В ведение в аналитическую геометрию (Дубнов) 1959 год - старые учебники

Задачи к  главе первой 51

Глава II. Уравнения линий. 54

• 16. Геометрические места. 54
• 17. График уравнения; уравнение линии 56
• 18. Уравнение окружности 61
• 19. Ось симметрии двух точек и ее уравнение 63
• 20. Аполлониева окружность 64
• 21. Парабола. 67
• 22. Эллипс 71
• 23. Эллиптический циркуль. 77
• 24. Гипербола . 80
• 25. Задача из «Геометрии» Декарта. 84
• 26. Архимедова спираль. Полярные координаты . 86
• 27. Пересечение линий. 91
• 28. Парабола, эллипс, гипербола в природе и технике 94

Задачи к  главе второй . 96

Глава III. Прямая линия. Окружность 98

• 29. Уравнения прямой по различным ее заданиям . . 98
• 30. График уравнения первой степени 106
• 31. Методы, применяемые при составлении уравнений ПО
• 32. Задачи, в которых прямые задаются своими уравнениями 112
• 33. Уравнение окружности; признаки, выделяющие его среди других уравнений второй степени 118
• 34. Прямая и окружность. Касательная 122

Задачи к главе третьей . 127

Приложение. О доказательствах общности некоторых формул 129

Ответы 132

АННОТАЦИЯ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта небольшая книжка ставит себе целью ввести учащегося ¹) в новый для него метод геометрического исследования. Рядом с этой задачей отступает на второй план другая— ознакомление с новыми геометрическими образами (эллипс, гипербола и т. п.) и фактами. Вот почему на страницах этой книги учащийся чаще всего будет встречаться с теми же линиями — прямой и окружностью, какими он занимался в школьной геометрии. И если учащийся еще не окончательно окреп в элементарной математике, то изучение такого курса не отвлечет его внимания в совершенно новую область, а, наоборот, освежит и упрочит ранее полученные знания.

За счет объема сообщаемых сведений автор имел возможность изложить основные понятия аналитической геометрии с большей полнотой и строгостью, чем это иногда делается даже в курсах, предназначенных для высшей школы. К числу деталей, которые могут быть опущены при первом изучении без ущерба для понимания остального текста, можно отнести § 8, 20, 23, 25, 26 и все напечатанное мелким шрифтом.

Из методических принципов, которые хотелось бы видеть соблюденными при работе над этой книгой, автор склонен

t) У которого предполагаются только сведения из элементарной математики в объеме 9 классов средней школы. В этот объем уже входит понятие о координатах в связи с графическим изображением функций.

6

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

настаивать только на одном: решение задач, которое по общему замыслу неотделимо от изучения текста, должно всякий раз сопровождаться чертежом—точным или схематическим, выполненным до выкладки или после нее.

Я. Дубнов

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Второе издание книги Я. С. Дубнова печатается без изменений. Исправлены лишь замеченные опечатки и отдель

ные неточности.

199.  Найти площадь треугольника, ограниченного прямыми 2x4-Пу 4-3 = 0, 2x4-у = 7, 2х —9у4-23 = 0.

200. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (5, 3) и пересекающей прямую Зх 4- 2у = 7 под углом 45°.

201. Две противоположные вершины квадрата ABCD находятся в точках Л(3, —1) и С (6, 4). Найти: 1) уравнения диагоналей АС и BD, 2) координаты вершин В и D, 3) уравнение круга, описанного около этого квадрата.

202. Показать, что прямые Зх— 4у4~9 = 0 и 6х — 8у = 25 параллельны, и найти расстояние между ними.

203. Показать, что окружности х² 4* У² — 6х 4’ 2у — 107 = 0 и х² 4- у² — 12х — 2у — 15 = 0 касаются друг друга. Решить задачу двумя способами: 1) отыскивая общие точки окружностей; 2) вычисляя радиусы и расстояния между центрами.

204. Найти уравнение окружности, описанной около треугольника с вершинами А (3, 4), В (2, 2), С (5, 3). Решить задачу двумя способами: 1) методом неопределенных коэффициентов, подставляя координаты точек A, B_t С в уравнение (72); 2) отыскивая центр как точку пересечения перпендикуляров, восставленных к сторонам треугольника в их серединах.

205. Дан прямоугольник со сторонами а и Ь. По какой линии должна двигаться точка, для того чтобы сумма квадратов ее расстояний от четырех сторон прямоугольника была все время равна квадрату диагонали последнего?

206. В круге радиуса R проведены диаметр АВ и хорда АС. На продолжении хорды отложен отрезок CD = ВС. По какой линии движется точка D, когда хорда АС вращается около точки Л?

207. Решить задачу § 1 (черт. 1), следуя такому плану: принимаем RC и RB за положительные полуоси X и У; считая известными AR = m и RC=n, пишем уравнения прямых АВ и ВС; полагая MQ = а (неизвестное), выражаем через и координаты точек Р, N, Q; записывая, что QN = d, получаем квадратное уравнение для о.

208. В треугольник АВС вписываются всевозможные прямоугольники MMPQ, у которых сторона ММ лежит на АС (черт. 1 § 1). Найти геометрическое место центров (симметрии) этих прямоугольников.

О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ОБЩНОСТИ НЕКОТОРЫХ ФОРМУЛ

При выводе формул аналитической геометрии из чертежа часто возникает законное сомнение относительно общности этих формул: сохранят ли они свою силу, если предположим не такое, а иное расположение изучаемой фигуры относительно осей координат? Мы укажем сейчас прием, который позволяет во многих случаях разрешить это сомнение. Основная мысль заключается в следующем. Те формулы, которые действительно обладают общностью, должны иметь специальную алгебраическую структуру: они не должны нарушаться при переходе [по формулам (17) § 13] от координат х, у к любым новым координатам х', у'. Обратно, если наличие такой алгебраической структуры непосредственной про- верной установлено, то достаточно представить себе начало координат перенесенным в такую точку, чтобы изучаемая фигура по отношению к новым осям расположилась так, как в нашем выводе она предполагалась расположенной относительно старых осей. Тогда в новой системе координат формула во всяком случае будет справедлива (в силу доказанного), а переход от новой системы к старой не должен нарушить нашей формулы (в силу ее алгебраической структуры), следовательно, она справедлива ив старой системе. Поясним эти общие рассуждения примерами.

Пример 1. Допустим, что формула для расстояния между двумя точками [§ 9, формула (11)]

= V (х,-*,)»+ (?,-,)»  (I)

была бы нами выведена только из чертежа, предполагающего, что обе точки At и А₂ лежат в I четверти. Желая распространить этот вывод на случай любого расположения точек, убедимся прежде всего в том, что формула (I) имеет описанную выше алгебраическую структуру. Действительно, так как формула эта содержит только разности координат, то она не нарушится, если к обеим абсциссам (к обеим ординатам) прибавить или от них отнять одну и ту же величину [как это происходит при преобразовании координат по формулам (16), (17) § 13]. Пусть теперь точки Ai и А₂ будут расположены как угодно относительно осей ОХ и OY (на черт. 70 точка Ai лежит во II четверти, точка А₂— в IV). Всегда можно представить себе оси координат так перенесенными, чтобы