Основания арифметики (Демидов) 1963 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Основания арифметики (Демидов) 1963

Назначение: Рекомендовано Ученой комиссией ГУ ВУЗа Министерства просвещения РСФСР в качестве учебного пособия для физико-математических факультетов педагогических институтов

© "ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР " Москва 1963 

Авторство: И. Т. ДЕМИДОВ

Формат: PDF Размер файла: 9 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение  3

Глава Ь Натуральные числа

§ 1. Аксиомы Пеано в простейшие следствия из них  10

§ 2. Сложение натуральных чисел 12

§ 3. Умножение натуральных чисел 16

§ 4. Сравнение натуральных чисел по величине и действия с неравенствами 19

§ 5. Различные формы аксиомы полной математической ин¬дукции и их эквивалентность 23

§ 6. Индуктивное определение (построение) последователь¬ности : 28

§ 7. Сумма и произведение нескольких натуральных чисел 31

§ 8. Вычитание и деление натуральных чисел 38

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

 

§ 9. Возможность построения элементарной арифметики на основе аксиом Пеано 39

§ 10. Основные требования, предъявляемые к системе аксиом 43

Г л а в а 2. Целые числа

§11. Множества с операциями для элементов . 58

§ 12. Расположенные кольца и поля 63

§ 13. Изоморфизм множеств с операциями. Расширение ко¬лец, полей и других множеств с операциями. Разбиение множества на классы   66

§ 14. Построение кольца классов пар натуральных чисел . . 71

§ 15. Сравнение классов пар натуральных чисел по величине 78

§ 16. Построение кольца целых чисел . 79

Г л а в а 3. Рациональные числа

§ 17. Построение поля классов пар целых чисел 81

§ 18. Сравнение классов попарно эквивалентных дробей и

действия с неравенствами    87

§ 19. Построение поля рациональных чисел 89

Г л а в a 4. Действительные числа

§ 20. Фундаментальные последовательности и их свойства . 95

§ 21. Свойства фундаментальных последовательностей рацио¬нальных чисел   98

§ 22. Система аксиом, определяющих поле действительных чисел 107

§ 23. Интерпретация системы аксиом поля действительных чисел   107

§ 24. Поле действительных чисел как расширение поля раци¬ональных чисел 112

§ 25. Приближение действительных чисел систематическими дробями 114

§ 26. Полнота системы аксиом поля действительных чисел . 121

§ 27. Скалярная положительная величина и ее измерение . . 124

Глава 5. Комплексные числа

§ 28. Поле комплексных чисел 131

§ 29. Кватернионы   137

§ 30. Векторные пространства и алгебры 144

Литература 157

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Основания арифметики (Демидов) 1963 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 ВВЕДЕНИЕ

Основания арифметики — раздел математики, в котором изучаются числа, их основные свойства и построение различных классов чисел.

Понятие числа является одним из основных понятий ма¬тематики. Исторически это понятие возникло еще в глубо¬кой древности в результате практической деятельности человека. Для подсчета количества добычи, для измерения земельных участков, для определения вместимости сосудов, для ведения счета времени и для решения многих других вопросов настоятельно требовалось введение понятия числа.

На первых порах понятия отвлеченного числа не сущест¬вовало. Первоначально «счета представлял собой сравнение данной совокупности предметов с какой-нибудь заранее известной совокупностью (совокупностью пальцев на ру¬ках, узлов на ремне, отметок на палке и т. д.), т. е. вместо понятия отвлеченного числа было понятие конкретного множества предметов, которое служило эталоном счета. Например, вместо того чтобы сказать, что данная сово¬купность содержит пять предметов, говорили, что предме¬тов столько же, сколько пальцев на руке; путешествие про¬должалось столько дней, сколько отметок сделано на палке, и т. д. Затем постепенно в течение длительного времени воз¬никает понятие отвлеченного числа как количественной ха¬рактеристики всех совокупностей, обладающих некото-рым свойством, совершенно не зависящим от качественной характеристики предметов этих совокупностей.

В XIX веке немецким математиком Кантором была построена теория множеств, которая позволила исследо¬вать понятие натурального числа, сравнение натураль-ных чисел по величине и действия над этими числами.

Множество и элемент множества Кантор описывает следующим образом: «Под «множеством» мы по¬нимаем любое объединение в одно целое М определенных

вполне различаемых объектов т из нашего восприятия или мысли (которые называются «элементами» М)»* .

Множество есть понятие первоначальное, т. е. понятие, принимаемое в математике без определения. Слова Кантора, приведенные выше, являются описанием понятия множест¬ва. Множество называют также совокупностью, классом, системой, комплексом, обла¬стью. Например, можно говорить о множестве всех на-туральных чисел, множестве букв в данном слове, множест¬ве всех букв, напечатанных на данной странице, и т. д.

Говорят, что между элементами множеств М и М уста¬новлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу tn из М по некоторому правилу поставлен в соот¬ветствие элемент т из М, причем каждому элементу из М соответствует один, и только один, элемент из М, и, обрат¬но, каждый элемент из М соответствует одному, и только одному, элементу из М. Множества Л! и М, между эле-ментами которых можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными или равномощными.

Пять пальцев на руке, пять букв в слове школа, пять фигур на плоскости представляют собой качественно различные множества, но все они имеют то общее, что меж¬ду элементами любых двух из них можно установить взаим¬но однозначное соответствие (черт. 1). Указанные множест¬ва эквивалентны (равномощны) между собой.

Таким образом, понятие натурального числа возникло из необходимости вести счет конкретных предметов. Отвле¬ченное число получается как результат отвлечения (аб¬стракции) от конкретных множеств предметов. Натураль¬ное число рассматривается как количественная характерис¬тика, общая всем эквивалентным между собой множествам. Все попарно эквивалентные между собой конечные мно-жества (и только эквивалентные) имеют одну и ту же ко¬личественную характеристику, называемую «числом эле¬ментов» каждого из этих множеств. Если два множества не эквивалентны, то и числа их элементов различны.

«Понятия числа и фигуры, — писал Энгельс, — взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Де¬сять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. про¬изводить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного твор¬чества разума. Чтобы считать, надо иметь не только пред¬меты, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть ре¬зультат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития» (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1952, стр. 37).

С развитием письменности для обозначения натураль¬ных чисел вводятся знаки. Теперь в нашем распоряжении имеются десять таких знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых мы можем записать любое на¬туральное число. Но чтобы прийти к такой возможности, потребовалось долгое историческое развитие обозначений чисел и правил счета.

Развивающаяся человеческая практика требовала и рас¬ширения понятия числа. Потребность производить изме¬рения величин привела к необходимости ввести дробные числа. Дальнейшее расширение понятия числа обусловли¬вается не только в результате практики, но и в результате развития самой математики.

Развитие алгебры потребовало ввести отрицательные числа. С введением отрицательных чисел и нуля получено множество рациональных чисел, в котором появилась неогра¬ниченная возможность производить над числами действия сложения, умножения, вычитания и деления, кромеделения на нуль.

В XVII веке Декартом было дано геометрическое истол¬кование рациональных чисел, после чего отрицательные числа прочно вошли в европейскую науку.

В алгебре появились вопросы, для решения которых ра¬циональных чисел оказалось недостаточно. Например, нет

рациональных чисел, удовлетворяющих уравнениям х* — — 2 = 0 и х® + 2 = О. Потребовалось дальнейшее рас¬ширение понятия числа. Для решения первого уравнения необходимо было ввести иррациональные числа, а для ре¬шения второго- уравнения — мнимые числа. Числа, удов¬летворяющие какому-нибудь уравнению

аохП +ei + • •• +ал~0 (1)

с рациональными коэффициентами, называются алгеб¬раическими числами. Алгебраических чисел доста¬точно для решения любого уравнения вида (1) не только с рациональными коэффициентами, но и с любыми алгебраи¬ческими коэффициентами, однако их недостаточно для из¬мерения величин. В элементарной геометрии часто прихо¬дится иметь дело с числом я (отношением длины окружнос¬ти к длине ее диаметра). Эйлер высказал предположение, чточислол не является корнем никакого уравнения вида (1) с рациональными коэффициентами, т. е. это число неалгеб¬раическое. Для неалгебраических чисел было введено наз¬вание — трансцендентные числа. Существо¬вание трансцендентных чисел было строго доказано в се¬редине XIX века французским математиком Лиувиллем. В 1882 году немецкий математик Линдеман доказал, что число я является трансцендентным числом. Это оконча¬тельно решило вопрос о невозможности построения с по¬мощью циркуля и линейки квадрата, площадь которого равна площади данного круга (квадратура круга). Эта задача интересовала математиков на протяжении многих веков. В теории множеств легко устанавливается, что тран¬сцендентных чисел, в известном смысле, больше, чем всех алгебраических чисел (алгебраических чисел счетное мно¬жество, а трансцендентных — несчетное множество).

Фундаментом, на котором строится математический анализ, является теория пределов, которая не может быть построена строго без теории действительных чисел (мно¬жества, состоящего из всех рациональных и всех иррацио¬нальных чисел).

В XVIII веке было дано геометрическое истолкование комплексного числа, после чего и мнимые числа перестали быть «воображаемыми» числами. Теперь комплексные числа имеют многочисленные применения как в самой математи¬ке, так и в технических дисциплинах (аэромеханике и др.).

Попытки дальнейшего расширения понятия числа при¬вели к построению множества кватернионов, ко¬торые также нашли применение в науке.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ

Аксиоматическое построение какой-либо математической теории начинается с перечисления некоторых объектов, изучаемых этой теорией, и некоторых отношений (связей, соотношений) между ними. Эти объекты и отношения на-зываются основными (неопределяемыми, первона¬чальными, исходными) понятиями рассматривае¬мой теории. Каждое понятие, которого нет в списке основ-ных понятий, должно быть строго определено.

Определением называется предложение, в ко¬тором раскрывается содержание нового понятия, т. е. ука¬зываются существенные признаки этого понятия. Обыч¬ный прием определения состоит в указании:

1) ближайшего рода, т. е. множества объектов (предме¬тов), к которому относится это понятие,

2) видового отличия, т. е. признаков, которые отличают определяемое понятие от других понятий этого множества.

Пример определения: треугольник, имеющий две рав¬ные стороны, называется равнобедренным тре¬угольником.

В этом определении понятия «равнобедренный треуголь¬ник» ближайшим родом является множество всех треуголь¬ников. Видовым отличием служит указание, что треуголь¬ник должен иметь две равные стороны.

Очевидно, прежде чем дать такое определение, нужно знать, что такое треугольник, что такое сторона треуголь¬ника и какие его стороны называются равными. Всем этим понятиям тоже надо дать определения, т. е. свести их к еще ранее установленным понятиям. Процесс такого сведения не может продолжаться неограниченно, поэтому и прихо¬дится некоторые понятия принимать совсем без опреде¬лений. Такие понятия и перечисляют в начале изложения теории в качестве основных. Смысл основных понятий мож¬но истолковать на некоторых конкретных множествах, но при аксиоматическом построении теории (в целях наиболь¬шей возможности ее применений) этого не делается.

Вслед за основными понятиями формулируются основ¬ные предложения (аксиомы), которые принимаются без доказательства в данной .теории.

Аксиомами называются исходные (первоначаль¬ные) предложения, на основе которых доказываются дру¬гие предложения (теоремы) данной теории.

В аксиомах дается описание отношений (связей, соотношений) между основными понятиями или утверждает¬ся существование некоторого основного объекта. Система аксиом является неявным определением основных понятий, т. е. она дает возможность из определенных вне этой тео¬рии понятий выделить те, к которым применима данная ак¬сиоматическая теория. Каждое предложение рассматрива¬емой теории, которого нет в списке аксиом, должно быть выведено (доказано) как следствие из аксиом и ранее вы¬веденных (доказанных) предложений (теорем). Сами же аксиомы принимаются без доказательства в рассматрива¬емой теории потому, что для их доказательства в этой тео¬рии нет исходного «материалам В данной аксиоматической теории аксиомы не доказываются, но отсюда не следует, что их можно формулировать произвольно. Аксиомы поя¬вились в результате многовековой практической деятель¬ности людей, и этим обусловливается справедливость аксиом.

В аксиоматической теории перечисляются основные по¬нятия и аксиомы, но обычно не дается никаких указаний относительно логических средств, при помощи которых при¬дется развивать эту теорию, т. е. не дается указаний, как делать выводы из этой системы аксиом. Если в рассматри¬ваемой теории, кроме аксиом и неопределяемых понятий, даются также и правила вывода, с помощью которых мож-но получать новые предложения (теоремы) этой теории, то такая теория называется дедуктивной тео¬рией. По мере развития дедуктивной теории запас пра¬вил расширяется, так как каждое новое предложение, ко¬торое уже доказано, можно сформулировать в виде правила вывода, пригодного для получения новых теорем.

Значение дедуктивного метода (кроме установления свя¬зей между предложениями данной теории) состоит в том, что в тех науках, где он применим, нет необходимости про¬верять на практике все выводы данной теории; достаточно проверить только правильность исходных положений и при¬менимость правил вывода в данной науке. Так, например, в множестве всех векторов на плоскости, сложение которых производится по известному правилу «треугольника», вы-полняются все аксиомы коммутативной группы по сложению (см. § 11), поэтому мы можем утверждать без допол¬нительной проверки, что в этом множестве справедливы и все выводы, вытекающие из указанной системы аксиом.

Аксиоматический метод в математике применялся уже в древние времена, о чем говорят знаменитые «Начала» Ев¬клида. Особенно большую роль в развитии геометрии сыг¬рал 5-й постулат Евклида, который гласит: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых»*. В течение многих веков математики пытались доказать этот постулат, т. е. получить его в виде следствия из других предложений Евклида, не зависимых от 5-го постулата. Н. И. Лобачевский созда¬нием своей геометрии в 1829 году показал впервые, что 5-й постулат Евклида не является таким следствием.

С современной точки зрения система аксиом и постула¬тов в «Началах» Евклида далека от совершенства. После открытия Лобачевским неевклидовой геометрии и иссле¬дований французского математика Галуа в алгебре роль аксиоматического метода в математике начала быстро воз¬растать. Появились геометрические и алгебраические тео¬рии, которые строились на основе аксиоматического ме¬тода. В самом конце XIX века были разработаны система аксиом итальянского математика Пеано для арифметики и система аксиом немецкого математика Гильберта для гео-метрии.

• «Начала Евклида», книги 1—6, ГТТИ, 1948, стр. 15.

 

С этой книгой читают

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика