Внеклассная работа по математике (Сефибеков) 1988 год - старые учебники

О методе неопределенных коэффициентов 48

Упрощение выражений, содержащих радикалы 53

Геометрические преобразования и площадь криволинейной трапеции ...56

Интеграл и длина окружности.59

Интеграл и площадь поверхности 61

Последовательности m-го порядка 64

Вычисление сумм 67

Алгебра помогает геометрии —

Ответы, указания, решения 69

ПРЕДИСЛОВИЕ

Одно из главных направлений реформы общеобразовательной и профессиональной школы—повысить качество образования и воспитания учащихся. Наряду с уроком—основной формой учебного процесса— в старших классах школ все большее значение приобретает внеклассная работа по математике. Способствуя глубокому и прочному овладению изучаемым материалом, повышению математической культуры, привитию навыков самостоятельной работы, внеклассная работа развивает интерес к изучению математики и творческие способности школьников.

Предлагаемый материал—это некоторые избранные и не связанные между собой вопросы математики средней школы. Поэтому его изложение в пособии носит эпизодический характер. Основное назначение пособия—дать в руки учителя конкретный практический материал для проведения кружковых занятий. Большое место отводится решению задач, так как уровень математической подготовки во многом определяется глубиной навыков их решения. Автор не ставил своей целью рассмотрение методических и организационных вопросов. Предлагаемые вопросы автор раскрывает на «заданном» материале.

Ко всем задачам приводятся исчерпывающие решения, как правило нестандартные, которые могут рассматриваться как небольшие самостоятельные исследования. Следует иметь в виду, что не каждое приведенное решение является бесспорным—учитель может найти и другое решение, возможно краткое и изящное.

Пособие состоит из отдельных параграфов. Содержание каждого параграфа можно рассматривать как материал одного занятия кружка. В книге учитель может найти материал курса средней школы (для углубленного его изучения), близко примыкающий к нему (вопросы курса математического анализа, высшей алгебры, геометрии), а также вопросы, имеющие чисто прикладную направленность.

Книга поможет учителю в отборе содержания и проведении внеклассных занятий по математике в старших классах.

ШКОЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ УГОЛОК

Создание школьного математического уголка—залог успешной работы кружка. В его оформлении регулярно должны участвовать все члены математического кружка. В нем могут быть выставки тетрадей, наглядных пособий, сборники самостоятельно составленных учащимися задач, математические пособия. Здесь же помещается красочно оформленный стенд с различными упражнениями и задачами по каждой параллели для самостоятельного их решения. Название его должно быть привлекательным, например «Юный математик», «Знание—сила», «Думай—сделаешь много».

Хорошо организованный математический уголок дает возможность всем желающим получать в промежутках между занятиями кружка дополнительно задания. За выполнение каждого задания определяется число очков (оно указывается в задании); устанавливается срок, на который дается задание.

Свои решения учащиеся опускают в ящик для ответов, находящийся в уголке. Учитель проверяет их результаты, фамилии учащихся и набранные ими очки заносит в таблицу, находящуюся на стенде. Здесь же регулярно помещаются решения задач, причем отмечаются наиболее рациональные—за них число очков повышается. Обсуждение решений проводится на занятиях математического кружка.

Одновременно для одного класса можно предлагать не более четырех заданий. Материал должен быть повышенной трудности, по доступным для учащихся и не выходить за рамки программы. Желательно, чтобы задания были взаимосвязаны друг с другом.

Приведем пример одного из заданий для учащихся X класса.

1.Из множества треугольников данного периметра Р выделите тот, для которого сумма площадей квадратов, построенных на его сторонах, минимальна (3 очка).

2.Применяя координатный метод, докажите теорему косинусов (1 очко).

3.Докажите двумя способами, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

а)с помощью теоремы Пифагора;

б)координатным методом (2 очка).

4.Докажите, что в треугольнике

где Р—периметр, а та, ть и тс—длины его медиан (4 очка).

4

Такая работа в математическом уголке позволяет привлечь к занятиям кружка большое число учащихся.

ВЫЧИСЛЕНИЕ БИССЕКТРИС ТРЕУГОЛЬНИКА

В курсе геометрии VI — X классов выводятся формулы, выражающие длины высот и медиан треугольника через длины его сторон. При рассмотрении этого материала естественно возникает вопрос: «Нет ли аналогичных формул для вычисления биссектрис треугольника?» С этими формулами полезно познакомить учащихся на кружковом занятии после изучения в курсе алгебры и начал анализа темы «Тригонометрические функции числового аргумента».

При выводе формул для вычисления длин биссектрис треугольника и в дальнейшем будем пользоваться так называемым приемом «двойного определения площади»: площадь некоторой фигуры выражается через данные и искомые величины двумя различными способами и полученные выражения приравниваются. Из полученного уравнения нередко удается либо найти искомую величину, либо вывести требуемую зависимость между величинами.

5.В треугольнике АВС даны стороны а, b и с. Найдите его биссектрисы 1а, 1Ь и 1С.

Решение этой задачи опирается на две следующие леммы:

Лемма 1. Для треугольника ЛВС (рис. 1) справедливо равенство