Геометрия 8 класс (Колмогоров, Семенович, Гусев, Черкасов) 1977 год - старые учебники

108. Формулы для вычисления площадей треугольников 31

109. Теорема синусов. 33

110. Решение треугольников . 34

Зада чи на повторение к главам VII — VIII 37

Глава IX. Вписанные и описанные многоугольники

1. Вписанные и описанные треугольники. 39

111. Вписанный. угол. —

112. Вписанные и описанные треугольники. 41

$ 2. Вписанные и описанные четырехугольники 44

ИЗ. Вписанные четырехугольники —

114. Описанные. четырехугольники 46

• 3. Правильные многоугольники . 43

115. Построение правильных многоугольников —

116. Выражение сторон правильных многоугольников через радиус описанной окружности 51

117. Площадь правильного многоугольника. 53

• 4. Длина окружности и площадь круга. ’ . . 54

118. Длина окружности. —

119. Площадь круга 55

Зада чи на повторение к главе IX 57

• 1. Взаимное положение точек, прямых и плоскостей в пространстве 59

120. Основные свойства прямых и плоскостей —

121. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение плоскостей 61

122. Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикуляр к плоскости 63

123. Ортогональное проектирование 66

• 2. Площади поверхностей и объемы некоторых тел. 68

124. Прямая призма. --

125. Общие свойства объемов 72

126. Пирамиды. 74

127. Цилиндр • • • • 77

128. Конус 79

129. Шар . 81

Задачи на повторение к главе X 83

Глава XL Логическое строение геометрии

$ 1. Система аксиом планиметрии 87

130. Введение —

131. Аксиомы принадлежности . 88

132. Аксиомы расстояния. 89

133. Аксиомы порядка 90

134. Аксиома подвижности плоскости 92

135. Аксиома параллельных . —

g 2. Логический анализ системы аксиом. 93

136. Отсутствие противоречий —

137. Независимость аксиом 95

138. Заключение 98

Задачи на повторение по курсу. VI — VIII классов 98

Ответы и указания 103

ПОВОРОТЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

98. Как задавать повороты!

Из курса геометрии VI и VII классов мы уже знаем, что поворот определяется заданием:

а) его центра О,

б) угла поворота а,

в) направления поворота.

Угол поворота а при этом считается заключенным в пределах

0^Q а 180°.

Поворот на 0°—это тождественное отображение плоскости»

Е{Х) = Х.

Для любого центра О повороты на 180° в обоих направлениях совпадают и являются центральной симметрией (относительно центра поворота О).

Мы познакомимся теперь с другой системой задания поворотов, преимущества которой выясняются постепенно.

Выберем какое-либо направление поворота в качестве положительного, а противоположное будем считать отрицательным. Положительным обычно считают направление поворота против часовой стрелки. Например, поворот на 70° против часовой стрелки будем называть просто поворотом на 70°, поворот же на 70° по часовой стрелке — поворотом на минус 70° (рис. 1). При таком соглашении поворот полностью определяется заданием:

а) его центра О,

б) угла поворота а.

Угол поворота теперь считается направленной величиной, числовое значение которой может быть как положительным, так и отрицательным. Поворот с центром О на угол а обозначается Rtf Например, повороты, указанные стрелками на рисунке 1, обозначаются

Rtf и Яб⁷⁰\

@Итак, любой поворот может быть задан указанием его центра и угла поворота а, лежащего в пределах

—180° а 180°. (1)

Удобно, однако, рассматривать и повороты на углы, не лежащие в указанных пределах (1). Например, рисунок 2 поясняет, почему поворот на —90° совпадает с поворотом на +270^с:

Д + 270^с ₌ Д-9(Г *_# (2)

Рис. 2.

Поворот мы представляем теперь как результат вращения. Чтобы наглядно представить себе вращение, положите на лист бумаги лист кальки и приколите оба листа булавкой в некоторой точке О. На листе бумаги заранее нарисуйте те или иные фигуры. Скопируйте эти фигуры на кальку и после этого вращайте кальку вокруг точки О. Точка О будет оставаться неподвижной, любая же другая отмеченная на кальке точка X будет двигаться по окружности. Если вначале она занимала на плоскости положение Х_о, то после вращения на 270° против часовой стрелки она займет положение Xi (рис. 2). Тот же результат получится и при вращении по часовой стрелке на 90°. Поэтому мы и считаем, что записи 7?²⁷⁰° и Я^-90” являются просто разными обозначениями одного и того же поворота. Тот же поворот можно получить при помощи вращения бесконечным числом способов. В самом деле, в результате вращения на 360° по часовой стрелке (или против часовой стрелки) все нанесенные на кальку точки возвращаются на прежние места, поэтому поворот /?-⁹⁰° можно получить в результате вращения на следующие углы: —90°; —90^э4-360° = 270°; —90°4-360^о-2 = 630^о; .—90°—360° = —450°; — 90° — 360°.2 = — 810°. Вообще, поворот R^a получается не только вращением на угол а, но и на угол а4-360°-п,

где п—любое целое число.

Итак, если р = а-|-360^о«п, где п—целое, и —180° ^180°, то поворотом на угол р называется поворот 7?^а. (Повороты на угол а, лежащие в пределах (1), были определены ранее.)

* Рассматривая повороты с каким-либо одним заданным центром» мы пишем вместо Rq просто R^a , опуская букву О.

Например:

Д12ОО⁰ _ Д120^с+360*.3 _ Д120*. Д720° ₌ Д36О’.2 _в до⁰ ₌ £. Д-1200°_ Д- 120°-36О°.3 _ Д-120⁰.

Рассматривая выше конкретные примеры поворотов на определенный угол, мы рассуждали так. как это принято в физике при изучении вращательного движения. В курсе геометрии мы не исследуем движения (процесса, протекающего во времени), а интересуемся только перемещениями. Но использованные нами представления из области кинематики (раздел механики, занимающийся описанием различных видов движения) помогают понять определение и свойства поворотов.

Вопросы и задачи

1. При выполнении каких условий говорят, что «поворот задан»?

2. Практическая работа. Отметьте на листе бумаги центр поворота О и некоторую точку М.

Найдите образ точки М при поворотах на следующие углы: а) 35°; б) 70°; в) 125°; г) 160°; д) 145°; е) 110°.

3. В одном и том же или различных направлениях представляется направление вращения колес движущегося велосипеда двум наблюдателям, стоящим по разные стороны от этого велосипеда?

4. На рисунке 3 стрелкой показано направление вращения одной из шестерен. Какие из указанных шестерен будут при этом вращаться в положительном и какие в отрицательном направлениях?

5. а) При повороте около центра О на 40^е точка М отображается на точку М_х. Укажите, при каких других значениях углов поворота точка М будет отображаться на эту же точку M_v

б) При повороте около центра О на —130° точка Л/ отображается на точку ЛГ_Г Укажите, при каких других значениях углов поворота точка М будет отображаться на эту же точку М_г.

6. Будут ли повороты /?¹⁸⁰‘ и Я*^|80° различны? Как по-другому называются эти перемещения?

7. Запишите с использованием обозначения Я^а juu

(где —180° а 180°) по- лрл 5/

вороты на угол: а) 660°; 5( Q )чс^-—О )S

б) —270°; в) —1000°; Ч

г) 890°; д) 720°. О )

8. При каких значениях чис- У?

ла k будет справедлива следующая запись:

ДР = лз + ЗбО’.л?

Рис. 3

ЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ*

• 1. СИСТЕМА АКСИОМ ПЛАНИМЕТРИИ

130. Введение

Первые сведения о логическом строении геометрии даны в пункте 10. Там было сказано, что систематический курс геометрии строится следующим образом:

1. Перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений.

2. При их помощи даются определения всех остальных геометрических понятий.

3. Формулируются аксиомы.

4. На основе аксиом и определений доказываются теоремы.

Теперь нам предстоит более подробно рассмотреть, как этот план осуществляется в применении к планиметрии.

В планиметрии изучаются только фигуры, лежащие в какой-либо одной плоскости. Эти фигуры рассматриваются как подмножества множества со всех точек этой плоскости. Так как другие точки мы не рассматриваем, то будем говорить, что «плоскость» и есть множество о. А что такое «точка», мы не определяем. Некоторые подмножества множества со являются лежащими на плоскости со прямыми. То, что «прямая» есть множество точек, будет высказано в одной из аксиом. Но определения понятия «прямая» мы тоже давать не будем. Наконец, в одной из аксиом будет сказано, что для любых двух точек А и В существует величина |АВ |, называемая «расстоянием» от А до В. Но явного ответа на вопрос, что такое расстояние |АВ|, мы тоже не даем. Таким образом, за основные понятия приняты три: «точка», «прямая», «расстояние». В следующих пунктах будут перечислены те относящиеся к этим основным понятиям аксиомы, на которых может быть построена вся планиметрия.

Следует только заметить, что при построении планиметрии мы будем пользоваться правилами логики и общими свойствами множеств как известными. После того

* По содержанию этой главы проводится заключительная беседа учителя. Обстоятельное знакомство с главой «Логическое строение геометрии» рекомендуется проводить на факультативных занятиях.

как в одной из аксиом будет сказано, что расстояние от точки до точки есть неотрицательная величина, мы будем пользоваться также изучаемыми в алгебре свойствами величин.

Задание. Вспомните определения окружности, круга, понятия «точка А лежит между точками В и С» и т. д. Проверьте, какие из известных вам геометрических понятий вы умеете определять через перечисленные выше основные понятия.

Так как наше изложение планиметрии было не совсем полным, в некоторых случаях вам не удастся получить удовлетворительные определения. Например, по поводу величины АВС говорится, что с ней знакомятся еще в младших классах. Но точного определения величины угла не дано. Полное изложение теории измерения углов, опирающееся только на принятые нами основные понятия и перечисляемые далее аксиомы, является довольно трудным делом, но оно может быть проведено с полной строгостью. Поэтому мы и не считаем величину угла еще одним основным понятием.

Вопросы и задачи

1. Сформулируйте определение отрезка, не пользуясь понятием «между».

2. Сформулируйте определения понятий: а) середина отрезка;

б) длина отрезка.

3. Дайте определение понятия «направление».

4. Как определить смысл выражения «величина угла АВС равна половине величины угла DEM»?

131. Аксиомы принадлежности

Эти аксиомы формулируются при помощи понятий «точка» и «прямая», а также понятий «множество» и «элемент множества».

Предложение «х есть элемент множества М» записывается х £М

и может читаться: «х принадлежит М», или «М содержит х». Отсюда и название «аксиомы принадлежности»,

Аксиома Ij. Каждая прямая есть множество точек.

Так как мы условились, говоря о точках, иметь в виду только точки одной плоскости, то каждая прямая есть подмножество плоскости.

Аксиома 1₂. Для любых двух отличных друг от друга точек существует одна и только одна содержащая их прямая.

Эта аксиома вам хорошо известна. Уже на ее примере можно показать, как на основе аксиом доказывают теоремы.

Теорема. Две отличные друг от друга прямые могут иметь не более одной общей точки.

Доказательство. Если бы две прямые а и b ф а имели две общие точки Р и Q, то эти две точки принадлежали бы двум различным прямым, что противоречит аксиоме 1₂.

В пункте 120 были перечислены аксиомы принадлежности, которые нужны для построения стереометрии. Но в планиметрии, кроме аксиом 1_г и 1₂, достаточно принять еще только одну аксиому принадлежности.

Аксиома 1₃. Существует хотя бы одна прямая, и каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.

Эта аксиома может показаться вам несколько странной и говорящей слишком мало. Но вместе с аксиомами порядка, которые приводятся в пункте 133, она приведет к более содержательным следствиям.

132, Аксиомы расстояния

Аксиома Щ. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В. Расстояние равно нулю в том и только в том случае, если точки А и В совпадают.

Расстояние от А до В обозначается | АВ |.

Аксиома П₂. Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А: | АВ | = | В А |.

Аксиома П₃. Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.

|АС||АВ| + |ВС|.

В пункте 4 был приведен пример теоремы, которую можно доказать, пользуясь лишь тремя аксиомами расстояния.

Для дальнейшего построения геометрии очень важно, что при помощи понятия «расстояние» можно определить понятие «точка X лежит между точками А и В» и понятие «отрезок». Об этом сказано в пункте 5.

Заметьте, что отрезок АВ целиком лежит на прямой АВ, но это вытекает лишь из аксиом следующей группы.

Вопросы и задачи

1. Даны четыре точки А, В, С, D. Докажите, что |АВ| + |ВС| + |СВ|>| АР|.

2. Если никакие три из четырех точек А, В, С, D не лежат на одной прямой, то | АС | +1 BD | | АВ | +1 ВС | +1 CD |4-

4-|ВА|. Верно ли это предложение?

133. Аксиомы порядка

Аксиомы этой группы формулируются довольно сложно. Они вам уже знакомы по пунктам 5 и 8, но теперь они формулируются более тщательно.

Аксиома HIj. Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от О точек прямой р на два непустых множества так, что: а) для любых двух точек А и В, принадлежащих разным множествам, точка О лежит между А и В; б) если точки Л и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой точкой и точкой О.

С этой аксиомой связаны определения важных понятий «открытый луч» и «луч». Приняв аксиому IIIj, мы имеем право дать названия тем двум множествам, которые определяются заданием прямой р и принадлежащей ей точки О. Эти два множества называются открытыми лучами с началом О. Объединение каждого из них с точкой О называется лучом с началом О (было бы логично сказать «замкнутым лучом», но для краткости именно замкнутый луч называют просто «лучом»).

Аксиома Ш₂. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует одна и только одна точка Л, расстояние которой от точки О равно а: |ОЛ|=а.

Из аксиом lilt ^и И, вместе с аксиомами 1₃, Ц_х и П₃ вытекает, что каждой прямой принадлежит бесконечное число точек (докажите самостоятельно).

Аксиома Ш₃. Если точка С лежит между точками Л и В, то точки Л, В, С принадлежат одной прямой.

Из этой аксиомы легко вывести, что отрезок АВ есть подмножество прямой АВ (докажите). Кроме того, из нее и аксиом расстояния вытекает важное следствие.

Следствие. Для трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой, выполняется неравенство | АВ | | ВС | + | АС |. (Докажите самостоятельно.)

Перед формулировкой последней аксиомы порядка введем следующее определение:

Определение. Прямая р разделяет не принадлежащие ей точки А и В, если отрезок АВ имеет непустое пересечение с прямой р.

Аксиома Ш₄. Любая прямая р разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два непустых множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р; б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р.

Множества, о которых говорит эта аксиома, называются открытыми полуплоскостями, ограниченными прямой р.

Объединение каждой из этих открытых полуплоскостей с прямой р называется просто полуплоскостью, ограниченной прямой р.

При этом прямая р называется границей полуплоскости.

Заметьте, что из аксиомы Ш₄ вытекает, что для любой прямой на плоскости существуют точки, ей не принадлежащие.

Теперь можно дать определения ломаной, угла, многоугольника.

В виде примера применения аксиомы Ш₄ докажем следующее предложение:

Теорема. Если прямая пересекает одну из сторон треугольника, то она пересекает и одну из двух других его сторон.

Доказательство. Пусть прямая р пересекает сторону АВ треугольника АВС. Тогда точки А и В принадлежат разным полуплоскостям а и (J, ограниченным прямой р. Точка С принадлежит одной из этих полуплоскостей и, следовательно, разделена с одной из точек А и В прямой р. Поэтому прямая р пересекает один из отрезков — АС или ВС*.

Заметим, впрочем, что аккуратное доказательство всех таких фактов, которые часто неявно используются в рассуждениях, довольно кропотливо.

Вопросы и задачи

1. Докажите, что плоскость есть бесконечное множество точек.

2. Проверьте, что аксиомы принадлежности и аксиомы расстояния выполняются на конечном множестве точек и прямых (рассмотрите три точки, не принадлежащие одной прямой).

3. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырехугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.

4. Как вводятся координаты точек на прямой?

5. Дайте определение ломаной, угла, многоугольника.

6. Если точка А лежит между точками В и С, а точка С лежит между точками В и D, то точки А, В, С и D принадлежат одной прямой и точка А лежит между точками В и D. Докажите.

7. Докажите, что все точки отрезка принадлежат одной прямой.

* При доказательстве мы предположили, что ни одна из точек А, В, С не лежит на прямой р. Проведите доказательство для других случаев.

134. Аксиома подвижности плоскости

Большую роль в построении геометрии играют допущения о возможности «перемещать» фигуры по плоскости и всю плоскость по самой себе с сохранением расстояний между точками. Такого рода допущения мы принимали без доказательства в пункте 16 (существование поворотов вокруг заданного центра) и в пункте 18 (существование осевой симметрии). Вспомните определение перемещения из пункта 16 и прочтите пункт 20. Он поможет вам понять наглядный смысл такого утверждения:

Аксиома IV. Если расстояние | АВ | положительно и равно расстоянию | Л₁В₁|, то существуют два и только два перемещения, каждое из которых отображает точку А на точку A_t, а точку В на точку В_г.

Если а — полуплоскость, ограниченная прямой АВ, то она этими двумя перемещениями отображается на две различные полуплоскости di и ограниченные прямой А&.

Аксиома IV является довольно сильным допущением. Можно было бы ее вывести из допущений более специального характера. Но она удобна, так как ее легко применять и она сразу характеризует разнообразие перемещений плоскости.

Покажем, например, что из аксиомы IV можно вывести существование перемещения, называемого осевой симметрией. Пусть задана прямая р. Выберем на ней две точки А и В. По аксиоме IV (когда A_t= A, В₁ — В) существуют два перемещения, которые отображают каждую из точек А и В на самое себя. Если а и р—полуплоскости, ограниченные прямой р, то одно из этих перемещений отображает а на самое себя, а другое—на полуплоскость р. Второе перемещение и будет искомой осевой симметрией. Остается доказать, что оно отображает на себя каждую точку X прямой р. Докажите это самостоятельно и объясните, на какие аксиомы вы при этом опираетесь.

Вопросы и задачи

1. Докажите признаки конгруэнтности треугольников.

2. Дайте определение прямого угла. Докажите существование прямого угла.

3. Докажите конгруэнтность любых двух лучей.

4. Докажите конгруэнтность любых двух прямых.

135. Аксиома параллельных

Среди теорем, которые можно доказать на основе перечисленных в пунктах 131—134 одиннадцати аксиом, находится доказанное в пункте 29 следствие к теореме 13.

Следствие. Через любую точку А можно провести прямую, параллельную данной прямой р.

Но без новой аксиомы нам не удалось бы доказать, что такая параллельная существует только одна. Приходится ввести еще одну аксиому (аксиому параллельных):

Аксиома V. Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р.

Из указанного следствия и аксиомы V вытекает, что к каждой прямой р через данную точку А проходит одна и только одна параллельная.

Сформулированных двенадцати аксиом достаточно для строгого построения всей планиметрии. По поводу аксиомы параллельных заметим следующее. Она нам понадобилась сравнительно поздно. Все теоремы, помещенные в первых 29 пунктах учебника VI класса, можно совершенно строго доказать на основе одиннадцати аксиом, предшествующих в нашем изложении аксиоме параллельных. Математиков с давних пор интересовал вопрос о том, нужна ли вообще аксиома параллельных для построения планиметрии. Может быть, ее можно доказать в качестве теоремы на основе других аксиом (в нашем изложении—одиннадцати аксиом пунктов 131—134)? Было предложено много «доказательств» аксиомы параллельных, но все они оказались ошибочными. Любители математики и до сих пор присылают в Академию наук и в университеты такие «доказательства». Их усилия, однако, заведомо безнадежны.

Установлено, что аксиому V нельзя доказать на основе предыдущих одиннадцати аксиом.

Одним из первых это понял и обосновал великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792— 1856). Он показал, что, приняв вместо аксиомы V противоречащее ей допущение «через не принадлежащую прямой р точку А можно провести не менее двух параллельных к прямой р», мы получим отличную от евклидовой, но стройную и не содержащую логических противоречий новую геометрию. Этой геометрии присвоено название геометрии Лобачевского.

• 2. ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМЫ АКСИОМ

136. Отсутствие противоречий

Свою геометрию Лобачевский называл «воображаемой». Он не утверждал, что она лучше, чем евклидова, отражает свойства реального пространства, в котором мы живем. Утверждение Лобачевского сводилось к тому, что в его геометрии, хотя она и отличается от обычной, евклидовой, не может возникнуть внутренних противоречий.

Вопрос об отсутствии противоречий не так прост и в применении к обычной, евклидовой геометрии, которой мы с вами занимались. Ссылка на опыт здесь недостаточна. Еще в самом начале учебника было сказано, что основные геометрические понятия абстрактны: они отражают реальные свойства физических тел и их взаимного расположения в упрощенном, схематизированном виде. В аксиомах геометрии геометрическим фигурам приписываются свойства, которые на опыте обращения с реальными телами проверены только приближенно. Не может ли оказаться, что, обращаясь так неосторожно с данными опыта, мы придем к внутренне противоречивой системе аксиом?

Познакомимся с методами доказательства непротиворечивости системы аксиом на очень простом примере. Примем в качестве основных понятий только два: «точка» и «прямая». Имея в виду построение планиметрии, скажем, что множество со всех точек есть «плоскость». Примем аксиомы:

А1. Каждая прямая есть множество точек (т. е. подмножество множества со).

А2. Для любых двух отличных друг от друга точек существует одна и только одна содержащая их прямая.

АЗ. Каждой прямой принадлежат по меньшей мере две точки.

А4. Существуют по меньшей мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

А5. Для любой прямой р и любой точки А существует содержащая точку А прямая, параллельная прямой р.

Аб. Для любой прямой р и любой точки А существует не более одной содержащей точку А прямой, параллельной прямой р.

Естественно, что в аксиомах Аб и Аб подразумевается известное вам определение параллельности прямых. Наши аксиомы позволяют доказывать некоторые теоремы. Например, из первых пяти аксиом А1—Аб можно вывести следующую теорему:

Теорема. На плоскости существуют четыре точки. Доказательство. По аксиоме А4 на плоскости имеются три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. По аксиоме А2 точки В и С принадлежат прямой р. По аксиоме Аб существует содержащая точку А прямая q, параллельная прямой р. Так как прямая q содержит точку А, а прямая р эту точку А не содержит, прямые q и р различны и, следовательно, по определению параллельности не имеют общих точек. Но по аксиоме АЗ прямой q_t кроме А, принадлежит еще хотя бы одна точка D. Мы получили четыре попарно различные точки плоскости А, В, С, D.

Дальше продвинуться на основе принятых аксиом нельзя. Нельзя из этих аксиом вывести существование на плоскости