Математика для детей - Третий год обучения (Волковский) 1926 год - старые учебники

Сложение целых чисел любой величины 22

Сложение составных именованных чисел 24

Сложение десятичных дробей 25

Сложение обыкновенных дробей 26

Вычитание.

Вычитание целых чисел 27

Вычитание составных именованных чисел 30

Вычисление времени 31

Вычитание десятичных дробей 33

Вычитание обыкновенных дробей 36

Изменение величины (изменение суммы и разности) 37

III. Основная тема: наш город (Москва) 38

IV. Основная тема: город и деревня 53

Умножение целых чисел (один из сомножителей — однозначное число) . —

Нахождение целого по одной части его 54

Умножение десятичной дроби на целое однозначное число 55

Умножение обыкновенных дробей 56

Деление целого многозначного числа на целое однозначное 57

Вычисление нескольких частей числа 60

Вычисление целого по нескольким частям его 61

Деление десятичной дроби на целое однозначное число 62

Стр.

Умножение целых чисел на 10, 100, 1000 . 65

Деление целых чисел на 10, 100, 1000 66

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 68

Раздробление метрических мер 70

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 —

Превращение метрических мер 74

Один или оба сомножителя — значащие цифры с нулями —

Умножение десятичной дроби на значащую цифру с нулями 76

Деление целого числа на значащую цифру с нулями . . . * 77

Деление десятичной дроби на значащую цифру с нулями . ....... 79

Один из сомножителей—любое двузначное число 80

Раздробление составных именованных чисел 82

Нахождение нескольких процентов числа 84

Сокращенный прием нахождения некоторых процентов 86

Делитель — любое целое двузначное число 88

Нахождение целого по нескольким процентам 91

Умножение десятичной дроби на любое целое двузначное число .... 93

Деление десятичной дроби на любое целое двузначное число 94

Превращение именованных чисел 95-

Деление именованных чисел (деление на части) 97

Деление именованных чисел (деление — измерение) 98

Деление обыкновенных дробей на целое число (деление на части) ... 101

Деление целого на целое, когда частное — дробное число 104

Масштаб 108

Измерение поверхностей 108

Измерение площадей сложных прямоугольных фигур 112

Углы —

Треугольник 114

Площадь косоугольных четыреугольников (параллелограма и трапеции) 118

Превращение квадрата в прямоугольник, параллелограм, треугольник н трапецию 128

Измерение поверхности куба . 124

Измерение объема куба 126

Кубические меры ... * 127

Квадратная призма 131

Прямоугольная призма 133

Вычисление поверхности призмы 134

Вычисление объема квадр. и прямоугольн. призмы 135

V. Основная тема: наш край 139

Сомножители любые многозначные числа —

Особые случаи умножения 141

Умножение составных именованных чисел . . —

Деление целого числа на любое многозначное целое число 143

Особые приемы деления 144

Задачи с буквой х 145

Прицепное отношение 146

Масштаб.

1. Для небольшой крестьянской семьи размер длины здания для жилища можно взять двор’ в 8 ж. Начертите эту длину в тетради прямой линией в уменьшенном виде, считая каждый метр за сантиметр. Какой длины будет начерченная прямая? Во сколько раз она будет меньше длины дома?

2. Измерьте длину двора метрами и начертите эту длину в тетради в уменьшенном виде, принимая метр за миллиметр. Во сколько раз она будет меньше длины двора?

3. Эта уменьшенная мера, обыкновенно обозначаемая на особой линейке, называется масштабом. Если каждый метр настоящей длины обозначается на чертеже одним сантиметром, то эта длина уменьшается в 100 раз, и тогда говорят, что эта длина начерчена в масштабе 1:100. Изображая на бумаге каждый метр миллиметром, мы уменьшаем линию на чертеже в 1000 раз, т.-е. чертим ее в масштабе 1:1000.

4. На бумаге начерчены линии длиною в: а) 5 мм, б) з,4 см, в) 2~ дм. Какая настоящая длина начерченных линий, если они изображены в масштабе 1:1000? 1:500? 1:250?

5. На земле отмерен прямоугольник длиною 40 м, а шириною 15 м. Начертите на бумаге прямоугольник длиною 40 мм и шириною 15 мм. Прямоугольник, отмеренный На земле, и прямоугольник, начерченный на бумаге в масштабе 1:1000, похожи друг на друга, или, по-другому оказать, подобны ДРУГ другу.

6. Отмерьте на земле какой-либо прямоугольник и начертите на бумаге прямоугольник, подобный ему. Этот начерченный на бумаге прямоугольник, подобный выделе иному на земле

прямоугольному участку, называется планом этого участка.

7. Начертите план какого-либо прямоугольного двора, принимая каждые 5 м за сантиметр.

а) На этом рисунке изображен план огорода, примыкающего ко двору.

Под планам изображен масштаб. Масштаб составлен в размере: 1 ле = 1 см. Масштаб разделен на 4 равные части (сантиметра). Каждая часть соответствует 1 метру. Одна (левая) часть разделена на 10 равных частей (миллиметров) с тою целью, чтобы принять во внимание и более мелкие части, чем метр, а именно: дециметры, б) По масштабу при этом плане найдите площадь всего огорода и периметр участка, занимаемого каждым растением.

8. По примеру этого нарисуйте план своего двора с указанием помещения для лошади, коровы, овец, свиней, земле-дельческих орудий и телег, и составьте масштаб его.

9. Найдите план своего села или города. По масштабу при плане вычислите действительные размеры разных рас-стояний.

Измерение поверхностей.

1. Припомните, как вы измеряли и вычисляли площади предметов, имеющих форму прямоугольника и квадрата.

2. Квадратные метрические меры.

1 кв. JW = (10*10) 100 кв. дм

1 кв. дм = (10*10) 100 кв. см

1 кв. см = (10*10) 100 кв. мм

1 кв. км = ( 1000 *1000) 1 000000 кв. М

Ар = (10* 10) 100 кв. м

Гектар = 100 арам.

3. Русские и метрические квадратные меры. (Приблизительное взаимоотношение мер.)

1 кв. сажень = 4’/а кв. метрам

1 кв. аршин = J/2 кв. метра

1 кв. фут= Vio кв- метра 1 кв. вершок = 20 кв. сайт.

1 кв. дюйм = в*/2 кв. сайт.

4. Чтобы учащиеся яснее представляли метрические квадратные меры, полезно связать эти меры с какими-либо хорошо знакомыми детям предметами. Так, можно сказать, что: квадратный километр— это площадь села, гектар — это почти десятина, площадь квартала города, ар—это площадь пола большой классной комнаты, квадратный метр— это площадь классной доски, квадратный дециметр—это четвертая часть страницы тетради или же поверхность ладони взрослого человека от начала кисти до пальцев, квадратный сантиметр — это поверхность ногтя, квадратный миллиметр — это кончик спички.

5. В начерченном прямоугольнике сторона ВГ (ве-ге) (нижняя) — длина — обыкновенно называется основанием прямоугольника, другая

сторона (боковая вертикальная) — ширина АВ J «-}.

(а-ве) или БГ (бэ-ге)—высотою прямоугольника.

6. Поэтому, вместо того, чтобы сказать: „чтобы найти плотпадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину”, обыкновенно говорят: „чтобы найти плошадь прямоугольника, надо его основание умножить на высоту*.

» - 7. Сколько клеточек в продольной

г II [идущей по стороне (же-зэ ] полосе? (4.) Сколько продольных полос? (3.) Как узнать, сколько квадратных клеточек во всем прямо-

12. Вычислите площадь квадрата, сторона которого 75 с.м, в квадратных дециметрах. ч

13. Выразите площадь квадрата, сторона которого 57 см, ; в квадратных дециметрах, записав ответ десятичной дробью.

14. Периметр квадратного выгона 3 600 м. Как велика площадь этого выгона?

15. Найдите площадь прямоугольника: а) основание которого J 8Va ел/, высота 4 см; б) основание которого 5 см, высота 21/3 см. '

16. Измерьте и вычислите площади: а) классной доски, б) пола, в) стен, i) двери, д) окон с точностью до десятых долей метра, т.-е. чтобы один из сомножителей был десятичной дробью с десятыми долями. /

17. Измерьте и вычислите площадь: а) страницы тетрадки, б) страницы книжки по математике о точностью до сотых долей метра, т.-е. чтобы один из сомножителей был десятичною дробью с сотыми долями.

18. Общий размер здания для небольшой семьи можно взять . в 4 саж. длины и з саж. ширины; высота комнат не ниже 4 арш. Выразите: а) площадь пола, стен, потолка в метрических мерах; б) вместимость комнаты в метрических мерах (1 саж. = 2 м 13 см; 1 арш. = 71 см).

19. Вышина дверей делается до з арш., ширина —до 13/4. Выразите площадь двери в метрических мерах (см. задачу № 18).

Сравнение площадей и периметров двух ква- ; дратов и двух прямоугольников.

20. а) Во сколько раз сторона квадрата I больше стороны квадрата 2? Во сколько раз площадь квадрата I больше • площади квадрата 2? Во сколько ; раз периметр квадрата I больше периметра квадрата 2? -1

6) Сравните стороны, площади и периметры квадратов lit 4 и 4, V и 6.

5

21. а) Сторона одного квадрата равна 5 см, сторона другого } в 2 раза больше. Во сколько раз площадь второго квадрата j больше площади первого квадрата? ,

б) Сторона одного квадрата 4 см, сторона другого в з раза больше. Во сколько раз площадь второго квадрата больше j площади первого квадрата? J

в) Сторона одного квадрата 2 см, сторона другого в 4 раза больше. Во сколько раз площадь второго квадрата больше площади первого квадрата?

г) Если имеются два квадрата, при чем сторона одного в 5 (6, 7, 8, 9, 10) раз больше стороны другого, то во сколько раз площадь одного квадрата больше площади другого квадрата?

22. а) Найдите площадь и периметр прямоугольника, длина которого 6 см и ширина 4 см.

б) Что сделается с площадью и периметром прямоугольника, если: 1) одну из сторон его увеличить в 2 раза? 2) одну из сторон уменьшать в 2 ®за? з) обе стороны увеличить в 2 раза? 4) обе стороны уменьшить в 2 раза?

23. Рассмотрите эти прямоугольники и скажите, площадь которого из них больше.

Такие прямоугольники, длина и ширина которых разные, а площади одинаковые, называются равновеликими.

24. Надо выкрасить две доски: длина одной 8 дм, а ширина 5 дм, длина другой 1 .м, а ширина 4 дм. На какую доску пойдет больше краски? '

25. У крестьянина два прямоугольных участка земли; размеры одного участка 80 саж. и 30 саж., у другого 60 саж. и 40 саж. Площадь какого участка больше? Как называется такой участок земли? Вычислите, сколько будет квадратных сажен в гектаре, зная, что гектар меньше десятины почти на 1/10.

26. Можно ли назвать десятиной такой прямоугольный участок земли, размеры которого 100 оаж. и 24 саж. пли же 50 саж. и 48 саж?

27. Начертите 2 прямоугольника: длина одного 10 см, а ширина 1 см, длина другого 5 см, а ширина 2 см. Найдите площадь и периметр каждого прямоугольника.

’ _ 1) 1 • 12 = 12 (кв см — площадь); 2) (1 1) 4- (12 +12)= = 26 (см — периметр).

2) 2-6 = 12 (кв. СМ— ПЛ0щадь). (2 +2)4-(64-6) = 16

—————— (см—периметр).

————’ 3) Пусть каждая клетка

равна 1 кв. см. Вычислите площадь и периметр каждой из этих трех фигур.

28. Начертите 4 равновеликих прямоугольника так, чтобы площадь каждого равнялась 24 кв. см. (От перемножения каких двух чисел может получиться число 24?) Найдите периметр каждой фигуры. Из этих 4 фигур с одинаковой площадью периметр какой фигуры больше?

29. Из нескольких прямоугольников с одинаковой площадью у какого прямоугольника будет наименьший периметр? (У того прямоугольника, фигура которого ближе подходит к форме квадрата.)

30. Начертите два прямоугольника: длина одного 4 см, а ширина 1 см, длина другого з см, а ширина 2 см. Найдите периметр и площадь каждого прямоугольника.

31. а) Пусть каждая клетка каждой из этих

фигур равна 1 кв. см. Найдите периметр и площадь каждой из этих фигур, б) Из этих трех фигур с одинаковым периметром площадь какой фигуры больше?

32. Из нескольких прямоугольных фигур с одинаковым периметром у какой фигуры будет больше площадь? (У фигуры, которая ближе подходит к форме квадрата.)

' 33. Детям 3-й школьной группы под огород

отведено земли 64 кв. м.

а) Какую форму должен иметь этот огород, чтобы на него пошло меньше изгороди, т.-е. чтобы периметр его был наименьший?

б) Какие могут быть в целых числах стороны, площадь и периметр у огорода?

Площадь:

1.64 = 64 кв. м в) Начертите план каждого из этих прямо- 2 • 32 = 64 кв. м угольников в масштабе 1:100, разделите, каждый 4 -16=64 кв. м прямоугольник на кв. см.

8 • 8 = 64 кв. м г) Из таблицы под буквой б и чертежей вы увидите, что меньше изгороди пойдет на тот огород, каждая сторона которого 8 м, т.-е. на тот огород, который имеет форму квадрата.

34. а) Цветник, имеющий форму прямоугольника, дети захотели огородить веревкой, которой у них было 16 .м. Какой длины надо взять стороны прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшая?

б) Какие могут быть в целых числах стороны цветника, его периметр и площадь?

НО

в) Стороны могут быть: 1) ширина 1 м, длина 7 Sr, 2) ширина 2 м, длина 6 м; з) ширина 5 м, длина 3 м; 4) ширину и длина по 4 м.

г) Начертите план каждого из этих прямоугольников в масштабе 1:100, разделите каждый прямоугольник на квадратные сантиметры.

д) Из длины сторон (см. букву в) и из чертежей вы увидите, что из всех четырех прямоугольников с одним и тем же периметром наибольшая площадь будет у такого прямоугольника, сторона которого равна 4 м, т.-е. у квадрата.

35. Под садик надо отвести прямоугольный участок земли, площадь которого равнялась бы 100 кв. м. Какую форму удобнее придать садику, чтобы на него пошло меньше изгороди, т.-е. чтобы периметр его был наименьший? (От перемножения каких двух чисел получается число 100?) Найдите периметр каждого из пяти прямоугольных участков.

36. Под пашню надо отвести участок земли, периметр которой равнялся бы 200 м. Какую фигуру лучше придать пашне, чтобы площадь ее была наибольшая? Скольким арам будет равна площадь этой пашни? (200:4...) Объясните решение этой задачи.

37. Под дом крестьянин хочет отвести площадь земли в 81 кв. м. Какую фигуру удобнее придать этой площади, чтобы на постройку дома пошло наименьшее количество материала? Чему будет равен периметр этой площади?

38. Пол комнаты длиною 18 м, а шириною 10 ж покрыт коврами длиною 4 ж, а шириною з м каждый ковер. Сколько пошло ковров?

39. Мост имеет в длину 30 .у, в ширину 4 я. Сколько надо для его настилки досок длиною 8 м, шириною ’/4 ж?

40. Пол комнаты имеет вид квадрата, стороны которого 12 ж. Сколько надо досок длиною 4 м, а шириною 25 см, чтобы замостить этот пол?

41. а) Длина классной комнаты 12 ж, ширина &/2 м! В классе учится 50 детей. Какая площадь пола приходится на одного учащегося? Какова должна быть площадь окон этой комнаты, если она должна составлять не менее 1/5 площади пола? б) По образцу этого обследуйте свой класс, свое домашнее помещение. у

42. Надо выкрасить стену длиною 20 м, вышиною 5 ж; в ней 8 окон шириною 1 ж, вышиною 2 ж; за окраску квадратного метра берут 60 коп. Сколько стоит окраска стен?

43. Чему равна площадь квадратного участка огорода, если периметр его 200 .«?

44. На заграждение в один ряд прямоугольного огорода длиною в 60 м употреблено 180 м колючей проволоки. Найдите площадь этого огорода.

45. Участок земли имеет вид прямоугольника длиною 1 км 200 м, шириною в 2 раза меньше. Сколько стоит участок, если гектар его ценится в 100 руб.?

46. Периметр прямоугольного поля 2 км, длина поля 600 м. Сколько аров в поле? Сколько гектаров?

47. Квадратный участок леса я обошел в 20 мин., проходя по 60 м в минуту. Сколько гектаров в нем?

48. У крестьянина две прямоугольных полосы земли, каждая в обход имеет 400 м. Которая из полос больше и насколько, если длина первой 120 м, второй 90 м?

49. Сторона квадратной пашни 50 м. Сколько надо семян клевера, чтобы засеять этот участок, если на 1 га высевается 18 кг клевера?

Измерение площадей сложных прямоугольных фигур.

1. а) Составьте из этой фигуры (черт. 1) 3 пря-моугольника и вычислите площадь всей фигуры.

б) Вычислите площадь этой фигуры, не разбивая ее на прямоугольники.

Черт. 1.

1) 20*15 = 300; 2) 10*10 = 100...

2. Вычислите площадь правого участка земли: 1) путем сложения площадей, й) путем вычитания их.

План этого участка составлен в масштабе

3. Вычислите площадь этого земельного участка (черт. 3)по масштабу 1:3000.

4. Вычислите площадь этого участка (черт. 4) по масштабу 1:250.

Черт. 4.

Углы.

1. а) Возьмите 2 спички и приставьте их друг к другу так, чтобы образовался прямой угол. Покажите сторону и вершину этого угла.

б) Придвиньте стороны друг к другу: образовался косой угол. /

в) Какой угол больше — прямой или /

этот косой (см. черт.)? Покажите стороны и вершину косого угла.

2. а) Возьмите две спички и составьте прямой угол. Отодвиньте стороны прямого угла друг от друга: образовался косой угол.

б) Какой угол больше — прямой, или этот косой (см. черт, под буквой „в“)? Покажите стороны и вершину косого-угла.

х 3. Косой, угол, меньший прямого,

\ называется острым углом. Косой

угол, больший прямого, называется I—— тупым углом.

4. Покажите в классе прямые, острые и тупые углы.

5. Постройте из двух карандашей острый, прямой и тупой углы.

6. Начертите прямой, острый и тупой угол.

7. Назовите и покажите каждый из начерченных 9 углов:

8. Начертите: а) 2 острых угла с одинаковыми сторонами» но разной величины; б) 2 тупых угла с одинаковыми сторонами, но разной величины.

9. а) Возьмите складной метр: раздвиньте его стороны так, чтобы получился прямой угол. Сделайте стороны того же угла длиннее; увеличился ли угол? Почему не увеличился? (Потому что мы не раздвигали стороны угла.) б) Сделайте стороны того же угла короче; уменьшился ли угол? Почему не уменьшился? (Потому что мы не сближали стороны угла.)

10. а) Начертите на доске острый угол; укоротите его стороны; что сделалось о углом? б) Начертите в тетрадях тупой угол; удлините его стороны; что сделалось с углом?

11. а) Начертите острый угол с длинными сторонами, а прямой угол с короткими сторонами; какой из углов больше? о) Начертите. Прямой угол с длинными сторонами, а тупой угол с короткими сторонами; какой из углов меньше?

12. Если стороны угла удлинить или укоротить, то от этого угол не сделается ни больше, ни меньше.

8 Математика для детей. 3-й год обучения.

113

13. Малка, а) Раньше вы познакомились с наугольниками, при помощи которых столяры и слесаря проводят прямые углы (см. ч. П моей „Математики для детей", стр*. 133).

Кроме этих наугольников, столяры и слесаря для проведения углов разной величины употребляют раздвижной (складной) наугольник, или мал- к у. Прибор малка состоит из двух металлических или деревянных линеек, соединенных шарниром (см. черт.).

Чтобы построить на доске угол, равный данному, накладывают малку на данный угол так, чтобы внутренние края линеек шли по сторонам угла АБ и АВ, а затем, не сближая и не раздвигая линеек, переносят малку туда, где надо начертить угол, и проводят по внутренним краям линеек прямые линии.

б) Как сделать ч м а л к у самим? Сделайте из дерева или картона 2 линейки, скрепите их у одного конца гвоздиком или булавкой так, чтобы линейки можно было свободно раздвигать и сдвигать.

в) У п р а ж и е н и е. Начертите на бумаге несколько углов (прямой, острый и тупой), отмерьте их малою и вычертите их на материал.

Треугольник.

Участки земли нередко имеют форму треугольников. Чтобы измерить такие участки, надо уметь измерять площади треугольников. Прошлый год вы немного познакомились с этим. Теперь займемся более подробным изучением треугольников.

1. Вы уже познакомились с прямоугольным треугольником. Начертите прямоугольный треугольник, а) Покажите углы и скажите, какие углы у него? сколько прямых углов? 4 сколько острых? есть ли тупые углы?

б) Покажите стороны, между которыми находится прямой угол. Эти стороны называются катетами. Покажите и назовите катеты у начерченного здесь треугольника (АБ и БВ). Покажите

сторону, которая лежит против прямого Я ° угла. Эта сторона называется гипотенузой. Покажите и назовите гипотенузу у начерченного здесь треугольника (АВ).