• Б. Деление

22. Правила деления 64

23. Решение уравнений 68

• 6. Координатная плоскость

24. Точки на плоскости. и числа 74

25. Диаграммы и графики 78

26. График температуры 86

27. График движения 91

Глава 2. делимость целых чисел

• 7. Кратные и делители

28. Кратное 96

29. Делитель 99

30. Дополнительные. делители 100

31. Общие делители. Общие кратные 102

32. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное 104

• 8. Признаки делимости

33. Делимость суммы 107

34. Делимость произведения 109

35. Признаки делимости на 2 и на 5 ПО

36. Признаки делимости на 9 и на 3 ПЗ

• 9. Разложение чисел на простые множители

37. Простые и составные числа П7

38. Как разложить число на простые множители 119

39. Разложение на простые множители произведения и частного 122

40. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители 124

• 10. Действия над множествами

41. Подмножество 127

42. Пересечение множеств 128

43. Объединение множеств 132

Глава 3. обыкновенные дроби, действия над ОБЫКНОВЕННЫМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ

• 11. Сравнение дробей

44. Нахождение дроби числа и числа по его дроби 135

45. Равные дроби. 138

46. Сокращение дробей 140

47. Какая дробь меньше и какая больше? 144

48. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 145

49. Сравнение дробей с разными знаменателями 147

50. Правильные и неправильные дроби 149

• 12. Сложение и вычитание

51. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 15!

52. Сложение дробей с разными знаменателями 154

53. Вычитание дробей с разными знаменателями 158

54. Сложение смешанных чисел 160

55. Вычитание смешанных чисел 164

• 13. Умножение и деление

56. Умножение дробей. 168

57. Взаимно обратные дроби 173

58. Деление дробей 176

59. Умножение и деление смешанных чисел 179

60. Умножение смешанного числа на натуральное 182

• 14. Действия над обыкновенными и десятичными дробями

61. Запись обыкновенной дроби в виде десятичной 191

62. Сложение и вычитание 195

63. Умножение и деление 197

• 15. Вычисления по формулам

64. Расписывание формулы 205

65. Формула площади треугольника 207

66. Формулы длины окружности и площади круга 211

• 16. Рациональные числа и действия над ними

67. Рациональные числа 214

68. Действия над рациональными числами 216

69. Решение уравнений 221

70. Задачи повышенной трудности 225

Глава 4. геометрические построения

• 17. Построения с помощью линейки, циркуля, угольника и транспортира

71. Геометрические построения и инструменты 233

72. Окружность как множество точек 234

73. Взаимное расположение прямой и окружности 235

74. Взаимное расположение двух окружностей 237

75. Пучки параллельных прямых 239

76. Направление на плоскости —

77. Угол между двумя направлениями 241

78. Перенос фигуры по заданному направлению 244

79. Фигуры, симметричные относительно оси 246

80. Построение оси симметрии двух точек 248

81. Деление отрезка на две равные части 250

82. Построение перпендикуляра к прямой 251

83. Фигуры, имеющие ось симметрии 253

• 18. Построение и равенство треугольников

84. Виды треугольников 254

85. Симметрия равнобедренного треугольника 256

86. Треугольники с соответственно равными сторонами 257

87. Построение угла, равного данному 260

88. Деление угла на две равные части 261

89. Поворот фигуры около точки 262

90. Треугольники с двумя соответственно равными сторонами и pat ними углами между ними 265

91. Треугольники, имеющие по одной равной стороне и по два

соответственно равных угла, прилежащих к этой стороне 267

00. Треугольники е двумя соответственно равными сторонами и равными углами между ними

Задача. Построить треугольник АВС, в котором сторона АВ равна 3,5 см, сторона АС равна 4,5 см и угол между ними равен 50°.

Построим угол А, равный 50° (рис. 188). На одной его стороне отложим отрезок АВ длиной 3,5 см, а на другой стороне отложим отрезок АС длиной 4,5 см. Соединим точки В и С. Получим треугольник АВС, у которого угол ВАС равен 50°, сторона АВ равна 3,5 см, а сторона АС равна 4,5 см.

Сколько бы мы ни построили треугольников по этим данным, все они будут равны между собой. На рисунке 188 такими треугольниками являются АВС и DEF. Следовательно, равенство двух соответственных сторон и углов между ними двух треугольников служит признаком равенства самих треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

_в 1462. Постройте треугольник АВС, если:

а) АВ = 4 см, АС=5 см, Z ВАС = 120°;

б) Z С = 90°, АС - ВС = 2,8 см;

в) АВ = ВС = 3,2 см, Z. А = 45°.

1463. На рисунке 189 начерчена ломаная АМРВ. у которой АМ = ВР и Z АМР = = Z ВРМ. Докажите, что расстояние между точками А и Р равно расстоянию между точками В и М.

1464. Через общий центр двух окружностей (рис. 190) проведены отрезки МР и Т/С, концы которых лежат на этих окружностях. Покажите, что расстояние между точками М и Т равно расстоянию между точками Р и /С.

1465. Через середину отрезка АВ проведен перпендикуляр к этому отрезку. Возьмите на перпендикуляре точку Y и покажите, что она одинаково удалена от точек А и В.

1466. В четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны. Покажите, что в этом четырехугольнике стороны AD и ВС равны.

1467. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Эта точка делит пополам каждую диагональ. Докажите, что противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно равны.

1468. Постройте прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 6 см и AD = 3 см. Отложите на стороне АВ отрезок ВМ, равный 1,5 см, и отрезок Л/С, равный 1,5 см. Докажите, что расстояние между точками С и М равно расстоянию между точками D и /С.

1469. На одной из сторон прямого угла НОК отложите отрезки ОА = 3 см и ОВ = 5 см. На другой стороне угла отложите отрезки ОМ — 3 см и ОР =5 см. Докажите, что расстояние между точками А и Р равно расстоянию между точками В и М.

1470. На отдельном листе бумаги постройте два треугольника со сторонами 6 см и 9 см и углом между ними 70°. Вырежьте эти треугольники и наложением убедитесь, что они равны.

1471. Через концы отрезка НК под углом в 110° к нему в одной и той же полуплоскости проведены два равных отрезка ЛК и ВН (рис.

191). Покажите, что расстояние между точками А и Н равно расстоянию между точками В и К.

1472. Две окружности имеют общий центр. В каждой из них проведено по одному диаметру АВ и РК (рис. 192). Докажите, что расстояние между точками А и Р равно расстоянию между точками В и К.

1473. В окружности с центром О проведите диаметр АВ и луч ОР, перпендикулярный диаметру АВ и пересекающий окружность в точке М. Докажите, что расстояния точек Л и В до точки М равны.

1474. Постройте прямоугольник ABCD. Середину стороны AD обозначьте буквой Т. Докажите, что расстояние между точками В и Т равно расстоянию между точками С и Т.

Рис. 191

91. Треугольники, имеющие по одной равной стороне и по два соответственно равных угла, прилежащих и отоЙ стороне

Задача. Построить треугольник ЛВС по стороне АВ = 4 см и углам САВ = 60^е и СВА = 75°.

Построим отрезок АВ, равный 4 см, и луч AD, образующий с отрезком АВ угол 60° (рис. 193). По ту же сторону от отрезка проведем луч BE, образующий с отрезком АВ угол 75°. Обозначим точку пересечения лучей AD и BE точкой С. Треугольник ЛВС—искомый. В нем сторона АВ равна 4 см, угол САВ равен 60° и угол СВА равен 75°.

Рис. 192

Сколько бы мы ни построили треугольников по этим данным, все они будут равны между собой. На рисунке 193 такими треугольниками являются △ АВС и △ ОМЫ. Следовательно, равенство одной пары сторон и прилежащих к ней углов двух треугольников служит признаком равенства самих треугольников.

Если сторона и углы, прилежащие к ней, одного треугольника соответственно равны стороне и углам, прилежащим к ней, другого треугольника, то треугольники равны.

1475. Постройте треугольник МКР, если: а) МК = 5,1 сл<; ZM = 24°; ZJ<=120^o;

б) МР = 3,8 см; /М=/Р-* 45°;

в) МК = МР; КР = 7 см; 90°.

1476. На пересекающихся прямых (рис. 194) отложены равные отрезки О А и ОВ. Через точки А и В проведены параллельные отрезки ЛЯ и ВТ. Докажите, что отрезки ОН и ОТ равны.

1477. Из вершины В равнобедренного треугольника АВС вне треугольника проведены

лучи, образующие с боковыми сторонами равные углы и пересекающие продолжение основания треугольника в точках Р и Т. Докажите, что треугольник РВТ будет равнобедренным (рис. 195).

1478. Начертите окружность и два ее диаметра АВ и CD. Докажите, что точки С и D одинаково удалены от диаметра АВ (рис. 196).

1479. Начертите острый угол РТМ. Отметьте на стороне ТР точку Я, а на стороне ТМ точку В так, чтобы отрезки ТА и ТВ были равны. Докажите, что расстояние точки В до луча ТР равно расстоянию точки А до луча ТМ.

1480. Начертите угол PNK и его биссектрису. Возьмите на биссектрисе точку М и докажите, что расстояния точки М до сторон NP и равны.

1481. На пересекающихся прямых от точки

их пересечения отложены равные отрезки О А и ОТ (рис. 197). Из точек А и В проведены отрезки АМ и ВТ, образующие равные углы с лучами АН и ТК. Покажите, что отрезки АМ и ВТ равны.

1482. Докажите, что прямая, перпендикулярная биссектрисе угла, отсекает на сторонах угла равные отрезки.

1483. Начертите прямоугольник ABCD. Через вершины В и С проведите луч ВТ и СМ, пересекающие сторону AD в точках К и Н. Докажите, что отрезки ВК и СН равны, если Z АВК = £DCH.

Рис. 197

Оглавление

Глава 1. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ числа.