются правилом округления (см. § 44).

При нахождении приближенного значения частного можно пользоваться и другим правилом — правилом остатков: если остаток больше половины делителя, то надо взять приближенное значение с избытком. Приведем примеры.

1) Вычислить частное 2:3с точностью до 0,01.