Практикум по решению задач школьной математики выпуск IV - Геометрия (Литвиненко) 1982 год - старые учебники

Задачи для самостоятельного решения (№ 39—66) .... 65

§ 8 Площади  68

Задачи для самостоятельного решения (№ 67—94) .... 72

Глава П1. Стереометрия     75

§ 9 Геометрические построения в пространстве   —

Задачи для самостоятельного решения (Ns 95—134) ... —

§ 10 Скрещивающиеся прямые. Угол прямой с плоскостью ... 82

Задачи для самостоятельного решения (Ns 135—162) ... 90

§ 11 Двугранные и многогранные углы ........... 92

Задачи для самостоятельного решения (№ 163—176) ... 96

§ 12 Сечения многогранников ............... 97

Задачи для самостоятельного решения (№ 177—209) . . . 109

§ 13 Поверхности  112

Задачи для самостоятельного решения (Ns 210—243) ... 122

§ 14 Объемы  125

Задачи для самостоятельного решения (Ns 244—286) ... 134

§ 15 Комбинации многогранников и круглых тел ....... 138

Задачи для самостоятельного решения (№ 287—340) ... 146

Приложение 1- Примерные варианты контрольной работы  151

Приложение 2. Параметраж изображений некоторых пространстве иных фигур  152

Ответы  153

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие представляет собой четвертый выпуск «Практикума по решению задач школьной математики». Оно написано в соответствии с действующей программой и предназначено для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов.

Приемы решения геометрических задач, и, в частности, задач школьного курса, рассматриваются в различных разделах курса геометр ни, изучаемого в педагогических институтах, где подробно разбираются, например, такие способы решения, которые используют параллельный перенос, поворот, симметрию, гомотетию, аффинное и проективное преобразования, координатный и векторный методы. Значительно меньше внимания уделяется традиционным методам. Это не могло не отразиться на подборе вошедших в практикум задач, которые в соответствии с программой относятся к следующим темам:

1. Геометрические задачи на плоскости.

2. Конструктивные задачи в пространстве.

3. Многогранники. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Двугранные, многогранные углы на многогранниках. Сечения многогранников.

4. Тела вращения. Комбинации геометрических тел.

Пособие содержит три главы. В первой главе затрагиваются вопросы общего характера, относящиеся к решению геометрических задач школьного курса математики. Здесь кратко напоминаются некоторые сведения о построении изображений фигур в параллельной проекции в связи с понятиями полного и метрически определенного изображений, приводятся примеры, иллюстрирующие подсчет параметрического числа полного изображения, примеры аффинных и метрических построений, рассматривается ряд общих приемов решения геометрических задач.

Глава вторая посвящается решению планиметрических задач, а в третьей рассматриваются задачи из стереометрии.

Структура пособия и его содержание во многом определяются спецификой заочного обучения, стремлением оказать студентам- заочникам действенную помощь в овладении практическими навыками решения геометрических задач. Дается необходимый теоретический материал, приводятся подробно разобранные типовые примеры и, наконец, предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Практикум по геометрии изучается на заочных отделениях в девятом семестре. Программой предусмотрено проведение контрольной работы н зачета. Варианты контрольных работ даются в Приложении 1. Указываемый в скобках номер, которым снабжены некоторые из задач, предлагаемых для самостоятельного решения, — это номер варианта контрольной работы.

При написании пособия была использована следующая литература:

1. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. 5-е изд. М., Наука, 1976.

2. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во втузы/ Под общ. ред. М. И. Сканави. 2-е изд. М., Высш, школа, 1973.

3. Вересова Е. Е., Д е н и с о в а Н. С., Полякова Т. Н. Практикум по решению математических задач. М., Просвещение, 1979.

Для подбора задач использовались также различные школьные учебные пособия л задачники, журналы «Математика в школе» и «Квант».

Некоторые задачи составлены автором.

Теоретические сведения в настоящем практикуме, естественно, пе систематизированы и приводятся лишь при необходимости. Более подробные разъяснения по теоретическим вопросам студент может найти, например, в следующих книгах:

1. Базылев В. Т., Д у н и ч е в К. И. Геометрия. М., Просвещение, 1975, ч. II.

2. А т а н а с я н Л. С., Г у р е в и ч Г. Б. Геометрия. М., Просвещение, 1976, ч. II.

3. Ч е т в е р у х и н Н. Ф. Изображения фигур в курсе геометрии. М., Учпедгиз, 1958. 

ГЛАВА I

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Если геометрическая задача не является задачей на построение, то ее решение, как правило, может быть выполнено по следующему плану:

1) построение изображения данной фигуры,

2) краткая запись условия задачи,

3) нахождение искомых величин (зависимостей) или доказательство некоторого утверждения,

4) исследование.

Рассмотрим более подробно содержание пунктов этого плана.

§ 1 Построение изображения данной фигуры

1°, В планиметрии изображением данной фигуры Фо, называемой оригиналом, считается любая фигура Ф, подобная фигуре Фп.

Так, если данная фигура Фо — прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 и 30 см, то его изображением можно считать любой прямоугольный треугольник с катетами, отношение длин которых равно 5 : 30, например прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 6 см.

Заметим, что на практике построить изображение данной фигуры даже с точностью до подобия не всегда просто. Так, если для решения задачи требуется построить изображение прямоугольного треугольника по заданным гипотенузе и биссектрисе одного нз острых углов, то, так как ни один из острых углов треугольника не известен, для построения изображения с точностью до подобия потребовалось бы выполнение некоторого вспомогательного построения, т. е., по существу, решение новой задачи. В таких случаях естественно попытаться решить поставленную задачу на «приближенном» чертеже и после того, как решение будет найдено, выполнять чертеж с точностью до подобия.

2°. Сложнее обстоит дело с построением изображения данной фигуры в стереометрии.

В начертательной геометрии летально разработаны различные методы построения изображений, в частности различные виды параллельного проектирования. Однако выполнение чертежей в какой- либо определенной параллельной проекции на уроках геометрии в средней школе по большей части просто не оправдано. При решении геометрических задач построение изображений фигур выполняется в произвольной параллельной проекции, т. е. положение оригинала относительно плоскости, на которую выполняется проектирование, и направление самого проектирования относительно этой

5 плоскости оставляются неопределенными. Возможность применения такого способа построения проекционного изображения следует из теоремы Польке — Шварца, в соответствии с которой любой плоский четырехугольник Л BCD вместе с его диагоналями может быть принят за параллельную проекцию тетраэдра, подобного тетраэдру AQB0C^D0 произвольной формы. По изображению, полученному при таком произвольном параллельном проектировании, оригинал восстановить нельзя, но при решении задач школьного курса геометрии этого делать и не требуется.

3°. К проекционным чертежам, выполняемым при решении задач в средней школе, предъявляются следующие требования:

1) изображение должно быть верным, т. е. должно представлять собой фигуру, подобную параллельной проекции оригинала;

2) изображение должно быть по возможности наглядным, т. е. должно вызывать пространственное представление о форме оригинала (в некоторых случаях от этого требования отступают. Об этом будет сказано ниже);

3) изображение должно быть легко выполнимым, т, е. правила построения должны быть максимально просты; обилие вспомогательных построений лишь затрудняет понимание содержания задачи.

Необходимо четко различать понятие верного и понятие наглядного изображения.

Верность изображения является строго определяемым математическим понятием, а понятие наглядности относится к числу субъективных, так как оно связано с индивидуальным восприятием изображаемой фигуры.

Так, все представленные на рисунке 1 (а, б, в, г) изображения —

это верные изображения куба. Однако наглядным нам представляется только изображение, показанное на рисунке 1, г. На рисунках I (д, е, ж, з) все изображения — это верные изображения правильной четырехугольной пирамиды. Наглядным же нам представляется только изображение на рисунке 1, з.

Чтобы изображение было верным, достаточно строить это изображение в соответствии с законами параллельного проектирования.

4°. С понятием верного изображения тесно связано понятие позиционной полноты изображения (или, короче, полноты изображения). Изображение фигуры Фо называется полным, если каждая точка До € Фо является заданной на проекционном чертеже.

Напомним кратко, как определяется это понятие.

Плоскость а, на которую проектируются изучаемые фигуры, называют проекционной плоскостью или плоскостью изображения (фактически это плоскость чертежа), а само проектирование на плоскость а называют внешним. Для построения изображения некоторой фигуры может быть выполнено либо центральное, либо параллельное проектирование. Говоря о внешнем проектировании, мы в дальнейшем будем иметь в виду только параллельное проектирование.

Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость л0, отличную от а, и некоторое непараллельное л0 новое направление параллельного проектирования; проектирование в этом направлении будем называть вспомогательным (параллельным). Для каждой точки До пространства построим точку До — проекцию точки До на плоскость л0 (вспомогательную проекцию), а затем обе точки: До и До — спроектируем на плоскость а (рис. 2, а).

Получим точки А и Д', которые называют соответственно про* екцией и вторичной проекцией точки До.

Соответствие А -> Д' на проекционной плоскости можно (разумеется, условно) рассматривать как некоторый род проектирования; его называют внутренним параллельным проектированием, так как оно осуществляется внутри плоскости изображения. Очевидно, что каковы бы ни были точки До, Во, Со, ... в пространстве, в пло-скости изображения будет: (ДД') || (ВВ') || (СС') || ... .

Под проекцией (изображением) пространственной фигуры понимают совокупность проекций всех ее точек.

Для получения проекции пространственной фигуры Фо (оригинала) в общем случае не является обязательным проектирование каждой из ее точек. Так, если Фо — многогранник, то он ограничен конечным числом граней (плоских фигур), каждая же грань ограничена ломаной, звенья которой — это ребра многогранника (отрезки). Каждое ребро, в свою очередь, ограничено парой вершин многогранника. Если найти проекции всех вершин многогранника, то тем самым будут определены проекции и всех его ребер, и граней, т. е. вообще проекция многогранника.

Точка До € Фо называется заданной на проекционном чертеже (короче: заданной), если известны ее проекция и вторичная проекция, т. е. пара точек: А и Д'.

Таким образом, две пары точек: Д, Д' и В, В' — при условии, что (ДА') || (ВВ’), определяют полное изображение прямой Д0В0.

Аналогично, если (АА') || (ВВ’) ]| (СС'), то пары точек Д, Д'; В, В’ и С, С' определяют полное изображение плоскости AOSOCQ.

Для обоснования полноты изображения некоторых фигур целесообразно бывает рассмотреть также центральное вспомогательное проектирование точек Дп, Во, Со, ... фигуры-оригинала Фо на плоскость л0. Выполнив это проектирование, а затем, как обычно, внешнее проектирование (параллельное) точек До и Ао, Ва и Во, Со и Со,... на плоскость а, мы получим проекции и вторичные проекции точек А о, Во, Со, ... . Соответствие Д -> Д' в этом случае называют (естестве! ню, условно) внутренним центральным проектированием. Очевидно, каковы бы ни были точки До, BQ, Со, ... в пространстве, прямые ДД', ВВ’, СС, ... в плоскости изображения пересекаются в одной точке.

Покажем теперь, что если задать проекции вершин пирамиды 50Д0ВоС0 — точки S, Д, В и С (без вторичных проекций), то изображение пирамиды будет полным. Действительно, выбрав в качестве центра вспомогательного проектирования точку So, а в качестве плоскости л о плоскость Д0В0С0, мы можем для каждой точки Мо пирамиды по ее проекции М построить вторичную проекцию М’. На рисунке 2, б это построение выполнено для точки Мо € (50ДоКо). Вторичной проекцией точки S можно при этом считать в принципе любую точку треугольника АВС.

Изображение конуса в виде фигуры, состоящей из эллипса и пары касательных к эллипсу, проведенных из некоторой внешней точки, является полным. Чтобы в этом убедиться, можно рассмотреть конус совместно с вписанной в него пирамидой.

8

5е. Если изображение фигуры Фо является полным, то на нем разрешима любая позиционная задача, т. е. задача о построении инциденций заданных фигур (например, задача о нахождении точки пересечения заданной прямой и заданной плоскости).

6°. С понятием верного изображения связано также понятие его метрической определенности.

Изображение фигуры Фо называется метрически определенным, если по нему можно (в принципе) восстановить фигуру Фо с точностью до подобия.

Полное изображение в общем случае еще не является метрически определенным, однако при определенных условиях оно может стать метрически определенным. Так, если указать, что призма, изображенная на рисунке 1, в, правильная, то изображение еще не будет метрически определенным. Если же добавить, что боковое ребро призмы вдвое больше стороны основания, то метрическая определенность изображения будет обеспечена.

Изображение, сопровождаемое условиями, позволяющими восстановить оригинал с точностью до подобия, называют условным. Именно условные изображения применяются на уроке математики в средней школе.

Зги условия (их обычно указывают в краткой записи данных, — об этом мы будем говорить ниже) весьма разнообразны и зависят, в частности, от того, какая фигура изображается.

Так, если в оригинале фигура Фо — куб, то ее изображение достаточно сопроводить условием: фигура Ф — куб. Действительно, при таком условии, наложенном на фигуру Ф, восстановить оригинал с точностью до подобия можно, так как все кубы подобны между собой.

Если же фигура Фо — правильная четырехугольная пирамида, то сопроводить ее изображение условием, что фигура Ф — правильная четырехугольная пирамида, недостаточно, так как в данном случае мы еще не сможем восстановить оригинал с точностью до подобия. Чтобы изображение в этом примере стало метрически определен-ным, следует указать еще, например, отношение высоты пирамиды к стороне основания, или угол между боковым ребром и плоскостью основания, или угол между боковой гранью и плоскостью основания и т. д.

7°. Построения, выполняемые на проекционном чертеже, могут быть позиционными и метрическими. Позиционные построения передают свойства оригинала, сохраняющиеся при параллельном проектировании (внешнем).

Метрические построения, как правило, передают свойства оригинала, не сохраняющиеся при параллельном проектировании.

Некоторые построения, которые на первый взгляд кажутся метрическими, в конкретной задаче могут оказаться позиционными. Так, построение высоты треугольника в общем случае — построение метрическое, поскольку свойство прямых быть перпендикулярными при параллельном проектировании не сохраняется.

9

Однако если в оригинале стороны А0В0 и В0С0 треугольника ЛоВоСа конгруэнтны, то в оригинале высота является и медианой, а свойство отрезка быть медианой треугольника при параллельном проектировании сохраняется, поэтому изображением высоты BQD0 этого треугольника будет медиана BD треугольника АВС. Таким образом, в рассматриваемом случае построение изображения высоты является позиционным.

8°. Для обоснования метрической определенности полного изображения необходимо различать аффинные и метрические свойства фигур. Напомним некоторые из них.

Аффинные (сохраняющиеся при параллельном проектировании):

1) свойство фигуры быть точкой, прямой, плоскостью;

2) свойство фигур иметь пересечение;

3) деление отрезка в данном отношении;

4) свойство прямых, плоскостей, прямой и плоскости быть параллельными;

5) свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией;

6) отношение длин параллельных отрезков;

7) отношение площадей двух фигур и др.

Метрические (не сохраняющиеся при параллельном проектировании, но сохраняющиеся при преобразовании подобия):

1) свойство прямых, плоскостей, прямой и плоскости образовывать между собой угол определенной величины (в частности, быть перпендикулярными между собой);

2) отношение длин непараллельных отрезков;

3) отношение величин углов между прямыми (в частности, свойство прямой быть биссектрисой угла);

4) отношение величин двугранных углов;

5) отношение величин углов между прямыми и плоскостями и др.

Таким образом, основание правильной четырехугольной призмы, являющееся в оригинале квадратом, может быть изображено произвольным параллелограммом, так как отношение длин непараллельных сторон квадрата (равное единице) и перпендикулярность его смежных сторон являются метрическими свойствами, а параллельность противоположных сторон является свойством аффинным.

Вообще произвольный параллелограмм может быть изображением и параллелограмма, и прямоугольника, и ромба, и квадрата.

9°. На изображении, построенном по правилам параллельного проектирования, естественно, не просматриваются метрические условия, указанные в тексте задачи. Эти условия обычно указывают отдельно, сопровождая ими чертеж. Дополняя чертеж метрическими условиями, мы, как говорят, расходуем параметры.

Так, если Фо — ромб АаВйСаО0 и параллелограмм A BCD — его изображение, то, сопровождая чертеж словами «А BCD — ромб», мы тем самым налагаем на изображение одно метрическое условие,

10

или, как говорят, расходуем один параметр. Действительно, в оригинале | — | ВцСв|, т. е. [И (До[ : | В0С0| = 1, но отношение длин

непараллельных отрезков при параллельном проектировании не сохраняется и, следовательно, равенство | А0В0| = | В0С0| выражает одно метрическое свойство оригинала. Аналогично, построив на чертеже параллелограмм и добавив при этом запись, что изображен квадрат, мы расходуем два параметра.

При изображении фигуры Фо некоторой фигурой Ф, обладающей всеми аффинными свойствами оригинала, параметры не расходуются, так как аффинные свойства оригинала при параллельном проектировании сохраняются.

10®. Если при выполнении проекционного чертежа на изображение плоской фигуры Ф() израсходовано два параметра, то тем самым однозначно определено изображение каждой точки, лежащей в плоскости этой фигуры (и, таким образом, дальнейшие метрические построения в плоскости фигуры Фо, которые могут потребоваться для решения задачи, уже нельзя выполнять произвольно).

Аналогично, если при выполнении проекционного чертежа на изображение пространственной фигуры Фо израсходовано пять параметров, то тем самым однозначно определено изображение каждой точки этой фигуры пространства (и, следовательно, метрические построения на этом чертеже уже нельзя больше выполнять произвольно).

11°. В процессе решения стереометрической задачи приходится выполнять и различные дополнительные построения. Например, построение линейного угла данного двугранного угла, угла между данной прямой и данной плоскостью, биссектрисы некоторого угла и т. д. При выполнении вспомогательных построений следует учитывать не только параметрическое число изображения (число израсходованных параметров), но и область «допустимых расположений».

Так, изображение центра окружности, вписанной в треугольник АоВ0С0, не может быть выбрано без учета области изображения этого центра, которая, как известно из начертательной геометрии, представляет собой часть плоскости, находящуюся внутри треугольника DEF, стороны которого—средние линии треугольника АВС.

Пример 1. Одна из боковых граней треугольной пирамиды перпендикулярна плоскости основания. Эта боковая грань и основание пирамиды — правильные треугольники, Приняв произвольный четырехугольник SB АС с его диагоналями за изображение пирамиды, найдем параметрическое число изображения.

Решение (рис. 3). Изображение правильного треугольника, лежащего в основании пирамиды, произвольным треугольником влечет за собой расход двух параметров. Изображение боковой грани, являющейся в оригинале правильным треугольником, с помощью произвольного тре- 11 угольника (одна сторона этого треугольника, естественно, является и стороной треугольника, лежащего в основании пирамиды) влечет за собой расход еще двух параметров. И наконец, считая, что построенные треугольники являются изображением треугольников, плоскости которых в оригинале перпендикулярны, мы накладываем на изображение еще одно метрическое условие, т. е. расходуем еще ОДИЕ! параметр.

Итак, на изображение данной пирамиды израсходовано пять параметров, т. е. параметрическое число изображения р равно 5, и, таким образом, никаких других метрических построений на этом изображении выполнять произвольно уже нельзя.

Пусть далее в этом примере сторона основания данной пирамиды равна а и требуется найти площадь боковой поверхности пирамиды. Опуская для краткости слова «изображение пирамиды», «изображение треугольника» и т. д. , будем говорить, что дана пирамида SABC, у которой боковая грань 5ЛВ и основание АВС — правильные треугольники, причем (5 Л В) X (ЛВС).

Ясно, что

Чтобы найти 5Д5ЛС, нужно найти высоту SK треугольника

зле.

Для решения задачи требуется выполнить дополнительные построения, причем, так как изображение является метрически определенным (на него были израсходованы все пять параметров), высота SK не может быть построена произвольно, т. е. нельзя, взяв на АС произвольную точку К, утверждать: «пусть (SK) _L (ЛС)».

Требуемое дополнительное построение можно выполнить следующим образом. Проведем медиану ВМ треугольника АВС. Так как треугольник АВС правильный, то медиана ВМ является и высотой, т. е. [ВМ] X [ЛС]. Аналогично, проведя медиану SD треугольника 5ЛВ, имеем: [5£>]Х[ЛВ]. Нетрудно доказать, что [SO] X (ЛВС). Проведем (DK) || (ВМ), тогда (DK) X (Л С). Соединим точку S с точкой К. Так как [SO] X (ЛВС), то [DK] — проекция [5/<] на плоскость ЛВС и, следовательно, [SK] X [ЛС]. Теперь осталось выполнить несложные подсчеты. Находим, что

|5О|_1ВЛ«|-4^-. |ОЛ| = 1^1 = Ц1 И|8К|=ЦЦ

Таким образом,

Sto.=^4(i + /5).

Пример 2. Из вершины В равностороннего треугольника ЛВС к плоскости АВС вос-ставлен перпендикуляр ВК, причем | ВК\ = |ДВ|.Найдем тангенс острого угла между пря-мыми А К и ВС.

Решение. Построим изображение данной фигуры и найдем его параметрическое число (рис. 4).

Считая произвольный треугольник АВС изображением

равностороннего треугольника, р«с- 4

мы расходуем два параметра. Считая отрезок ВК изображением перпендикуляра к плоскости АВС, также расходуем два параметра, и, наконец, считая, что [ВК\ : |ДВ| = 1 : 1, расходуем еще один параметр; таким образом, р = 5. Итак, заданное изображение метрически определено и произвол в выполнении дальнейших метрических построений недопустим.

Выполним следующие дополнительные построения: в плоскости АВС через точку А проведем прямую I || (ВС). Тогда угол между прямыми АК и ВС равен углу между прямыми А К и I. Чтобы найти угол между прямыми А К и I, очевидно, целесообразно включить его в какой-нибудь прямоугольный треугольник. Прямую DK J- I можно построить как наклонную, проекция которой перпендикулярна прямой I. Для проведения этой проекции — прямой BD — можно использовать тот факт, что треугольник АВС равносторонний и, следовательно, его медиана АМ является и перпендикуляром к отрезку ВС. Таким образом, построив медиану ДМ треугольника АВС, а затем (BD) || (ДМ) мы получим прямоугольный

треугольник ADК. Отношение) DK\ :| ДР | = tg£MK будет искомым.

Положив | АВ | = а, найдем:

\ВК\ = а, |ВО| = Ц4, |ох| = Ц11 |4D| = |BM| = | и, таким образом, tgZMК = V1, а следовательно, и тангенс угла между прямыми АК и ВС равен VT.

Пример 3. Один катет равнобедренного прямоугольного треугольника лежит в плоскости а, а другой — образует с ней угол, равный 45°. Построим изображение заданной фигуры, найдем его параметрическое число, а затем величину угла, который образует гипотенуза с плоскостью а.

Решение. Считая произвольный треугольник АВС (рис. 5) изображением прямоугольного треугольника, расходуем на изображение один параметр; считая, что [ДС] и [ВС] — изображения конгруэнтных отрезков, расходуем еще один параметр; считая далее, что (ВС) является изображением

13

прямой, образующей с плоскостью а угол, равный 45°, расходуем на изображение также один параметр; таким образом, р = 3. Поэтому для последующих метрических построений на этом изображении еще имеется некоторая свобода.

Определим теперь величину угла, который образует rtf потеку за АВ с плоскостью а. В плоскости а возьмем некоторую точку В' и будем считать, что (ВВ') — это изображение перпендикуляра к плоскости а. Таким образом, мы израсходовали имевшиеся в запасе два свободных параметра. Изображение стало метрически определенным, и поэтому последующие метрические построения на полученном изображении произвольно выполнять нельзя. Впрочем, в данном случае этого и не потребуется. Построим [В'С] и [В'Д].

Положив | ЛС| = я, находим: |ВС| = а, [ ВВ' | = и | АВ[ = a V2.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике А В В’ имеем:

| ВВ'\: |4В| = 1 : 2, т. е. ВАВ' = 30°.

Но (ВВ') J_ а, т. е. ВАВ' — это величина угла, который образует гипотенуза АВ с плоскостью а.

Замечание. Выбирая точку В', принадлежащую плоскости а, произвольно мы, руководствуясь соображениями наглядности получаемого изображения, подобрали ее таким образом, чтобы прямая ВВ' была параллельна краю страницы. Такое изображение вызывает представление о том, что в оригинале Од. Заметим, что произвол в выборе точки В' все-таки небезграничен. Так, прямая В В' не должна оказаться параллельной прямой АС (а этом случае прямая ВВ' была бы изображением прямой ВОВ'О, параллельной плоскости а0).

П р и мер 4. В правильной четырехугольной пирамиде угол между двумя смежными боковыми гранями равен 2а. Найдем угол, образованный боковым ребром пирамиды с плоскостью ее основания.

Решение. Ясно, что фигура SABCD (рис. 6) является полным изображением заданной пирамиды. Подсчитаем параметрическое число этого изображения. Изображение квадрата, лежащего в основании данной пирамиды, произвольным параллелограммом A BCD влечет за собой расход двух параметров; изображение высоты пирамиды отрезком 50, где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма A BCD, влечет за собой расход еще двух параметров, так как мы считаем, что отрезок SO — это изображение перпендикуляра к плоскости АВС. Итак, р= 4, т. е. для выполнения дальнейших метрических построений, которые могут потребоваться в процессе решения задачи, в нашем распоряжении остается всего один свободный параметр. Для решения поставленной задачи построим на изображении линейный угол данного двугранного угла. Это можно сделать, например, следующим образом: на ребре SC возьмем произвольную точку Л4 и будем считать отрезок ОМ изображением перпендикуляра, опущенного из точки Оо па ребро SDC0. Соединяя теперь точку М с точками В и D, получим угол BMD, являющийся, как нетрудно показать, изображением линейного угла (двугранного угла 50С0 в оригинале).

В чертеж теперь можно внести обозначение 2а. Так как отрезок SO — изображение высоты пирамиды, то отрезок 0D является изображением проекции бокового ребра на плоскость основания пирамиды, а поэтому угол SD0 — это изображение угла, величина которого является искомой. Нетрудно поде читать, что величина этого угла равняется arcs in (etg а), где 0° < а <45°.

12°. При решении некоторых стереометрических задач более удобными оказываются не полные метрически определенные изображения, а упрощенные. Так при решении задач на комбинации многогранников и круглых тел можно, выбрав удобное для изображения сечение комбинации тел, показать на этом изображении с точностью до подобия фигуру, полученную в таком сечении.

Так, вместо изображения правильной четырехугольной пирамиды и вписанного в ное шара можно дать изображение фигуры, полученной в сечении этой комбинации тел плоскостью, проходящей через высоту пирамиды параллельно стороне основания. Эго сечение является равнобедренным треугольником, боковые стороны которого — это апофемы пирамиды. Так как центр шара лежит на высоте пирамиды, то сечение шара этой плоскостью будет окружностью большого круга. Так как шар касается граней пирамиды, то его центр лежит в биссектор ной плоскости плоскостей противоположных граней. Но биссекторная плоскость пересекает две другие боковые грани по апофемам.

Таким образом, окружность, полученная в сечении, касается боковых сторон равнобедренного треугольника. Аналогично эта окружность касается и основания треугольника. Итак, в сечении мы получим равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью.

13°. Иногда при построении чертежа к решению задачи целесообразно выполнить нужное построение «с конца». Рассмотрим сначала пример на планиметрии.

П р и м е р 5. Дана окружность радиуса /?. Из ее центра проведены два радиуса ОА и ОВ, образующие между собой угол, равный а. В меньший сегмент круга, отсекаемого хордой АВ, вписан равносторонний треугольник, одна из сторон которого перпендикулярна к хорде АВ. Построим изображение заданной фигуры.

Решение. Если начать с построения окружности (О, | О А |), после чего провести в ней хорду АВ, то при таком порядке построения мы столкнемся с необходимостью вписать правильный треугольник в сегмент. Гораздо легче выполнить построения «с конца». Построим равносторонний треугольник CD К (рис. 7). На серединном перпендикуляре к отрезку D К выберем точку О (вне треугольника CD К, поту же сторону от отрезка DK, что и точка С). Опишем окружность (О, | 0D|) и через точку С проведем т _L (DC). Точки пересечения прямой т с окружностью (О, | OD|) обозначим А и В. Изображение фигуры построено.

Рассмотрим пример из стереометрии.

Примерб. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат в основании пирамиды, а четыре другие — на боковых ребрах. Построим изображение заданной фигуры.

Решение. Пусть ЛВСОЛ^С^ — изображение куба (рис. 8). Найдем центры оснований куба: О = (ЛС) П (BD), Ot = = (Л4С1) П (BiDi). Проведем (00J и возьмем точку S € (ООО (вне куба). Проведем далее (5Л J, (SBj), (SCO, (SDi) и найдем точки Р, Q, R, N: Р = (SAt) П (ЛС), Q = (SBt) f] (BD), R = = (SCO П N = n (BD), Эти точки — вершины основания пирамиды. Тогда SPQR/V — изображение заданной пирамиды.

14°. В заключение настоящего параграфа отметим следующее. Если в задаче речь идет о фигуре, построение которой требует

16 расхода не более пяти параметров, то в процессе решения построение изображения не описывается (однако построить это изображение, естественно, необходимо). В таких случаях убеждаются лишь в полноте построенного изображения и подсчитывают его параметрическое число. Подсчет параметрического числа необходим, так как в процессе решения могут потребоваться дополнительные построения метрического характера, которые при наличии свободных параметров можно выполнять произвольно (с учетом конкретных ограничений в выполнении этих построений).

Если в задаче речь идет о фигуре, построение которой требует расхода более пяти параметров, то та часть построения изображения, осуществление которой требует расхода пяти параметров, не описывается; дальнейшие же необходимые построения обязательно описываются в первой части решения и выполняются в соответствии с законами параллельного проектирования.

Если в задаче оговаривается, что некоторые элементы данной фигуры требуется построить (например, сечение в данной пирамиде), то построение изображения этих элементов заданной фигуры описывается обязательно. Разумеется, по ходу построения ведется подсчет параметрического числа получаемого изображения (такие примеры будут рассмотрены в § 12 главы III). В некоторых случаях описание этого построения выполняется по полной схеме решения задачи на построение (анализ, построение, доказательство, исследование), в некоторых же случаях ограничиваются описанием отдельных этапов этой схемы, например описанием построения и доказательства или построения и исследования и т. д.

§ 2 Краткая запись условия задачи

После того как выполнено построение изображения данной фигуры (без тех дополнительных построений, необходимость которых выясняется лишь в процессе решения), на чертеже проставляются нужные обозначения, выполняется краткая запись условия задачи. Краткая запись сопровождаете я словами «дано», «найти» («доказать»).

Элементы данной фигуры, изображение которых может появиться на чертеже лишь после дополнительных построений, естественно, в этой краткой записи не отмечаются.

Приведем краткую запись условия к примерам из § I.

К п р и м е р у 3 (с. 13).

Дано: ДЛВС, ВСА -90е, | ЛС[= | ВС|, [ЛС]с а, ([ВС]?а)=45°.

Найти: (ГЛ В? а).

К п р и м е р у 4 (с. 14).

Дано: SABCD — правильная пирамида, S — вершина, ((SBC)? (SDC)) = 2а.

Найти: ((SDj?0BC)).