Арифметика 5—6 классы (Пономарёв, Стратилатов, Сырнев) 1965 год - старые учебники

§ 12. Числа простые и составные. Таблица простых чисел. Разложение чисел на простые множители. Взаимно простые числа

§ 13. Наименьшее общее кратное двух или нескольких чисел 96

§ 14. Задачи на все действия с натуральными числами 99

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ.

§ 15. Понятие дроби

§ 16. Свойства дробных чисел 129

§ 17. Сложение дробей. Законы сложения дробей 143

§ 18. Вычитание дробей. Свойства вычитания дробей. Проверка сложения и вычитания дробей 154

§ 19. Умножение дробей 167

§ 20. Деление дробей 189

§ 21. Решение примеров и задач на все действия с обыкновенными дробями 202

§ 22. Решение задач с геометрическим содержанием 234

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.

§ 23. Основные свойства десятичных дробей 251

§ 24. Сложение десятичных дробей 262

§ 25. Вычитание десятичных дробей 266

§ 26. Умножение десятичных дробей 271

§ 27. Деление десятичных дробей 279

§ 28. Некоторые сведения о процентах 289

§ 29. Решение задач с геометрическим содержанием 294

§ 30. Задачи и примеры на все действия с десятичными дробями 300

СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ. ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН.

§ 31. Запись десятичных дробей в виде обыкновенных и обращение обыкновенных дробей в десятичные (точно и приближенно). Понятие о периодической дроби 311

§ 32. Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями 318

§ 33. Отношение величин и чисел. Числовой масштаб и его применение 327

§ 34. Повторение курса 5-го класса 335

ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

§ 35. Точные и приближенные значения величин 347

§ 36. Абсолютная погрешность приближенного числа 350

§ 37. Округление чисел 353

§ 38. Десятичные знаки и значащие цифры 355

§ 39. Сложение и вычитание приближенных чисел 356

§ 40. Умножение и деление приближенных чисел 359

§ 41. Совместные действия над приближенными числами 362

ПРОЦЕНТЫ.

§ 42. Понятие процента 367

§ 43. Нахождение процентов данного числа 368

§ 44. Нахождение числа по его процентам 373

§ 45. Нахождение процентного отношения двух чисел 376

§ 46. Относительная погрешность приближенного числа 382

§ 47. Некоторые задачи, связанные с процентами 384

ПРОПОРЦИОНАЛbНОСТb ВЕЛИЧИН

§ 48. Отношения 391

§ 49. Пропорция и ее свойства 396

§ 50. Нахождение неизвестного члена пропорции 397

§ 51. Перестановка членов пропорции 398

§ 52. Прямая пропорциональность двух величин 399

§ 53. Обратная пропорциональность двух величин 405

§ 54. Пропорциональная зависимость трех и более величин 411

§ 55. Пропорциональное деление 416

§ 56. Повторение курса 6-го класса 425

Приложение 442

Ответы 446

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛО НУЛЬ.

ВВЕДЕНИЕ.

Вы изучали в первых классах школы основы науки о числах — арифметику. Название «арифметика» происходит от греческих слов: «арифмос» — число и «техне» — искусство. Вы узнали, какие числа называются целыми, и научились их складывать, вычитать, умножать и делить.

В 5-м классе вы будете продолжать изучение арифметики. Вы узнаете некоторые теоретические положения науки математики, относящиеся к числам и действиям с ними. Знание теории позволит вам производить вычисления увереннее, с меньшим количеством записей, быстрей. Изучение курса арифметики позволит вам находить более рациональные способы вычислений, познакомит вас с решением различных практических, жизненно необходимых задач и позволит перейти к изучению других разделов математики.

§ 1. Десятичная система счисления. Устная и письменная нумерации многозначных чисел

2. Множество и его численность. В природе, на производстве и в быту человека окружает множество различных предметов. На производстве рабочий имеет дело с множеством инструментов, с множеством станков, с множеством изделий. В лесу человека окружает множество деревьев, множество птиц. В школе учащегося окружает множество товарищей, столы, парты, книги, тетради и т. д. Можно привести много примеров различных множеств: бригада рабочих, коллекция марок (открыток, картин и др.), рой пчел, стадо коров (овец, коз, гусей и т. д.), стая птиц, табун лошадей и др. Наблюдая множество тех или иных предметов, человек выделяет в нем отдельные предметы, отдельные элементы . Так, из стада коров выделяется одна — впереди идущая корова, из множества тетрадей выделяется одна — тетрадь по арифметике и т. д. Из множества предметов выделяются единичные элементы, составляющие это множество.

В практической деятельности человека приходится часто сопоставлять элементы одного множества с элементами другого. Напри мер, множество учащихся сопоставляется с множеством парт в классе; множество людей, присутствующих на собрании, сопоставляется с множеством стульев, на которых присутствующие будут сидеть; множество пассажиров и множество билетов, которые выдаются для проезда, и т. д. Приведите еще примеры необходимости сопоставления элементов двух множеств.

При сопоставлении элементов двух множеств иногда обнаруживается, что в одном из них элементов столько же, сколько и в другом: сколько учеников в классе, столько же и крючков на вешалке, в раздевалке; и каждый ученик вешает свое пальто на отдельный крючок вешалки. В этом случае множества называют равночисленными. Но может случиться, что на вешалке не хватит крючков для всех учеников данного класса и придется на один крючок вешалки повесить пальто двух учеников. В этом случае говорят, что численности множеств различны: множество учеников имеет численность большую, чем множество крючков на вешалке для данного класса. Может оказаться, наоборот, что каждый ученик класса повесит свое пальто на отдельный крючок вешалки и на ней еще останутся свободные крючки. В этом случае множество крючков имеет численность большую, чем множество учеников класса.

Как проще узнать численность множества? Как проще узнать, равночисленны множества или нет, и если они не равночисленны, то численность какого больше?

Численность множества узнают при помощи счета его элементов: пересчитывают элементы множества и выражают его численность числом.

3. Последовательность натуральных чисел. Для счета предметов введены числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14 и т. д.

Эти числа называются натуральными. Вы их называли также целыми числами. Множество натуральных чисел имеет важное свойство: каждое натуральное число на единицу больше своего предыдущего. Первым натуральным числом считается единица. Последнего натурального числа нет и быть не может: каждое натуральное число можно увеличить на единицу, и получим натуральное число, следующее за данным. Множество натуральных чисел представляет собой бесконечную последовательность чисел.

Чтобы найти численность множества, пересчитывают его элементы с помощью последовательности натуральных чисел. Если в двух множествах окажется одинаковое число элементов, то, значит, численности этих множеств одинаковы. Найдите численности множества учеников и множества учениц своего класса. Какое множество имеет большую численность? Почему?

Натуральными числами пользуются не только при счете предметов, но и при измерении величин. Так, можно, например, измерить рост человека и выразить его некоторым числом сантиметров. Каков ваш рост? Если вы не знаете его, измерьте. Как это сделать, показано на рисунке. Вы получите некоторое натуральное число. Оно выражает ваш рост в сантиметрах.

В математике часто говорят о некотором натуральном числе. В этом случае для обозначения натурального числа применяют букву, обычно латинского алфавита. Если обозначить некоторое натуральное число буквой «п», то следующее за ним натуральное число, большее его на единицу, будет обозначено следующим образом: «n + 1».

4. Десятичная система счисления. Нумерация.

Чтобы применить на практике натуральные числа, чтобы производить с ними действия, нужно уметь их называть и записывать. В результате многовекового исторического развития была выработана десятичная система счисления.

За основу были взяты первые девять натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Для них были установлены названия и особые письменные значки — цифры. Эти первые девять натуральных чисел составляют первый разряд, который называется разрядом единиц. Следующее натуральное число — десять (десяток) — берется за единицу второго разряда, разряда десятков. Счет десятками часто применяется в жизни: десятками считают яйца, конверты, тетради и др. Десять десятков составляют единицу третьего разряда — сотню. Сотня содержит 100 единиц. Счет сотнями также имеет применение: выпускаемая цехом, заводом продукция часто учитывается не только поштучно, но и сотнями. Десять сотен принимают за единицу следующего, четвертого разряда натуральных чисел, разряда тысяч. Десять тысяч составляют единицу пятого разряда — десятков тысяч и т. д. В четвертом классе вы выполняли действия с числами, меньшими миллиона. Но счет можно продолжить и дальше, образуя следующие разряды: десять единиц каждого разряда образуют одну единицу нового разряда, следующего за данным.

Чтобы удобнее читать, записывать числа и считать, каждые три разряда, начиная с разряда единиц, объединяют в один класс. Вы знаете класс единиц; в нем три разряда: единицы, десятки и сотни. Второй класс вы также знаете — это класс тысяч; в нем также три разряда: единицы тысяч, десятки и сотни тысяч. Третий класс — класс миллионов; в нем тоже три разряда. Рассмотрите таблицу классов и разрядов многозначных чисел. С помощью этой таблицы прочитайте нижеописанные числа: население Земли составляет 2 900 000 000 человек (по данным 1959 г.); число жителей в СССР составляет 212 000 000 человек (по данным 1960 г.).

Принятая система счета называется десятичной потому, что единица каждого разряда, начиная со второго, содержит 10 единиц разряда предыдущего.

Как записать любое натуральное число? Чтобы записать любое натуральное число, кроме девяти первых натуральных чисел, вводят еще одно число — нуль — и десятую цифру для его записи — «0». С помощью введенных десяти цифр можно записать любое натуральное число. При записи натуральных чисел пользуются правилом поместного значения цифры. Что это значит? В записи каждого натурального числа цифра, записанная на первом месте (крайняя справа), обозначает разряд единиц; цифра, записанная слева от единиц (вторая цифра справа), обозначает десятки; цифра, записанная на

третьем месте, обозначает сотни и т. д. Так, в записи натураль ных чисел 142; 5 241; 2 793 цифра «2» обозначает соответственно 2 единицы в первом числе, 2 сотни во втором и 2 тысячи в третьем. При записи многозначных чисел классы отделяются друг от друга промежутками в одну цифру. Чтение натурального числа начинается со старших классов н разрядов.

Так, число 2 781 534 078 следует прочитать так: два миллиарда, семьсот восемьдесят один миллион пятьсот тридцать четыре тысячи семьдесят восемь.

Посмотрите прилагаемую таблицу названий классов и разрядов многозначных натуральных чисел и прочитайте следующие числа;

5 620 709; 12 531 608; 2 143 601 875; 10 547 903 075.

Выполните следующие упражнения, Внимательно отнеситесь к решению (устному) примеров под номером 12. Решение этих примеров поможет вам быстрей освоить работу на счетах и в дальнейшем поможет правильно производить вычисления.

УПРАЖНЕНИЯ

3.

1) Как называются единицы 1-го класса? 2-го класса? 3-го класса? 4-го класса?

2) Какой разряд и какого класса составляют десятки единиц? единицы тысяч? сотни тысяч? десятки миллионов?

3) Назовите все разрядные единицы 1-го класса, 3-го класса.

4) Назовите все разрядные единицы 2-го класса, 4-го класса.

4.

1) Во сколько раз единица меньше десятка? десяток меньше сотни? сотня меньше тысячи?

2) На сколько единиц десяток больше единицы? сотня больше десятка? тысяча больше сотни?

3) Во сколько раз десяток меньше трех тысяч?

4) На сколько единиц 5 тысяч больше 5 сотен?

5.

1) Отложите на счетах единицу; одну тысячу; один миллион.

2) Рассмотрите рисунок русских счетов. Прочитайте числа, отложенные на счетах.

6.

1) Запишите число, прочитайте его и отложите на счетах, если оно содержит пятнадцать единиц; пятнадцать десятков; пятнадцать сотен; пятнадцать тысяч; пятнадцать миллионов.

2) Напишите и отложите на счетах число, состоящее из трехсот сорока двух единиц; трехсот сорока двух тысяч; трехсот сорока двух миллионов.

7. 1) Напишите, отложите на счетах и прочитайте число, содержащее:

а) 3 единицы 2-го разряда и 7 единиц 1-го разряда 1-го класса;

б) 2 единицы 2-го разряда 3-го класса, 7 единиц 2-го разряда и 4 единицы 1-го разряда 1-го класса;

в) 9 единиц 3-го разряда и единицу 1-го разряда 3-го класса, 2 единицы 2-го разряда 2-го класса и единицу 2-го разряда 1-го класса.

2) Напишите, отложите на счетах и прочитайте число, содержащее: а) единицу 3-го разряда и 3 единицы 1-го разряда 2-го класса, 5 единиц 2-го разряда и 8 единиц 1-го разряда 1-го класса;

б) 3 единицы 1-го разряда 3-го класса, 3 единицы 2-го разряда 2-го класса, 3 единицы 3-го разряда и 3 единицы 1-го разряда 1-го класса;

в) 5 единиц 2-го разряда 3-го класса, 4 единицы 3-го разряда 2-го класса, 3 единицы 2-го разряда и единицу 1-го разряда 1-го класса.

8.

1) Сколько десятков в сотне? в тысяче? в миллионе? в миллиарде? в двадцати тысячах?

2) На сколько миллион больше единицы? десятка? сотни? тысячи?

3) Во сколько раз единица 1-го разряда 3-го класса больше единицы 2-го разряда 2-го класса? единицы 2-го разряда 1-го класса?

9.

1) Сколько сотен в тысяче? в миллионе? в миллиарде? в сорока тысячах? в двадцати миллионах?

2) На сколько единица 2-го разряда 1-го класса меньше единицы 3-го разряда 1-го класса? единицы 1-го разряда 2-го класса?

3) Во сколько раз единица 2-го разряда 1-го класса меньше единицы 1-го разряда 2-го класса? единицы 2-го разряда 2-го класса?

10.

1) Прочитайте написанные числа, отложите их на счетах

и укажите, какие разрядные единицы и каких классов имеются в каждом из следующих чисел: 3 257; 42 009; 106 428; 26 050 064; 10 203 074.

2) Прочитайте написанные числа, отложите каждое из них на счетах и укажите, какие разрядные единицы и каких классов в каждом из них отсутствуют:

2 000 856; 80 065 003; 705 030 402; 126 000 308; 35 300 601;

5 000 986 010; 500 770 032.

11.

Запишите цифрами все числа, встречающиеся выданных предложениях:

1) Население СССР перед 1941 г. составляло сто девяносто миллионов шестьсот семьдесят восемь тысяч человек; в 1959 г. население СССР составляло двести восемь миллионов восемьсот двадцать шесть тысяч человек, т. е. увеличилось на восемнадцать миллионов сто сорок восемь тысяч человек; за те же годы численность городского населения увеличилась с шестидесяти миллионов четырехсот девяти тысяч человек до девяноста девяти миллионов семисот восьмидесяти двух тысяч человек, т. е. на тридцать девять миллионов триста семьдесят три тысячи человек.

2) Вес 3-го советского искусственного спутника Земли равен одной тысяче тремстам двадцати семи килограммам; при запуске он вышел на орбиту на расстоянии одной тысячи восьмисот восьмидесяти километров от Земли; за триста пятьдесят восемь суток спутник сделал пять тысяч оборотов вокруг Земли, пролетев двести двадцать восемь миллионов двести тысяч километров.