В царстве смекалки или арифметика для всех - книга третья (Игнатьев) 1925 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

В царстве смекалки или арифметика для всех - книга третья (Игнатьев) 1925

Назначение: УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I и II СТУПЕНИ 

Научно-Педагогической Секцией Государственного Ученого Совета допущено как пособие для преподавателей

© ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКВА 1923 ПЕТРОГРАД

Авторство: Е.И. Игнатьев

Формат: PDF Размер файла: 24.9 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

Предисловие з

Некоторые исторические задачи 5

Задача 1. Одно из ’древнейших математических развлечений ...

» 2. Семь старух   7

» 3. По дороге в St.-Ives

» 4. Русская народная задача 8

» 5. Жизнеописание Диофанта 9

» 6. О числе песчинок 10

» 7. Юридический вопрос 12

Индусскиезадачи 13

Задача 8 14

» 9. Цена рабыни 15

» 10. Пчелы

» 11. Обезьяны 16

Задачи Нью тона

Задача 12. Быки на лугу

» 13. Глубина колодца 18

Задача 14. Кто на ком женат?

Русские задачи .' 19

Задача 15. Ответ учителя   22

Некоторые старорусские меры и выражения. —

Задача 16. Недогадливый купец 23

» 17. Богатство мадамы 24

» 18. Богатство гасконца

» 19. Веселый француз

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

 

» 20 25

» 21. Дележи

» 22. Мена

Новые иллюзии зрения 26

Задачи-шутки 31

Задача 23. Искусное размещение

» 24. Расплатился без денег 32

> 25. Дешевая покупка

Стр.

Задача 26. Загадочное исчезновение 33-

» 27. Куда девался китаец? 35

» 28. Разрубить подкову 36

» 29. 7 роз 37

» 30. Разрезать шахматную доску 38

» 31. Из креста квадрат

» 32. Устроить хозяйственный уровень 39

Синус 40

Задача 33. Построить прибор, наглядно поясняющий тригоно¬метрические линии 41

Задача 34. Устроить прибор для обращения кругового движения в прямолинейное 42

Задача 35. О пауке и мухе 45-

Объяснение симметрии посредством сложения бумаги 48

О пространстве четырех измерений * 49

О четвертом измерении (F. Е. Ferry) 50

Опыт рассуждения о 4-м измерении (С. A. Richmond) 59

Четвертое измерение в доступном изложении (J. D. Fitch) 65-

Субъективно или объективно понятие пространства 73

О числовых суевериях 75

Число зверя

Числовая мистика 76

Каббала 82

Тайнопись 83

Простая замена 84

Что такое «тарабарская грамота» 86

Системы перестановок 87

Квадратный шифр 89

Словари для шифрования 90

Счетные машины , 91

Счет и число 92

Орудие счета.— Босоногая машина 93

» » — Обутая машина 96

Нашествие обутых варваров и торжество десятичной системы счета 99

Счетные пособия графические и предметные 1 ОО-

Абак и римские счеты 102

Китайский суан-пап и русские счеты 108

Апексы Боэция.—Захудание абака 110

Гербертов абак.— Введение нуля и торжество письменного счисления 115-

Рецидив бесписьменности.—Счетная скамья (Rechenbank) около ре¬формационного периода 118

Заря и расцвет механического счета 122

Последователи Паскаля.—Новейшие машины 126

Графический метод.— Палочки Непера 139

Стр.

Динамический метод 141

Кинетический метод

Электрический метод 142

Цифрарь-диаграммометр В. С. Козлова

Приближенные вычисления 146

Комбинации 147

Задача 36. Размещение пассажиров

» 37. Разнообразие костюмов 148

» 38. Выбор предметов

> 44. На улицах города 150

Теория соединений   151

Анаграммы

Некоторые известные анаграммы   . . 152

Задача 45. Церемонный обед семи 155

» 46. Церемонный обед 12-ти 156

О числе перестановок 157

Обозначения и вывод общей формулы 161

Задача 47. Спор кучера с пассажиром . . 162

Фигуральные, или наглядные перестановки

Задача 52. Шахматный вопрос . . . • 167

Перестановка с повторениями 168

Задача 53 171

За круглым столом

Задача 54. Письма и адреса 172

Размещения 1-74

Задача 55

Число размещений 176

Полные размещения, или размещения с повторениями .... 178

Задача 56 180

Сочетания

Составление .сочетаний 181

Число сочетаний 182

Задача 57. Выборы в комиссию 183

» 58

> 59 184

» 60   —

Способ шахматной доски 185

Стр.

Задача 61.    185

» 62 186

» 63, 64, 65, 66, 67 . .

Отрывки из теории вероятностей 195

Задача 68 (кавалера де-Мере). Недоконченная игра 197

Игра в кости и зачатки математической теории вероятностей . .

О законности и случайности 198

Логика фактов, или причинность и временная последовательность 201

Определение математической вероятности события 203

Некоторые следствия, вытекающие из определения математической вероятности.—Вероятность и достоверность 205

Задача 69. Игра в монету 207

» 70. Двукратное бросание монеты 208

» 71. N-кратное бросание монеты

» 72. Бросание одной коЪги 209

» 73. 2 кости 210

» 77. Карты

» 78. Еще одна задача кавалера де-Мере

Из переписки Паскаля с Ферма 214

Задача 79. В чем дело? 215

Необходимое замечание * . . 216

Еще следствие из определения математической вероятности ... 217

Задача 80.

Вероятности сложных событий. . 219

Задача 81   220

» 82 221

» 83 222

» 84 ’.    —

» 85 224

» 86 225

» 87

» 88 227

Математическое ожидание 229

Задача 89. Математическое ожидание выигрыша в лотерею . . £30

Условие безобидности игр 231

Задача 90   232

> 91. Итальянская лотерея 233

Теорема Якова Бернулли 237

Законы случайного и математическая статистика 254

 

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - В царстве смекалки или арифметика для всех - книга третья (Игнатьев) 1925 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 ПРЕДИСЛОВИЕ.

Борьба с удручающей схоластикой школьного и внешкольного преподавания математики вызвала появление первого издания этой книги в 1908 году. Книга, как п следовало ожидать, была весьма неприветливо встречена Ученым Комитетом царского министерства народного просвещения. Однако официальная немилость не помешала все возрастающему успеху "Смекалки" в школе и семье. С 1908 года до начала всемирной войны появилось б изданий 1-й книги "В царстве смекалки", и вышедшие вслед за ней 2-я и 3-я книги пользовались тем же успехом.

Под первыми ударами вихря наступившей великой социальной революции пало и рассыпалось громоздкое, но неладно скроенное и некрепко сшитое здание пашей старой школы.г Жалеть об этом не приходится. Туда ей и дорога. И что бы там пи говорили и ни делали ипые нынешние любители и строители просвещения, старая школа умерла и ей не воскреснуть.

Но на хрупких обломках этой старой школы приходится воздвигать здание новой. Весьма длительная, тяжелая и мучительная работа, особенно в необъятной нашей провинциальной глуши, на местах.

Нет сомнения, что эта пробивающая себе дорогу в грозе и буре революции новая школа должна расти прежде всего па началах самого широкого развития методов самодеятельности и инициативы, питающихся из жизненных источников производственпо-трудовых отношений. Всякие отступления и уклоны в сторону от такого строительства школы заранее обречены за никчемностью на новую ломку и перестройку, как это приходится постоянно наблюдать с первых же шагов. Сплошь и рядом под видом нового незаметно переходят к старому, которое естественно рушится само собой опять... и опять приходится начинать все сначала.

Впрочем, это попятно. В год и даже в пять лет повой школы не построишь, особенно при отсутствии подходящих учительских кадров, научно-учебных пособий и средств.

Необходимо запастись настойчивостью и терпением на большее время, необходимо заготовить материал, необходимо также учесть наличность всего имеющегося пригодного для стройки новой социалистической трудовой школы. Кое-что готовое в этом отношении у нас все же есть. Конечно, имеющееся, это - капля в море нужды, но тем более необходимо выловить эту уже готовую каплю и не дать ей пропасть в океане общей школьной разрухи.

Чуждая схоластики и постоянно наталкивающая на диалектические приемы мышления и рассуждений, эта книга, смею думать, принесет некоторую пользу в деле выработки методов преподавания в новой школе. Более того, полагаю, что "В царстве смекалки", как попытка самой широкой популяризации математических знаний и самодеятельности только теперь, наконец, найдет своего настоящего читателя и проникнет в страстно стремящуюся к самообразованию рабоче-крестьянскую среду.

Естественной поэтому была мысль о многих дополнениях с целью ввести сюда вопросы и задачи, связанные с современностью, отвечающие, так сказать, на текущую злобу дня.

Практическое выполнение этого задания встретило, однако, сейчас весьма серьезные, почти непреодолимые в некоторых отношениях затруднения. Слишком переходное, калейдоскопически меняющееся и в самых различных направлениях развертывающееся время мы переживаем.

Чуть не каждый новый день выдвигает новые вопросы и задания как в экономических, технических, так и всяких иных сторонах жизни. Интересное и поражающее сегодня отходит в область ненужного на завтра, и наоборот. Для всякого рода экономической и социальной "смекалки" набирается такая масса сырого материала, что необходимо в нем разобраться и более или менее сносно оформить. На такую работу нужно не только время, но к ней необходимо привлечь сколь возможно большее количество людей, сделать ее по возможности коллективной.

Вот почему, нисколько не отказываясь от мысли ввести соответствующее дополнение в будущее издание "смекалки" или даже посвятить им особую книжку, приходится пока ограничиться пересмотром и выпуском только прежнего материала.

Г. Тула, май 1923 г.

Некоторые исторические задачи.

Задача 1-я.

Одно из древнейших математических развлечений.

В знаменитом Британском музее среди "коллекции Райнда" находится египетский папирус, который считается теперь чуть ли не самым древним из известных ныне людям руководством по математике. Папирус этот переведен Эйзенлором на немецкий язык в 1877 г., при чем оказалось, что он написан египтянином Ахмесом во время между 1730 и 2000 годами до нашей эры.

Подлинное заглавие папируса таково: *

"Наставление к приобретению знания всех тайных вещей*.

Ахмес, в свою очередь, упоминает о том, что его книга написана на основании еще более древних сочинений. Таким образом мы имеем возможность судить о состоянии математических знаний у древних египтян, быть может, за время не менее 6000 лет до наших дней. Почтенная давность!

"Египетская задача" и заметка "Начатки математики на Ниле", данные во второй книге "В царстве смекалки" (стр. 22 и 24), основаны именно на египетском папирусе Ахмеса из коллекции Райнда. Но есть в этом папирусе еще одно весьма любопытное место, над разгадкой которого останавливалось не мало историков математики. Вот в чем дело:

Ахмес дает лестницу таких 5-ти чисел:

7, 49, 343, 2 401, 16 807.

Рядом же с этими числами стоят соответственно слова:

картина, кошка, мышь, ячмень, мера.

И все! Никаких дальнейших пояснений, никакого ключа к раскрытию смысла этой задачи папирус не дает. Что же это за задача?

Прежде всего заметим, что написанные выше числа, составляющие лестницу у суть последовательные степени числа 7. В самом деле, помножая последовательно 7 само па себя один, два, три, четыре и пять раз и ставя рядом соответствующие слова, как в рукописи Ахмеса, находим:

7 . . картина

7x7 = 7'= 49 . . кошка

7X7X7 = 7'= 343 . . МЫШЬ

7 X 7 X 7 X 7 = 74 = 2 401 . . ячмень

7 у 7 х 7 х 7 х 7 = 76 = 16807 . . мера

Основываясь на таком сопоставлении чисел и слов, а также на некоторых позднейших математических сочинениях, ученый ориенталист Родэ и известный историк математики Кантор с весьма большой вероятностью решают, что данное место папируса Ахмеса представляет такую задачу:

У некоторых семи лиц есть по семи кошек. Каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по семи мер зерна. Сколько всего предметов?

Складывая числа, составляющие лестницу, получаем в ответ на вопрос задачи число 19607. Число мер зерна (16807), спасаемых всего 49-ю кошками, также весьма велико. Если догадки ученых верны, то не даром, пожалуй, у египтян кошка, истребительница мышей, считалась священным животным.

Задачи подобного рода могли предлагаться для забавы и для развития сметки. Следовательно, можно думать, что история математических развлечений также имеет за собой почтенную давность, по меньшей мере, в 50 веков.

Только что приведенная древняя задача в различных вариантах повторяется в разные времена и у разных народов. Некоторые из этих вариантов, замечательнейшие в историческом отношении, следуют сейчас ниже.

Задача 2-я.

Сень старух.

Приблизительно через 3000 лет после появления папируса Ахмеса, а именно в 1202 году нашей эры, Леонард из Пизы (он же Фибоначчи, или Фибоначй) издал на латинском языке сочинение Liber abaci, содержащее в себе всю совокупность тогдашних арифметических и алгебраических знаний.

В этой книге содержится, между прочим, такая задача:

Семь старух отправляются в Рим. У каждой старухи по семи мулов, каждый мул несет по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?

Решение.

Задача отличается от Ахмесовой только тем, что к пяти числам лестницы Ахмеса надо прибавить еще шестое число, равное семи, повторенному множителем 6 раз, т.-е. 7®=117649.

Всего получится 7+7г4-734-74+754-7в=137256_предметов.

Задача 3-я.

По дороге в St.-Ives.

В 1801 году в Соединенных Штатах Америки вышло 1-е издание Школьной арифметики (Scholar's Arithmetic) Даниила Адамса, пользовавшейся там большим распространением в начале XIX века. Вариант Ахмесовой задачи изложен в этой арифметике уже в таких английских стихах:

As I was going to St .-Ives,

I met seven wives;

Every wife had seven sacks;

Every sack had seven cats;

Every cat had seven kits: Kits, cats, sacks and wives, How many were going to St .-Ives?

8

To-есть, если попробовать это же передать "школьными стихами" по-русски, получим:

В Сент-Айвз как-то я шагал;

Я семь женщин повстречал;

И у каждой семь мешков, А в мешках по семь котов; У котов по семь котят.

Сколько всех притти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение задачи предоставляем читателю. После двух предыдущих задач оно очевидно.

Задача 4-я.

Русская народная задача.

Для нашего читателя, быть может, интересно будет узнать, что из мрака отдаленнейших времен отголоски задачи Ахмеса перешли также и в русский народный эпос. Существует русская народная задача о нищих (или старцах), о которой упоминает И. А. Износков в своем докладе "О памятниках народной математики", прочитанном в 1884 г. в казанском обществе естествоиспытателей. Задачу эту автор сообщения слышал в Казанской губ. И. Ю. Тимченко в своих примечаниях к русскому переводу "Истории элементарной математики" проф. Ф. Кэджори приводит эту задачу так, как она распространена среди населения Орловской губ.:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей, На всяком костыле по семи сучков, На каждом сучке по семи кошелей, В каждом кошеле по семи пирогов, А в каждом пироге по семи воробьев. Сколько всего?

Решение.

Задача требует определения числа всех предметов, т.-е. старцев, костылей, сучков, кошелей, пирогов и воробьев. Решение, очевидно, дается числом 7+7'+78+744-7Б4-7в; приведенным нами уже в задаче 2-й.

Интересно отметить, что во всех четырех предыдущих задачах главную роль играет число семь. В главе "о числовых суевериях" мы увидим, что число это имело у различных народов особое символическое, священное значение. Быть может, раньше, чем сделаться предметом простого развлечения или развития народной смекалки, задачи подобного рода носили мифологический или религиозный характер.

Задача 5-я.

Жизнеописание Диофанта.

Прохожий! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в преклонных годах. */o часть своей продолжительной жизни он провел в детстве, г/13 в юности. Следующую затем V7 своей жизни он был холостым. Через пять лет после его женитьбы у него родился сын, доживший до возраста вдвое меньшего, чем лета его отца. Через четыре года после смерти сына умер и Диофант, оплакиваемый родными.-Скажи, если умеешь считать, в каком возрасте он умер?

Высчитать, что Диофант дожил до 84-летнего возраста, не составляет особого труда. Но задача эта имеет специальный исторический интерес. Существуют свидетельства, что она служила дей-ствительно надгробной эпитафией над прахом одного из замечательнейших математиков древности, о жизни которого только почти и имеется сведений, что эта задача.

Диофант был совершенно исключительный математик последнего периода знаменитой александрийской школы. О времени и месте его рождения, а также о его происхождении мы ничего не знаем. Предполагают с некоторой долей вероятности, что он умер около 330 года нашей эры. Другие для времени его жизни дают дату 325-409 г. нашей эры. Диофант считается родоначальником современной алгебры и занимает в ряду великих греческих математиков совершенно исключительное место. Вот что говорит о пем проф. Ф. Кэджори (Cajori) в своей "Истории элементарной математики": "Если бы сочинения его не были написаны по-гречески, никто и не подозревал бы, что они- произведения греческого ума. Его главное образцовое произведение, "Арифметика" (написанное, как говорят, в 13-ти книгах, из коих только шесть дошли до нас), проникнуто духом, настолько отличным от духа

великих классических сочинений, написанных во времена Эвклида, насколько чистая геометрия отличается от чистого анализа. Между греками у Диофанта не было ни одного выдающегося предшественника, ни одного выдающегося последователя. Не будь его сочинений, нам пришлось бы сказать, что греческий ум не создал в области алгебры ничего замечательного. До открытия папируса Ахмеса Арифметика Диофанта была древнейшим известным нам трудом по алгебре".

Задача 6-я (Архимеда).

О числе песчинок.

Задача эта, предложенная и разрешенная Архимедом (287-212 г. до нашей эры), изложена им в форме обращения к Гелону, сыну Гиеропа, тирану города Сиракуз. Главнейший интерес ее состоит в том, что знаменитый философ древности показал, как расширить несовершенную греческую систему счисления, распространив ее на сколь угодно большие числа. Вот как излагает свою задачу Архимед:

Многие полагают, о царь Гел он, что число песчинок бесконечно,-не тех только песчинокf что находятся около Сиракуз и на всей Сицилии, но всех тех, которые рассеяны на всех обитаемых и необитаемых странах земли. Другие не считают этого числа бесконечным, но думают, что нет такой величины,-что невозможно определить словом количество, превышающее совокупность этих песчинок. Отсюда очевидно, что подобным образом мыслящие люди, если бы даже вообразили себе груду песку, способную заполнить и уравнять все глубины моря и впадины земли вплоть до верхушек высочайших гор, еще более настойчиво утверждали бы, что невозможно обозначить число, большее числа песчинок такой груды. Но я хочу попытаться показать обратное с помощью неопровержимых доказательств, благодаря которым ты можешь убедиться, что некоторые числа, упомянутые мной в книгах, обращенных к Зевксиппу х), превышают не только число песчинок, способных заполнить собою всю землю, но даже число всей массы песка, равной по объему всей вселенной.

Решение.

Под словом "вселенная" Архимед понимает солнечную систему, ограничивавшуюся в его время орбитой планеты Сатурна, за которой предполагалась в древности уже область неподвижных звезд. Исчисление объема вселенной Архимед основывает на предположении древ-него астронома Аристарха Самосского относительно удаления неподвижных звезд от земли. Именно: он допускает, что это расстояние равно не более, чем 100 миллионов раз взятый радиус земли, а окружность земли Архимед принимает в 300 мириад греческих стадий, т.-е. в 460 000 километров и, следовательно, в 11 слишком раз больше настоящего, так как окружность нашей землп равна 40 000 километрам.

Великий сиракузский геометр предполагает также, что в объем макового зерна входит не более 10 000 песчинок, а диаметр макового зерна принимает не менее г/40 дюйма (греческий дюйм считают около 3/4 нашего дюйма), или 0,468 миллиметра.

Таким образом, все элементы для дальнейших вычислений готовы.

Архимед доказывает прежде всего, что объемы двух сфер (шаров) относятся, как кубы их диаметров, и получает вслед за тем отношение объемов всей сферы вселенной и макового зерна. Умножая это отношение на 10 000, он получает число песчинок, наполняющее его "вселенную"; Остается теперь выразить полученное огромное число. Вот как Архимед решает эту задачу.

Греки, как и другие народы древности, знали устное десятичное исчисление и для названия первых последовательных разрядов имели пять слов: единица, десяток, сотня, тысяча и мириада (10 000). Единицы следующих высших порядков назывались уже так: десять мириад, сто мириад, тысяча мириад, мириада мириад и т. д., постоянно повторяя одни и те же слова.

Для выражения и изучения очень больших чисел подобная система оказывалась, конечно, слишком недостаточной.

Чтобы обойти затруднения, Архимед рассматривает так называемую геометрическую прогрессшо со знаменателем 10. Не употребляя ни нуля, ни показателя степени, он рассматривает группы, расположенных по восемь в ряд, чисел.

1, 10, 10а, 108, 10", 108, 10е, ю7,

10', 10е, 1010 1016,

10", 1017, ... . 10",

Каждую последовательную группу из восьми чисел в этом бесконечном ряду Архимед называет октадой; и дальнейшие вычисления приводят его к заключению, что искомое им число песчинок, могущее наполнить всю вселенную, не превышает последнего члена восьмой октады, т.-е. оно меньше 10вз, или единицы с 63-мя нулями справа по нашему обозначению.

"Знаю хорошо, о царь Гелон,-говорит Архимед, заканчивая свое рассуждение,-что эти результаты могут показаться невероятными толпе,-всем тем, кто несведущ в математических науках. HojBce это покажется, ввиду доказательств, достаточно вероятным тем, кто занимался этими пауками и делал изыскания относительно расстояний небесных тел, о величине земли, солнца, луны и всей вселенной. Вот почему я нашел возможным посвятить несколько размышлений этому предмету".

В ряду других работ великого геометра Сиракуз рассуждение о числе песчинок ("Псаммит" - по-гречески) занимает сравнительно второстепенное место. Но и эта небольшая его работа-"несколько размышлений", как он сам говорит,-дает достаточное понятие о мощи гения этого человека. Пред нами в простой и наглядной форме лежит в сущности изложение десятичной системы. Введи только Архимед систему поместного значения цифр да... нуль, и дальше некуда итти!.. Представляется удивительным, что это открытие ускользнуло от его проницательности. Или же этот гений величественно пренебрегал всем тем, что так упрощает и облегчает работу нам, обыкновенным смертным?..

Задача 7-я.

Юридический вопрос.

Древние римляне ничего или почти ничего не сделали для развития математических паук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно чисто практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.

Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/з оставленного имущества, а г/з матери. В случае же рождения дочери, она должна получить V", а мать '/# имущества.

Вдова завещателя родила близнецов-мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?

Решение.

Задачу эту, представляющую так называемый "юридический казус", решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиап Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две-к жене и одна - к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.

Индусские задачи.

Индусам мы обязаны нашей системой письменного счисления и введением нуля, т.-е. открытиями, имеющими величайшее значение в истории развития математических наук. Вообще, в свое время индусы искусство вычислений довели до такой степени совершенства, до которой не достигал ни один из ранее их живших народов. Особенности национального склада этого народа отразились и на дошедших до нас его математических сочинениях. Последние обыкновенно на-писаны стихами и часто полны темных и мистических выражений, непонятных непосвященным. С другой стороны, задачи, составленные в легкой и приятной стихотворной форме и предлагаемые в качестве загадок, были любимым развлечением индусов. "Эти задачи,- говорит индусский астроном Брахмагупта (конец VI и начало VII века нашей эры), - предлагаются просто для забавы. Мудрый человек может придумать тысячу других или может решать задачи, предложенные ему другими, по изложенным здесь правилам. Как солнце затмевает звезды своим блеском, так и ученый человек может затмить славу других в народных собраниях, предлагая алгебраические задачи и, тем более, решая их".

В сочинении Сиддхантасиромани ("Венец астрономической системы"), написанном индусским ученым Бхаскара Ачарья в 1160 году, есть две главы, посвященные специально математике. Одна глава носит заглавие Лилавати, т.-е. "прекрасная" (в смысле благородная наука), а другая - Виджа-Ганита, т.-е. "извлечение корней". Вот пример задач, взятых из этих глав.

Задача 8-я.

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на '/< этого произведения, разделено на 7, уменьшено на х/з частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10, дает число 2?

Решение.

Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет "правильно применять метод инверсии*. Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, "с конца", и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.

Так, например, в данной задаче отправляемся от числа два и идем к искомому числу следующим путем:

2 множим на 10, получаем 20;

От 20 отнимаем 8 " 12;

12 умножаем на 12 х) 144;

К 144 прибавляем 52 " 196;

Из 196' извлекаем квадратный корень > 14;

От 14 берем 3]

2] > 21;

21 множим на 7 147;

От 147 берем 4

7 84;

84 делим на 3 > 28.

28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:

(9 o 10-8)*+52=196; /196 = 14; 14 o -7 o 4 : 3=28.

J 7

Древнейший из известных нам* индусских математиков (V век нашей эры) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:

!) Т.-с. возвышаем ( квадрат (12 х 12 "= 12*). Действие, обратное извлечению квадратного корня.

* Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток-в прибыль; инверсия).

Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую "практическую" для индусов задачу:

Задача 9-я.

Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20-ти лет?

Решение.

Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенпым. Но исторически опо доказывает, что индусы уже не позже V века были хорошо знакомы с так называемым у нас "тройным правилом", равно как, кстати сказать, были знакомы и со многими другими "правилами" решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.

В частности, при решении задачи о цене рабыни, Арьябхатта руководствуется началом "обратной пропорции", потому что,-говорит он,-"стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту": чем старше, тем дешевле.

На таком основании выходит, что если 16-летняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т.-е. 32x16 никша, а 20-летняя в 20 раз меньше последней 32x16 ос 3 суммы, т.-е. -= 25 - никша.

Приведем еще две индусские задачи, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах, чем о продаже человека человеком. Обе задачи взяты из сочинений уже упомянутого нами Бхаскары. Решение их, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представляет ни малейшего затруднения. Поэтому приводим только ответы.

Задача 10-я.

Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/" всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит

неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.

Ответ: 72.

Задача 11-я.

Обезьяны.

Стая обезьян забавлялась. Одна восьмая часть их в квадрате бегала по лесу. Остальные 12 кричали на верхушке холма. Скажи мне число обезьян.

Ответ: 16 или 48.

Задачи Ньютона.

Выше приведены некоторые задачи, по тем или иным причинам известные в истории развития математических знаний. Было бы несколько странным обойти при этом молчанием некоторые задачи великого Ньютона, хотя они далеко не носят характера общедоступности.

В первые девять лет своей профессуры в Кэмбриджском университете Ньютон читал лекции по алгебре. Лекции эти под заглавием "Arithmetica Universalis" ("Всеобщая Арифметика") были опубликованы Уистоном (Whiston) в 1707 году. По многочисленности входящих в них задач можно судить, что великий теоретик и пролагатель новых путей в математике прекрасно сознавал развивательное значение чисто практических задач. Об этом он и сам говорит в своей "Арифме-тике": "Я показал выше решение нескольких задач, так как при изучении наук примеры полезнее правил" ("In scientiis enim addiscendis prosunt exempla magis quam praecepta").

Следующие сейчас две задачи можно считать самыми известными из Ньютоновских задач. Для решения их мало одной, хотя бы и самой быстрой, сообразительности, а необходима еще некоторая математическая подготовка, охватывающая, впрочем, только знание квадратных уравнений и первые ступени неопределенного анализа. Предполагая, что только такой читатель заинтересуется этими задачами серьезно, мы даем их решение, не входя в подробности.

Задача 12-я.

Быки на лугу.

На лугу, площадь которого равна Зх/3 акрам, пасутся в продолжение 4 недель 12 быков и за это время съедают как

17

ту траву, что была раньше, так и ту, что подрастала во все это время равномерно. На другом лугу, площадь которого равна 10 акрам, пасутся в продолжение 9 недель 21 бык и также съедают как ту траву, что была раньше, так и ту, что подрастала во все это время равномерно. Сколько нужно пустить быков на третий луг, площадь которого равна 24 акрам, чтобы они в продолжение 18 недель съели как ту траву, что на нем есть, так и ту, которая будет подрастать во все это время равномерно?

Примечание. Предполагается, что высота травы на всех трех лугах до выгона на них быков одинакова и что подрастание травы на всех трех лугах за один день одно и то ж<'.

Решение.

Решение, наиболее быстро приводящее к цели, требует введения новых вспомогательных неизвестных. Поэтому обозначим искомое число быков через х; пусть у есть первоначальная высота травы на лугах, и пусть на всех трех лугах трава подрастает ежедневно на z. Тогда количества травы (по объему), съеденные быками на трех лугах, выразятся соответственно через:

37з(г/ + 7.4з); 10(>/ 4- 7. 9г); 24(1/+ 7.18г).

Следовательно, один бык съедал за один день на каждом лугу соответственно травы (по объему):

ЗЧ3(у + 7. 4г). 10(1/+ 7. 9г). 2 4 (у + 7.18г)

12.7.4 ' 21.7.9. ' .т.7.18.

Отсюда имеем два уравнения:

10(?/4- 28г) _ 10(1/4-63г) _ 24(1/4-126г) .

3.12.7.4 21.7.9 х . 7.18

или

5 (1/ 4- 28г) _ 5 (у 4- 63г) _ 12 (у 4- 126г)

16 21

Из уравнения

5 (у 4- 28г) _ 5 (у 4- 63г)

16 21

имеем: у=84г.

К царстве смекалки. Книга III. 2

Подставив это значение у в уравнение

5 (у + 28г) _ 12 (у + 126г) 16 2х '

находим, что ж=36.

Итак, на третий луг нужно пустить 36 быков.

Задача 13-я.

Глубина колодца.

Камень падает в колодезь. Определить глубину колодца по звуку, происходящему от удара камня о дно.

Решение.

Если обозначить через х глубину колодца и затем условиться, что камень проходит пространство а во время Ь, а звук то же пространство во время d, что время от начала падения камня до получаемого ухом звука от его удара о дно есть t, то решение задачи приводит к квадратному уравненшо

2 2 ad t + ab3 , a8 t8

х м ®+-^-=0.

аа а1

Для нахождения ответа для каждого частного случая необходимо знать законы свободного падения тел и скорость распространения звука.

К приведенным задачам прибавим еще следующую, взятую из английского сборника за 1742 год ("Miscellany cf Mathematical Problems").

Задача остроумна по условию и решается сравнительно просто. Из вышеуказанного сборника она перешла во многие задачники и руководства.

Задача 14-я.

Кто на кон женат.

Трое крестьян, Иван, Петр и Алексей, пришли на рынок со своими женами: Марьей, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Узнать это на основании таких сообра

жений: каждое из этих 6-ти лиц заплатило за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов оно купило. Каждый мужчина истратил на 63 копейки больше своей жены. Кроме того, Иван купил 23-мя предметами больше Катерины, а Петр-11-ю предметами больше Марьи.

Решение.

Если один из мужчин купил, скажем, х предметов, то по условию задачи он заплатил за них х2 коп. Если его жепа купила у предметов, то она заплатила за них у2 коп. Разница х2-у2 = 63, но х2-у2 = = ($ + 1/) ($ - у), т.-е. (х + у) (ж - 1/) = 63.

Числа х+у и х-у найдем, разложив 63 па два целых множителя; но 63=32.7, И разложение возможно на три манеры: 63x1, 21x3, 9X7, откуда уравнения

$1 + 1/1 = 63 $2 + 1/2 = 21 $з + 1/з = 9

.$1 -1/1=1 $2 -1/2=3 Хз - 1/з = 7.

Их решения:

$1=32, 1/1 = 31, Т2 = 12, 1/2 = 9; Хз = 8, у3 = 1.

Отыскиваем те значения х и у, разность которых=23, и находим ®i, и уз, следовательно, 32 предмета куплено Иваном, а 9 - Катериною и т. д. Таким образом имеем следующие комбинации:

Иван 321 Петр 121 Алексей 81

Анна 31/ Катерина 9) Марья 1/

Русские задачи.

О состоянии и развитии математических знаний на Руси в ее древнейший период неизвестно почти ничего. В "Русской Правде" Ярослава есть, положим, статья с таким расчислением: "А от 20 овец и от двою приплода на 12 лет-90 000 овец" и т. д. Вычисление стоимости приплода, или прибытка, и получаемых от скота продуктов верны и доказывают, что составители "Русской Правды" были знакомы, по крайней мере, с умножением и делением. Но в общем есть все основания думать, что о каких бы то ни было самостоятельных шагах в любой области математики в России говорить не приходится чуть ли не до XVIII или даже XIX века. Немногочисленные дошедшие до настоящих дней математические рукописи служат тому убедительным доказательством.

Так, в своих известных примечаниях в "Истории Государства Российского" Карамзин говорит, что в его распоряжении была рукопись геометрии XVII века под заглавием: "Книга, именуемая геометрия или землемерия радиксом и циркулем". За геометрией следует: "Книга о сошном и вытном письме"; потом-рукописная арифметика, озаглавленная: "Книга рекома по-гречески Арифметика, а по-немецки- Алгоризма, а по-русски - цифирная счетная мудрость". В преди-словии книги говорится:

"Сир, сын Синоров, муж мудр бысть: сий же написа численную сию философию финическими письмены, яко же он мудрый глаголет, яко бесплотна сущи начала телеса же преминующая. Без сея книги ни един философ, ни дохтур не может быти; по сей мудрости гости (купцы) по государствам торгуют, и во всяких товарех и в торгех силу знают, и во всяких весех и в мерах и в земном верстании и в морском течении зело искусны, и счет из всякого числа перечню знают".

Из памятников русской старинной математической литературы в настоящее время имеются шесть математических рукописей в бывшей публичной библиотеке, шесть в Румянцевском музее, одна в книгохранилищах Чудова монастыря, одна в библиотеке общества любителей древней письменности. Вот, напр., содержание рукописной арифметики (рукопись № 681) Румянцевского музея:

Рукопись имеет следующее заглавие: "Пятая мудрость в семи великих мудростех нарицается Арифметика". Изложение арифметики разделено па статьи, а статьи распадаются на нумерованные отделения, называемые строками, отвечающими нашим делениям на главы и параграфы. Вот содержание: первая статья от числа.-Нюмерасия или считание словесем и начертание числом цифирным. Другая статья-адитсие или считание-наше сложение; статья именуется сюбстраксие по-нашему, вычитание; статья мултипликасие, или умножение числу всякому; статья дивизие или деловая; указ како костьми считати; статья адитие или счетная костьми или пенязш, статья костьми мултипликасие или умножальная; статья сюбстраксие костьми или вынимание; статья деловая костьми, дивизие или росчитание; указ о дощаном счете-, указ како класти костьми сошную кладь; статья о весех и о мерах московского государства русские земли-, статья о весех и о мерах немецкие земли; статья французские земли о денежном счете ливонском, виницейском и Флоренском.

Потом идет сложение, вычитание, умножение и деление в весах и в мерах и в деньгах, или, по современному: сложение, вычитание, умножение и деление именованных чисел. "Статья численная о всяких долях"; уменьшение долям: сложение, вычитание, умножение и деле

ние дробей; потом статья стройная в целых и в долях всяких-, статья тройная в долях-, статья деловая; статья торговая; статья о прикупах; о накладех счет; статья спрашиваемая в тройной строке; статья спрашиваемая во времени; статья ростовая и добычная; статья о нечисти во всяких овощах и в товарах; статия фальшивая или сбой- ливая; статия меновая в торгу; статия торговая складная; статия торговая складная с прикащики и др., о деньгах в куче уведати; о плотникех (задача); о яйцах (задача); о хождении юношей трех зернь- щиков.

Способ изложения в рукописи строго догматический. Правила предлагаются в форме предписания или рецепта, не содержащего даже и намека на указание мотивов и оснований. Примеры идут: одни тотчас за изложением правила, другие наоборот. Вот образчик пре- подания правила сокращения дробей:

^Уменьшения долям". Когда оставляются в деловой великие доли в числах, ибо надобе их сводить в невеликие числа. Смотри возьму остатков в долях 40, а деловой перечень (делитель) 60, и ты поставь еще 40/60 и преж оными у обеих чисел 0 ипо станет 4/в; да смотри льзяли оба числа верхние и нижние во един дел разделити и ты дели как на два придет 2/3 т.-е. две трети".

Относительно употребляемых в рукописи знаков должно заметить, что употребление цифр не вытеснило церковно-славянских знаков, так статья о "нюмерасии или счисление числом цыфирным" начинается с перевода первых девяти церковно-славянских знаков па употребляемые нами цифры. В примерах с отвлеченными числами исключительно употребляются цифры; в именованных-употребляются смешанно церковно-славянские знаки и пыфры.

В публичной библиотеке есть рукописная арифметика, где упомянут год, когда писалась рукопись. Она озаглавлена так: "Книга, глаголемая арифметика, пятая из седьми мудростей наука. Начата бысть писати от создания мира в лето 7199 года *), индикта 14, круга солнечного 3, лунного 17; справного лунного слова 0, а ключевого пасхального Ф, месяца 1униа 28 дня".

"Увещевание" и предисловие в этой рукописи написаны стихами, часть которых посвящена восхвалению счета и нуля, называемого "онолс":

Да увестся о сем, яко арифметика е Девяти чисол, девяти статей наука

Десятое же место. оном исполняет Своего числа место просто сохраняет.

х) По нашему в 1691 г.

Кому либо в счете пеобретатися Ту есть станет Он ему жз не считатпся, Разумей, иде же Он место шрозже есть. Тако в статьях десятья пауки несть'

Точи" место того поставки различны.

В строках считание славяпом не обычпы:^ Тех поставок подробно и счести!

Кто их навыкнет, может вся под солнцем счести.

Итак, в^то время как в Западной Европе создавались "Principia mathematics" и "Arithmetica universalis" Ныотопа, когда блестящая плеяда математиков раздв пала все далее и далее все области естествознания, российские "цыфпрпые грамотеи" все еще перебивались пережитками отдаленного средневековья. Математические курсы и сочинения, стоящие на более высоком уровне знаний, начинают появляться на Руси только после Петра I. Одним из первых и замеча-тельнейших учебников арифметики, по которому учились наши прапрадеды, был учебник Л. Магницкого, изданный в 1703 г. Здесь мы находим, между прочим, такие задачи:

Задача 15-я,

Ответ учителя.

Вопроси некто учителя некоего глаголя: повеждь ми ко- лико имаши учеников у себе во училищи, понеже имам сына отдати во училище: и хощу уведати о числе учеников твоих. Учитель же отвещав рече ему: аще придет ми учеников толико же, елико имам, и полтолика, и четвертая часть, еще же и твой сын, и тогда будет у мене учеников 100. Вопросивый же удивлся ответу его отиде и начат изобретати.

Решение

Задача представляет, очевидно, вариант известной задачи о стаде гусей, данной памп в 1 части нашей книги. Ответом на задачу служит число 36.

Некоторые старорусские меры и выражения.

В условиях следующих задач встречаются слова, вряд ли понятные многим из. современных читателей. Приводим их здесь для удобства в особой табличке:

1 алтын=3 копейки=6 денег

1 конейка=2 деньги=4 полушки=1/2 гроша

1 гривна=1О копеек.

пенязь (польская монета)=копейка

полтаражды значит I1/"

полтретья * 21/"

полчетвертажды " Зх/2

полпята " 4% и т. д.

Задача 16-я.

Недогадливый купец.

Некий человек продаде коня за 156 рублев, раскаявся же купец нача отдавати продавцу глаголя: яко несть мне леть взяти сицевого коня недостойного таковые высокие цены: продавец же предложи ему иную куплю глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню быти, убо купи токмо гвоздие ихже сей конь имать в подковах своих ног, коня же возми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всяком подкове по шести и за един гвоздь даждь ми едину полушку, за другий же две полушки, а за третий копейку, и тако все гвозди купи. Купец же видя толь малу цену и коня хотя в дар себе взяти: обеща- ся тако цену ему платити, чая не болше 10 рублев за гвоздие дати. И ведателно есть: коликим купец он проторговался?

Решение.

Купец, действительно, "проторговался" очень сильно, так как за гвозди ему приходится заплатить

1+2+224-23+2*+ 228 полушек,

что составит 41 787 руб. За/< коп.!

Задача опять-таки принадлежит к типу уже известных нам задач, решающихся прогрессией (см., напр., "В Царстве смекалки" книга 1-я, стр. 114; книга 2-я, стр. 67 и след.).

Вообще же говоря, все почти задачи в руководстве Магницкого носят характер простых переводов с иностранных руководств. Большую самостоятельность в обработке материала проявил артиллерии штык-юпкер Ефим Войтяховский. издавший курс математики в 1820 году.

Вот полный заголовок этой книги: "Полный курс чистой матема- гики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики партикулярным учителем Ефимом Войтяховским, в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике". 4 тома, изд. 1820 г.

Задачи курса Войтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на "раешник". Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Войтяховского. Решения их незамысловаты, так чю даем только ответы.

Задача 17-я.

Богатство мадамы.

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро впол- четверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается каждой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.

Ответ. Чепец "а ла фигаро" стоит Р/г коп., а нарядное фуро 51/4 коп.

Задача 18-я.

Богатство гасконца.

У приезжего Гасконца оценили богатство: модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена?

Ответ. Цепа фрака 6г/4 коп., жилета 2х/г коп.

Задача 19-я.

Веселый француз.

Веселый Француз, пришед в трактир с неизвестною суммою своего богатства, занял у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остат

ком пришел в другой трактир, где опять, занявши столько сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учпнил то же, наконец, по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.

Ответ. 933/4 КОП.

Задача 20-я.

Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

Ответ. 232 руб. 5 коп.

Задача 21-я.

Дележ.

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?

Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп. купец 12х/а коп.

Задача 22-я.

Мена.

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцев по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцев?

Ответ. 12 зайцев и 18 кур.

Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского- предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об этом надо пожалеть.

Новые иллюзии зрения.

Большая часть так называемых иллюзий (обманов) зрения известны в течение многих столетий, и многие из них остаются необъяснимыми еще по сей день. Новые типы зрительных обманов так редки, что можно, пожалуй, считать эту любопытную область исчерпанной. Лишь изредка случается наталкиваться па совершенно новый род зрительных иллюзий, неизвестный нашим предкам. К числу их, между прочим, принадлежит та, которую мы описали во втором томе (стр. 34 и сл.) настоящей хрестоматии, это - кажущаяся пе- параллельность букв в слове Life и мнимая спираль на клетчатом фоне.

Объяснить, в силу каких причин получаются подобные обманы зрения, мы не можем. Вот почему тем интереснее будет подробно проследить за процессом, с помощью которого рисовальщик достигает этпх удивительных иллюзий зрения. Берем то же слово "Life".

Фиг. 1.

Фиг. 2.

Фиг. 1 дает буквы, поставленные совершенно прямо; но очертания их выведены зубчатой линией, при чем вершины зубцов лежат на линиях, строго параллельных горизонтальному и вертикальному краям бумаги.

На фиг. 2 часть промежуточных звеньев зубчатых линий удалена, остальные же штрихи оставлены на своих местах. Уже здесь замечается легкий наклон букв.

 

 

Для развития ПРОЕКТА!

С этой книгой читают

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика