Тригонометрические функции в курсе математики средней школы (Жогина) 1962  год - старые учебники

ОТ РЕДАКТОРА

Одной из главных задач советской школы является связь преподавания с жизнью, с практикой, с вопросами социалистического строительства.

Пытаясь осуществить эту задачу в области математики, автор находит целесообразным использовать систему изложения тригонометрических функций, отличной от традиционной.

Предлагаемая работа «Тригонометрические функции в курсе математики средней школы» старшего преподавателя кафедры элементарной математики Чечено-Ингушского государственного педагогического института Л. И. Жогиной может служить учебным пособием для учителей 8—11 классов и содержит программный материал классной работы.

А. БОЯРЧУК.

ВВЕДЕНИЕ.

Предлагаемая система изложения теории тригонометрических функций в курсе математики средней школы отличается от традиционной.

1. Вся теория тригонометрических функций (доказательство свойств тригонометрических функций, вывод всех формул гониометрии) строится на основе определений тригонометрических функций действительного числа.

Это дает возможность осуществить связь теории тригонометрических функций с курсом алгебры, которая выразилась в том, что 1) тригонометрические функции определяются на множестве действительных чисел и 2) рассматривается как новый класс функций, обладающих такими же свойствами, что и другие функции, изучаемые в курсе алгебры, а также новыми свойствами.

Тригонометрическим функциям даются определения, основанные на понятиях о направленных отрезках (векторах) и их проекциях на оси.

Сведения из учения о векторах и теории проекций сосредоточены в первой главе.

Учащихся следует знакомить с ними постепенно, по мере изучения курса, в тот момент, когда появится естественная необходимость ввести то или иное понятие (определение) или суждение о нем (теорему).

Так как вся теория тригонометрических функций строится на определениях, основанных на некоторых геометрических образах, то графики функций можно чертить после изучения всех свойств тригонометрических функций.

2. При рассмотрении тригонометрических функций числового значения угла в VIII и IX классах (см. главу II) мы исходим из потребности ознакомления учащихся (особенно восьмого класса) со сведениями, необходимыми для решения задач практического характера и подготовки учащихся к восприятию более абстрактной теории тригонометрических функций действительного числа.

Это определило содержание материала второй главы. Материал первого параграфа второй главы с присоединением к нему вопроса о решении прямоугольного треугольника охватывает все те сведения о тригонометрических функциях, которые могут быть сообщены учащимся VIII класса. Функция ctg х в VIII классе не рассматривается, так как ее практическое применение незначительно. В IX классе она вводится с целью упрощения изложения некоторых вопросов теории.

О тригонометрических функциях числового значения любого угла достаточно изложить в IX классе те сведения, которые рассмотрены в §§ 2—3 главы II, а затем перейти к тригонометрическим функциям действительного числа (см. главу III).

3. Упражнения, данные в конце каждого параграфа, имеют цель показать учителю, какого типа задачи следует предлагать учащимся для того, чтобы помочь им глубже осмыслить соответствующий вопрос теории.

В заключение отметим, что изучение всего материала не требует ни в VIII, ни в IX классах значительного увеличения числа часов, отводимых учебным планом на изучение теории тригонометрических функций.

¹ Вопрос этот нами не рассматривается, так как и при нашем определении тригонометрических функций изложение его может не отличаться от традиционного.

ГЛАВА I.

ВЕКТОРЫ.

• 1. Сведения о векторах, необходимых для определения тригонометрических функций

В этом параграфе излагаются только те сведения о векторах, которые необходимы для определения тригонометрических функций.

При формировании понятия о геометрическом векторе следует исходить из имеющихся у учащихся представлений о конкретных векторных величинах.

Изучая курс физики, учащиеся знакомятся со скалярными и векторными величинами.

Векторную величину можно охарактеризовать с помощью задания отрезка определенной длины и определенного направления.

Такой отрезок называется вектором.

Понятие о векторе можно описать следующими определениями.

Определение 1. Вектором называется отрезок, определенный двумя точками, заданными как его начало и его конец.

Вектор, началом которого служит точка А, а концом — точка В, обозначается так: АВ.

Всякий вектор имеет длину и направление.

Определение 2. Длиною вектора АВ* называется длина отрезка АВ. Направлением векто вается направление, в котором перемещается 1 АВ точка, движущаяся от его начала к его конц_

* Здесь и дальше стрелка над буквами, обозначающими вектор, не ставится, если перед этими буквами стоит слово «вектор».

же точки О. При этом роль лучей ОА и ОВ одинакова, так что АОВ и ВОА — два различных обозначения одного и того же угла, образованного лучами ОА и ОВ. Но можно рассматривать каждый угол как фигуру, полученную в результате вращения одного из лучей, первоначально совпадавшего с другим лучом, вокруг общего начала О этих лучей. При этой точке зрения лучи ОА и ОВ, образующие угол, приобретают различный смысл: в то время как один из лучей, — например, луч ОА, оставался неподвижным, другой луч — луч ОВ, называемый подвижны м лучом, пришел в положение, занимаемое им в фигуре АОВ, после некоторого вращения вокруг общего начала О этих лучей.

В тригонометрии угол рассматривается именно с этой обобщенной точки зрения, т. е. как угол вращения.

Определение 9. Условимся называть углом фигуру, состоящую из двух лучей, исходящих из одной и той же точки, и образованную путем некоторого вращения одного из лучей, первоначально совпадающего с другим лучом, вокруг общей начальной точки этих лучей.

При обозначении угла сначала указывается неподвижный (первый, начальный) луч, а затем подвижный (второй, конечный) луч. Так, если обозначение угла есть АОВ, то этот угол образован неподвижным лучом ОА и подвижным лучом ОВ.

Если угол АОВ расположен на ориентированной плоскости (определение 8), то он может быть вполне охарактеризован некоторым числом.

Определение 10. Алгебраическим значением угла называется действительное число, абсолютное значение которого есть результат измерения угла угловой единицей и которое является: а) положительным числом в случае, если угол образован вращением в положительном направлении; б) отрицательным числом в случае, если угол образован вращением в отрицательном направлении.

Таким образом, алгебраическое значение угла, расположенного на ориентированной плоскости, есть число, абсолютное значение которого выражает меру вращения, посредством которого этот угол образован, а знак которого указывает направление этого вращения.

Например, если а = — 700°, то а = 20° + 360°(-2),

т. е. для того, чтобы совершить вращение на — 700°, луч может сначала совершить вращение на 20° и затем на — 720°.

3. По каждой из окружностей движущаяся точка может перемещаться в двух противоположных направлениях: в направлении движения конца часовой стрелки и в противоположном направлении. Можно условиться одно из этих направлений называть положительным, а противоположное — отрицательным.

Определение 11. Окружность, на которой каким-либо образом (например, стрелкой или буквами) указано, какое из двух направлений движения по ней условились называть положительным, называется ориентированной окружностью.

Если на окружности даны две различные точки А и В, то этими точками не определяется ни длина, ни направление пути, который должна пройти по окружности движущаяся точка, чтобы, выйдя из точки А, достигнуть точки В, так как движущаяся точка может перемещаться по окружности либо в положительном, либо в отрицательном направлении, и кроме того, придя в точку В, может совершить еще один и несколько полных оборотов по окружности.

Определение 12. Если на окружности даны две точки А и В и если при этом точка А задана как начало, и точка В — как конец, то к а ж д ы й из бесчисленного множества путей, которые может описать по окружности движущаяся точка, чтобы, выйдя из точки А, достигнуть точки В, называется направленной дугой.

При обозначении направленной дуги сначала указывается ее начало, а затем ее конец.

Если направленная дуга АВ находится на ориентированной окружности, то она может быть вполне охарактеризована некоторым числом.

Определение^. Алгебраическим значением дуги называется действительное число, абсолютное значение которого есть результат измерения дуги дуговой

Ось L и вектор ON' (чертеж 36), начало которого лежит на оси L, служат изображением углов, алгебраические значения которых отличаются друг от друга на число вида 360° -п (п — целое число), если они выражены в градусной мере.

Поэтому нахождение значений тригонометрических функций алгебраического значения а любого угла (дуги) может быть сведено к нахождению значений тригонометрических функций алгебраического значения а₀ угла (дуги), удовлетворяющего условию: 0°  360°.

Если при этом окажется, что число а₀ удовлетворяет условию 90° а₀С 180°, то нахождение значений тригонометрических функций алгебраического значения а данного угла (дуги) сводится с помощью тождеств 8—10 (см. § 1 этой главы) к нахождению тригонометрических функций алгебраического значения угла (дуги), принадлежащего промежутку [0°, 90°J.

Если же число а₀ удовлетворяет условию 180°а₀ 360°, то оно может быть представлено в виде а₀' + 180°, где число а₀' удовлетворяет условию 0^оа₀' 180°.

С помощью тождеств (24) и (25) нахождение значений каждой из тригонометрических функций от алгебраического значения а₀' -|- 180° угла сводится к нахождению значений тригонометрических функций алгебраического значения а₀' угла (дуги), удовлетворяющего условию 0° а₀' 180°.

Таким образом, каково бы ни было алгебраическое значение угла (дуги), значение тригонометрической функции его можно найти по таблице, составленной для алгебраических значений углов (дуг) от 0° до 90°.

ГЛАВА III.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

• 1. Определения тригонометрических функций числового аргумента.

1. В курсе алгебры рассматриваются функции действительного числа. От тригонометрических функций аргумента, значениями которого служат значения конкретных величин (угла, дуги), перейдем к тригонометрическим функциям аргумента, значениями которого служат любые действительные числа.

Этот переход целесообразнее всего совершить посредством числовой окружности.

Будем изображать действительные числа точками окружности, аналогично тому, как это делалось при изображении действительных чисел точками прямой.

Возьмем ориентированную окружность (чертеж 37).