Курс математического анализа - Том 1 (Бохан, Егорова, Лащенов) 1972 год - старые учебники

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Предлагаемый курс математического анализа рассчитан на студентов-заочников. Хотя существует большое количество учебников по математическому анализу, которыми пользуются студенты стационарных вузов, однако эти учебники рассчитаны, как правило, на то, что студент изучает их параллельно со слушанием лекций и имеет постоянный личный контакт с преподавателем. Заочник работает в других, более трудных условиях, и поэтому он нуждается в таких дополнительных пособиях, которые могли бы хоть частично облегчить его работу. К такому типу пособий относится и этот курс, составленный сотрудниками кафедры математического анализа Ленинградского педагогического института имени А. И. Герцена.

В курсе особенно подробно рассматриваются основные понятия математического анализа, приводится большое количество столь же подробно решенных примеров, даются не только упражнения обычного типа для самостоятельной работы студента, но также и вопросы для самопроверки, которые помогут студенту-заочнику выяснить, насколько хорошо он разобрался в изучаемом курсе. Если студент пожелает иметь дополнительный материал для упражнений сверх того, который содержится в этой книге, ему можно рекомендовать как различные общие задачники по математическому анализу, например Н. А. Давыдова, П. П. Коровкина и В. Н. Никольского, или Г. Н. Бермана, или Б. П. Демидовича, так и специальные задачники-практикумы, изданные Московским заочным педагогическим институтом.

В процессе изучения курса студент должен глубоко вникать в сущность всех новых понятий и формулировок всех теорем. При разборе каждой теоремы очень полезно выяснить, где в доказательстве используется то или иное ее условие. Изучение того или иного параграфа можно считать законченным лишь тогда, когда студент может безошибочно воспроизвести все содержащиеся в этом параграфе определения, теоремы с их доказательствами и ответить на вопросы, поставленные для самопроверки. Только после этого рекомендуется переходить к следующему параграфу.

При изложении материала в этом курсе иногда, по более сложным и тонким вопросам, делаются ссылки на учебник Г. М. Фихтенгольца «Основы математического анализа». При ссылках [1] означает том 1 этого учебника, а [2] — том 2. Кроме книги Г. М. Фихтенгольца, студенты-заочники могут также использовать учебники Н. А. Фролова «Дифференциальное и интегральное исчисление» и «Курс математического анализа», часть 2, и И. Е. Жака «Дифференциальное исчисление». При написании книги авторы пользовались сборниками задач Г. Н. Бермана, Б. П. Демидовича и других авторов.

Весь курс состоит из двух томов, содержащих десять разделов. Доцент К. А. Бохан написал I и II разделы этого курса, главу девятнадцатую раздела VI, а также § 4 главы шестнадцатой раздела V. Доцент И. А. Егорова написала разделы V, VII, VIII, IX и X. Доцент К. В. Лащенов написал разделы III и IV, а также семнадцатую и восемнадцатую главы раздела VI. В согласовании глав и разделов между собой принимали участие все авторы.

Лроф, Б, 3. By лих

ОТ АВТОРОВ

На кафедре математического анализа Ленинградского государственного педа-гогического института имени А. И. Герцена авторы данного курса в течение многих лет систематически работали над созданием специальных учебных пособий для студентов-заочников педагогических институтов. Эти пособия издавались Ленинградским педагогическим институтом имени Герцена, а также большими тиражами Московским государственным заочным педагогическим институтом. Длительное время пособия использовались в работе многих пединститутов. При подготовке к печати данного курса авторы с благодарностью учли полезные замечания и советы, высказанные рецензентами, а также лицами, работавшими с этими пособиями. Поэтому можно сказать, что настоящее учебное пособие является итогом многолетней работы авторов над созданием специальных учебных пособий для студентов-заочников пединститутов.

В течение всех этих лет доктор физико-математических наук, профессор Б. 3. Вулих неизменно оказывал нам большую помощь своими ценными советами и замечаниями и проделал огромный труд по редактированию настоящего пособия. Мы выражаем ему особую благодарность.

Выражаем также глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору | И. П. Натансону I, доктору физико-математических наук, профессору С. Г. Михлину и доктору физико-математических наук, профессору Н. Я. Виленкину, которые принимали участие в чтении рукописей и сделали много ценных указаний.

Авторы просят присылать отзывы и отдельные, замечания по данному курсу по адресу: Ленинград, Д-88, Мойка, 48, ЛГПИ, математический факультет, кафедра математического анализа.

авторы 

Раздел /

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

ГЛАВА /

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

Понятие вещественного числа принадлежит к основным понятиям математического анализа. Средняя школа не дает учащимся достаточного представления о вещественных числах и их свойствах. Поэтому естественно было бы начинать изучение математического анализа с расширения и углубления школьных знаний о числе. Однако теория вещественных чисел сама по себе является далеко не простой. Хотя существуют различные подходы к построению теории вещественных чисел (метод сечений, определение вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей и др.), но каждый из них на первых порах работы по математическому анализу, притом заочно, может вызвать значительные затруднения. Здесь для облегчения первоначального знакомства с вещественными числами мы ограничимся краткими сведениями о них, не претендуя на полноту и строгость. Считаем, что этих кратких сведений достаточно для успешной работы над последующими главами. Если же читатель пожелает изучить теорию вещественных чисел более глубоко и полно, то это можно сделать, например, по рекомендованной нами книге Г. М. Фихтенгольца [1].

Параграфы, посвященные свойствам абсолютных величин, а также понятиям о границах множеств, о сегментах, интервалах и окрестностях, следует рассматривать как вспомогательный материал для последующих глав.

§ 1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА

Понятие множества также принадлежит к числу основных понятий математического анализа. Оно не поддается определению через более простые понятия и может быть лишь описано или пояснено на примерах.

Под множеством будем понимать собрание, совокупность^ коллекцию некоторых предметов, объединенных по какому-то определенному признаку. Так, можно говорить о множестве всех натуральных (целых положительных) чисел, о множестве только четных или только нечетных чисел. Все рыбы, находящиеся в водных бассейнах нашей планеты, также составляют определенное множество. Можно, конечно, рассматривать множества рыб определенного вида, возраста, размера и т. д. Примерами множеств могут служить также множество корней данного уравнения, множество всех многочленов, множество чисел, кратных 3, множество целых чисел, больших числа 10 и меньших числа 100; множество стульев в данной аудитории, множество букв данного алфавита и т. п.

Предметы, составляющие данное множество, называют его эле* ментами.

Если имеем какое-то определенное множество, то относительно любого предмета верно одно и только одно из двух утверждений: либо этот предмет входит в данное множество в качестве его элемента, либо не входит.

Символическая запись

М = {х}

означает, что множество М состоит из элементов х. В этом случае под х понимают любой элемент множества М. В зависимости от того, что представляют собой элементы х, определяется и природа самого множества М: то ли это будет множество рыб, то ли стульев, чисел и т. д.

Если элементы множества можно обозначить отдельными символами, то их выписывают подряд, заключая также в скобки, например:

А = {a, Ь, с, d, е, f} или N~ { 1, 2, 3, ..., п, ...

В последнем множестве выписаны не все элементы. Однако достаточно ясно показано, что N есть множество всех натуральных чисел.

В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями: Запись х е М означает, что х является элементом множества /И, или х принадлежит множеству М — знак принадлежности).

Запись х еМ означает, что х не является элементом множества 7И, или хне принадлежит множеству Л1.

Так, например, если М есть множество четных чисел, то число 2еуИ, а число 3<=Л4.

Будем называть множество А подмножеством множества В или его частью и записывать Я сВ (или В =) Л), если каждый элемент множества А является также элементом и множества В (с: — знак включения). Так, если А — множество четных положительных чисел, а В —множество натуральных чисел, то Лей (или В о Л). Заметим, что в определении подмножества не исключается случай, когда А совпадает с В.