Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий (Стратилатов) 1969 год - старые учебники

§ 7.Геометрический смысл системы алгебраических неравенств 31

§ 8.Выпуклые множества точек на плоскости. Знакомство с линейным программированием 35

§ 9.Составление системы алгебраических неравенств и уравнений по заданному множеству решений (обратные задачи) 38

§ 10.Основные законы операций над множествами 40

§ 11.Задачи и упражнения по всей теме 44

Литература 50

//. Я* Виленкин, С. И\ Шварцбурд, А. Г, Мордкович Метод тематической индукции . . Г .51

§ 1.Полная и неполная индукция .52

§ 2.Метод математической индукции. .56

§ 3.Применение метода математической индукции в задачах на суммирование .62

§ 4.Доказательство тождеств 65

§ 5.Доказательство неравенств методом математической индукции 67

§ 6.Доказательство неравенств 70

§ 7.Применение метода математической индукции к решению вопросов делимости 72

§ 8.Задачи на делимость 73

§ 9.Применение метода математической индукции при изучении свойств числовых последовательностей (прогрессий, ряда Фибоначчи) 75

$ 10.Свойства числовых последовательностей 77

§ 11.Разные задачи, решаемые методом математической индукции 79

Ответы и указания к упражнениям 82

п. с.Моденов Геометрические преобразования 84

§ 1.Общие сведения о преобразованиях . .

§ 2.Изометрические и подобные преобразования 88

§ з-Инверсия 104

§Круговые преобразования 111

Решение задач на построение одним циркулем 117

§6.Примеры и задачи 122

Литература 141

Предисловие

В настоящем учебном году всем школам Рекомендовано проводить факультативные занятия по математике начиная с 7-го класса. Для девятых классов рекомендованы следующие темы:

1. Множества и операции над ними 12 ч.

2. Производная 36 ч.

3. Натуральные числа и принцип математической индукции 12 ч.

4.Численные методы решения уравнений 12 ч.

5. Геометрические преобразования 12 ч.

6. Решение задач по общему курсу 10 ч:

Факультативные занятия рассчитаны на 2 ч в неделю, в общей сложности 70 ч за учебный год. Предполагается, что 1-я и 2-я темы будут прослушаны всеми учащимися — участниками факультативного курса по математике за 9-й класс. Из 3-й, 4-й и 5-й тем будет выбрана одна (на 12 ч) по, выбору преподавателя и, наконец, последняя тема, 6-я, решение задач также будет .охватывать всех участников занятий.

Предлагаемый сборник для факультативных занятий с учащимися 9-го класса содержит следующие материалы:

1. Множества и операции над ними.

2. - Принцип математической- индукции и применение его к решению задач.

3. Геометрические преобразования.

В сборник не вошла 2-я тема факультативных занятий. По этому вопросу имеется достаточно обширная литература: а) Кочетков Е. С. и Кочеткова Е. С. „Алгебра и элементарные функции", учебник для IX — X классов (ч. 2); б) А. И. Маркушевич, К. П.'Сикорский, Р С. Черкасов, „Алгебра и элементарные функции", 1968; в) Колмогоров А. Н. „Функции, графики, непрерывные функции". „Математика в школе", Xs 6 за 1965 г.; г) Зельдович Я- Б. „Высшая математика для начинающих и ее приложения в физике", 1965; д) Привалов И. И. Гальперн С. А. „Основы анализа бесконечно малых", 1966;

В последней книге приведен ь} очень хорошо подобранные упражнения для усвоения основных, понятий.

В сборнике не приводится специального набора задач. Много упражнений имеется в публикуемых работах по первым «двум темам (о множествах и о методе математической индукции). Соответствующие задачи учитель может взять из публикуемых в журнале „Математика в школе" (отдел задач), а 'Также использовать сборники задач' Моденова. П. С., Шахно,К- У-, Розова Н. X. и Потапова В. Г.; Васильева Н. Б. и Егорова А. А. (под ред. академика А. Н. Колмогорова) и другие сборники для подготовки к математическим олимпиадам и для поступления в вузы и втузы.

П. Стратилатов

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

В научно-популярной математической литературе большое внимание уделено, свойствам бесконечных, множеств. Знакомство с понятием эквивалентности множеств, мощности множеств? и т. д. рекомендуется и программой факультативных занятий по математике в школе. У теории множеств есть, однако, более элементарная часть, в которой различие между конечными и бесконечными множествами не выступает явно. Это в первую очередь «алгебра множеств», в которой изучаются свойства операций над множествами. Как мы увидим, она ближе к проблематике школьной алгебры.

В настоящей работе вводятся основные определения, терминология и символика теории множеств, и на хорошо известном школьном материале показано применение этих понятий. Язык теории множеств позволяет взглянуть С более общих позиций на такие важные разделы школьного курса математики, как решение уравнений, неравенств и др.,- и способствует устранению устойчивых логических ошибок, встречающихся часто при изучении этих тем в. средней школе.

Материал, изложенный в данной статье, рассчитан на 12 часов. § 8 может быть пропущен при первом чтении; дальнейшее изложение не опирается на его содержанке. Заметим, что задачи § 11. можно решать на протяжении всех двенадцати часов по мере прохождения материала.

§ I. Множество, элемент множества. Принадлежность! включение! подмножество! равенство множеств

Прежде всего мы познакомимся с тем, что* такое множество.

Мы будем считать множество одним из первоначальных понятий, не подлежащие формальному определению. Достаточно привести примеры множеств: множество учащихся в классе, множество книг в библиотеке, множество точек на плоскости, множество целых чисел, множество решений уравнения х*—5% + 6 = 0.

Предметы любой природы, составляющие множество, называются его элементами. Вводятся следующие обозначения:

1) А = {а; Ь}—множество Д 'состоит из элементов а, Ь; 2) а^А—элемент а принадлежит множеству А. Например, если множество рациональных чисел обо-значить буквой R, то тот факт, что число 8 рациональное, записывается следующим образом: 8£R\ 3) а£А—элемент а не принадлежит множеству Д. Например, известно, что число КЗ иррациональное, т. е. /3 ё R.

В каком случае можно 4 считать, что множество задано?

Для этого достаточно было бы перечислить все элементы множества Однако это возможно только в том случае, когда множество содержит конечное число элементов (но и это не всегда удобно, если число элементов очень велико).

Множество можно было бы также задать и его описанием, т. е. указанием характеристического признака, позволяющего относительно любого объекта однозначно судить, принадлежит он данному множеству или нет.

Например, элементы множества однозначных простых чисел нетрудно явно перечислить: Д={2; 3; 5; 7}. А выписывание* элементов множества всех четных четырехзначных чисел хотя и возможно, но слишком трудоемко. Множество всех чисел, кратных шести, бесконечно, и выписать все его элементы невозможно; оно состоит из чисел вида 6k, где k— любое Целое число.

Множество всех простых чисел определяется описанием с помощью следующего характеристического привязка: этому множеству принадлежат те и только те числа, которые имеют два делителя —самого себя и единицу.

Однако формулировка некоторого характеристического свойства еще не гарантирует существование объектов, которые этим свойством обладают, т. е. возможно, что множество, задаваемое этим свойством, не будет содержать ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом и. Например, если все ученики IXА класса успевают по всем предметам, то при подведении годовых итогов в классном журнале в графе «количество неуспевающих» проставляется число О, а множество неуспевающих учеников этого класса оказывается пустым. Пустым также, к примеру, является множество чисел, делящихся на 2 и на 3, но не делящихся на 6.

Непосредственным обобщением понятия принадлежности элемента а множеству А является включение множества А в множество В. Говорят, что множество А включено в множество В (А содержится в В), если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Множество. А называется подмножеством множества В, обозначают это так: А^В. Например, множество целых чисел С является подмножеством множества рациональных чисел R; т. е. С^/?. Если одновременно с отношением А В имеет, место факт включения множества В в множество А (Be А), то оба множества попросту совпадают, т. е. состоят из одних и тех же элементов. Ра-венство или совпадение множеств обозначается так: А = Я. Для принадлежности некоторого элемента множеству А в этом случае необходима и достаточна принадлежность его множеству В. Пусть, например, каждая книга ученика Иванова есть и у ученика Петрова. Однако этого еще недостаточно, чтобы утверждать, что их домашние библиотеки совершенно одинаковы. Но если сверх того известно, что каждая книга Петрова есть и в библиотеке Иванова, то отсюда с необходимостью вытекает, что их библиотеки тождественны.

Из определения равенства множеств непосредственно следует, что порядок, в котором перечисляются элементы множества, несущественен, а важен лишь состав множества. Например, множества Л —{2; 3; .5},. В==_{3; 2; 6} и С = {5; 3; 2} равны между -собой, т. е. представляют собой одно и то же множество.

Если каждый элемент непустого .множества А принадлежит множеству В, но хотя бы один элемент множества В не принадлежит множеству А, то А называется собственным подмножеством множества В, и это записывается так: А а. В (сравните с обозначением строгого и нестрогого неравенства).

Таким, образом, из факта Л с: В вытекает, что А В, но из того, что А,^ В следует лишь, что имеет место одно из двух соотношений: Л с В или Л = В.

Так как мы ввели в рассмотрение пустое множество, т. е. множество,

не содержащее ни одного элемента, то мы будем считать, что все пустые множества равны между собой, и каждое пустое множество, является подмножеством любого другого множества, пустого или непустого

Введенные в этом пункте понятия и отношения (Наглядно иллюстрируются с помощью так называемых кругов Эйлера Множество изображается некоторым кругом-, а его элементы—точками этого круга. На чертеже 1 изображен следующий факт: В а: А.

И в заключение этого параграфа заметим, что выделение некоторого понятия из более общего указанием дополнительных признаков есть по существу рассмотрение некоторого подмножества данного множества.

Так, требование равенства двух сторон выделяет из множества треугольников Л подмножество равнобедрен- В, а требование равенства основания

и боковой стороны выделяет из множества равнобедренных треугольников В подмножество равносторонних треугольников С Отношение между множествами Л, В и С проиллюстрировано на чертеже 2.

§ 2. Числовые множества; множества точен на прямой, задаваемые алгебраическими уравнениями и неравенствами с одним переменным

В этом разделе мы рассмотрим конкретные примеры множеств, возникающих при решении уравнений и неравенств с одним переменным, таким образом, мы будем рассматривать различные подмножества множества всех действительных чисел. В геометрической интерпретации Что будет соответствовать различным множествам точек числовой оси,

При решении линейных уравнений вида ах + Ь-=-0 возможны три случая: 1) уравнение имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) уравнение Является тождеством. Так,< например, уравнению 2x4-4 = О удовлетворяет число х = —*2Г уравнение 2(х — !) = 2x4- 2 не имеет решений, а корнем уравнения 2(х— 1) = 2х —2 является любое число. В последнем случае говорят, что множеством решений этого уравнения является вся чйо ловая ось.

Рассмотрим уравнение, х2—5x4-6 = 0.

Оно имеет два корня: хх = 2^и х2 = 3, и мы б\дем говорить, что множество корней данного уравнения состоит из чисел 2 и 3 (можно сказать —из двух элементов: 2 и 3). Это множество обозначается следующим образом: {2; 3}. Аналогично множество решений уравнения (х—if-(х—2)2.*(х + 3)3 = 0 состоит из трех чисел, или из трех элементов: {1; 2; —3}.

Рассмотрим уравнение JC24- 1 =0. Оно не имеет корней. И для того чтобы мы всегда имели возможность говорить о множестве решений алгебраического уравнения, используем введенное, выше так называемое пустое множество, которое не Содержит ни одного элемента (в нашем случаемый одного числа). Таким образом, множество решений уравнения х241=0 пусто.

Уравнению х = |х| удовлетворяют все неотрицательные числа, это множество теоретически изображается полупрямой. Говорят, что это «замкнутая полупрямая», так как точка с абсциссой нуль принадлежит множеству решений данного уравнения.

Упражнения

1. Каково множество решений каждого из уравнений: х2—1 =0; х2—2х-Г1=0; х2+х+1 — 0; |х| + х=Ю?

Дайте в каждом случае геометрическую иллюстрацию.

2. Приведите примеры уравнений, множество решений которых соответственно пусто, содержит один, два или три элемента.

Можно говорить и о множестве решений неравенства. Пусть, например, дано неравенство 2х + 4 Решением его' является любое число, большее —2(х>—2). Это множество решений изображается открытой (незамкнутой) полупрямой. Множество решений неравенствах+ 5 < х—5 пусто.

Неравенству х + 5>х-[-3 удовлетворяют все числа. Геометрически это множество изображается всей числовой прямой. Множество решений двойного неравенства 0 < 2х—4<8 (по существу системы) составляют все числа, большие 2, но меньшие 6 (2<х<6). Заметим, что множество всех’ чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х < Ь, называется интервалом и записывается следующим образом: (а;&). Круглые скобки означают, что точки х = а и х = Ь не входят в рассматриваемое множество (черт. 3); нужно отличать интервал а<х<Ь (открытое множество точек) от сегмента аг^х^Ь (замкнутого множества точек); сегмент а ^х^Ь обозначают [а; Ь] (черт. 4).

а1 rb a L Ь

Черт. 3 Черт. 4

Известный интерес представляют множества, задаваемые уравнениями и неравенствами, содержащими неизвестное под знаком абсолютной величины.

Мы напомним прежде всего, как вводится в алгебре понятие абсолютной величины и как оно интерпретируется геометрически.

Положение точки на прямой определяется ее координатой, т.'е. расстоянием точки от начала отсчета, взятым со знаком плюс, если точка расположена правее нуля, и со знаком минус, если точка расположена левее нуля.

Ю

Точка с координатой х = 3 расположена на расстоянии трех единиц от нуля (справа).

Точка с координатой х = —3 также расположена на расстоянии трех единиц от нуля’ (слева). Таким образом, расстояние до нуля от точки х=±3, лежащей, правее начала .отсчету, равно координате точки, а расстояние до нуля от точки х = —3, лежащей левее начала отсчета, отличается оъ_координаты этой точки только знаком. Итак, расстояние от точки с координатой х до начала отсчета всегда совпадает с абсолютной величиной числа х, задаваемой формально следующим определением:

х, если х^О,

—х, если х < 0.

Условие |х| = 3 можно истолковывать геометрически следующим образом: расстояние от точки до начала отсчета равно трем единицам' Таких точек на оси две: и —3 (см. черт. 5). Условие |х|<3 приобретает следующий геометрический смысл: расстояние от точки до начала отсчета меньше трех единиц, т. е. точка лежит в интервале (—3; 3) и ее координата удовлетворяет двойному неравенству —3<х<3 (черт. 6).

Условие |х| > 3 выражает требование, чтобы расстояние от точки до начала отсчета было больше трех единиц. Это имеет место для точек, лежащих вне сегмента [—3; 3], т. е. левее точки —3 (х <—3) или правее точки 3(х>^3) (черт. 7).

Черт. 7

С помощью символа абсолютной величины-легко выражается расстояние между двумя точками с произвольными координатами х = а и х = Ь.

Если & > а, то это расстояние равняется разности Ь—а. В этом легко убедиться, рассматривая различные

случаи на чертеже 8. Например, если 6=1 р а——3, то b—а—1—(—3) = 4, что соответствует чертежу Если же а =—5 и Ь<=—1, то Ь—а ——1—(—5) = 4, что также справедливо.

а А

1—•—।—।—।—•——

О I 5

Черт. 8

Проверьте самостоятельно на примерах, что если а > Ь, т. е. точка с координатой" а расположена правее точки с координатой Ь, то расстояние между этими точками равно а—Ь.

Оба полученных результата можно объединить следующим' образом: расстояние между точками с координатами х.= а и х=Ь равно .(а—6| = |6—а|.

Приведенное выше геометрическое истолкование- модуля разности двух чисел позволяет легко решать уравнения й неравенства, содержащие- неизвестное прд знаком. абсолютной величины.

Условие \х—3|=1 истолковывается геометрически следующим образом: расстояние от точки х до точки 3 равно единице. Таких точек на прямой две: х1 = 2 и х2 = 4

О ’ ГП Черт. 9

о 1

Черт. 10

(черт. 9). Таким образом, множество решений уравнения |х—3| = 1 имеет вид: Л1 = {2; 4}.

Если |х—3| < 1, то соответствующие точки находятся от точки 3 на расстоянии, меньшем единицы (черт. 10). Множество М решений этого неравенства можно записать в виде: Л4 = (2; 4). Неравенством \х—3|>-1 задается множество' точек, расположенных вне сегмента [2; 4] (черт. 11). Эго множество состоит из двух открытых лучей (— оо; 2) и (4; +оо) или, как говорят, получается их объединением. В заключение этого пункта дадим геометрическое решение следующего уравнения: | 31 = | х— 1 Надо найти точку, одинаково удаленную

от точки —3 и от точки 1. Это будет середина! отрезка

7’3 4

Черт. 11

Черт. 12

[ — 3^ 1], т. е. точка х =—1 (черт.“12). Итак, вг этом случае множество М решений уравнения содержит только один элемент: М {— 1}.

Упражнения

3. Найти множество решений следующих уравнений и неравенств, используя геометрическую интерпретацию понятия абсолютной величины:

а) 2 |х +

б) х— 1

| —|х—21, ответ: {0; —4};

в) X—1

г) X — 1

х —51 = 2,

= 4, ответ: J1; 5];

= 6, ответ:- {0; 6};

д) е)

ответ: 0;

х—2 > х |, ответ: ( — оо; 1);

5|—| х— 11| < 2*, ответ: (2; 4).

х—5

х—5

Примечание. Множество М элементов х, обладающих некоторым свойством, например а^х^Ь, обозначается так: {х[а^х^Ь}. Используя это стандартное обозначение, можно было бы задать множества решений всех рассмотренных выше уравнений и неравенств. Так, множество решений (— оо; 1) неравенства |х—2| > |х| есть {х\х < 1}.

§ 3. Операции над множествами

Часто в курсе алгебры мы сталкивались с такой ситуацией, когда решение некоторого алгебраического уравнения или неравенства сводилось к решению других более простых уравнений или неравенств. Мы рассмотрим несколько примеров подобного рода, имея в виду установить связь между множеством решений данного уравнения или неравенства и множествами решений тех уравнений или неравенств, к которым оно сводилось.

Пусть требуется решить уравнение (№—х)(х2—3x4-2)= = 0. Чтобы произведение было равно нулю, необходимо и достаточно, -чтоб& обращался в нуль хотя бы один из сомножителей. Имеем: 1)х2—х = 0ИЛИ 2)х2—Зх 4-2 = 0.

Связка ИЛИ здесь употреблена в неразделительном смысле, т. е. не исключается одновременное обращение в нуль обоих сомножителей.

Множество решений уравнения х2—х = 0 есть Му — = {0; 1}, множество решений уравнения х2—Зх'4~2=0 есть Ма = {1; 2}. Множество решений исходного уравнения состоит из всех чисел, входящих хотя бы в одно из множеств ML ИЛИ Ма. Таким образом, множество решений уравнения (х2—х)(х2—3x4-2) = 0 есть М = {0; 1; 2).

Ту же пару простейших уравнений нам пришлось бы рассматривать при решении- уравнения (х2—х)2 + 4-(х2—Зх + 2)3 = 0Г Однако здесь задача стоит иначе: требуется найти значения переменной х, удовлетворяющие одновременно двум требованиям: х2 —х = р И х2—3x4-2 = 0. Связку И принято символизировать знаком фигурной скобки, объединяя эти уравнения в систему. Получим:

| х2—х = 0, \ х2—3x4-2 = 0.

Множество решений уравнения х2—х = 0 есть A4X = — {0; 1}, множество решений уравнения х2— 3x4-2 = 0 есть Ма = {1; 2}. Множество решений системы и, следовательно, исходного уравнения состоит из чисел, входящих в оба множества Мг И А4 а одновременно. Таким образом, множество решений уравнения (х2—х)2 4- 4-(х2—Зх4-2)2 = 0 есть 7И = {1).

Рассмотренные примеры вплотную подводят нас к формальному определению операций над множествами, с помощью которых по двум или' нескольким данным Множествам образуется некоторое новое множество.

Объединением (суммой) С двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А ИЛИ множеству В (ИЛИ здесь неразделительное, т. е. не исключается возможность одновременной' принадлежности некоторых элементов и множеству А, и множеству В). Обозначают это так: С —Ли В. На чертеже 13 левый круг обозначает множество Л, а правый круг—множество В. Заштрихованная область изображает объединение множеств А и В.

Объединение трех и более множеств определяется ана

логично.

Примеры. Объединение множества {Г, 2; 3} и множества {2, 5} есть множество {1; 2; 3; 5}. Объединение* множества чисел вида 4& 4-2

(k — целое) с множеством чисел вида 4fe есть множество всех четных чисел вида 2k (докажите!). Объединение множества целых чисел и множества четных чисел есть множество Целых чисел. Ситуация, аналогичная последнему примеру, возникает

С

Черт. 13

одно из двух

всегда, когда

объединяемых множеств есть

подмножество второго множества, т. е. при А е В всегда А{}В = В. Объединение двух совпадающих множеств есть то же самое множество: АцА = А.

Решая уравнение F(x) = 0 методом разложения левой< части на множители F (*) = Л (х) •/«*(*)> мы получали (Множество решений исходного уравнения, объединяя множества решений уравнений /1(х) = 0 и /2(х) = 0..

Правда, здесь необходимо тщательно следить за изменением областей допустимых значений для рассматривав-* мых функций.

Решим, например, уравнение Ух—3-(x-f-3) = 0.

Приравнивая к нулю множители, стоящие в левой частив уравнения, получим: ]/ я—3 = 0 или *4-3 = 0. Отсюда получаем две возможности: 1) х=-3 или 2) х= —3.

Однако множество решений исходного уравнения состоит из единственного элемента х = 3, так как при х=—3 множитель У х—3 теряет смысл.

С аналогичным положением мы- встречаемся, решая уравнение (х2 —5х + 6)--^-^ = 0. Множество решений уравнения х2—5х-|-6 = 0 есть Afx = {2; 3}; множество решений уравнения - 0 есть Мг = { — 1}.

Однако, как и в предыдущем примере, нельзя получить множество решений исходного уравнения, образуя

объединение двух полученных множеств и ЛГ2 в соответствии.с данным выше общим определением. Действительно, х = 3 не входит в область допустимых значений дроби fcg. Следовательно, множество решений исходного уравнения есть Л4 = (—1; 2}. Общий вид множества решений уравнения fi(x)-/j(x) = 0 будет получен вконец § 10.

Пересечением С, двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А И множеству В одно- Ж временно. Иными словами, пересечение образовано всеми общими элементами-данных множеств. Обозначают это так: С = А Л В. (черт. 14). Аналогично определяется пересечение трех и более множеств.

₽ ' Термин «пересечение» по су

ществу геометрического происхождения. В планиметрии точками пересечения двух кривых, рассматриваемых как множества точек на плюс? кости, назывались как раз их. общие точки. Пересечением прямой и плоскости, рассматриваемых как множество точек пространства, является в общем случае их единственная общая точка. Однако если прямая и плоскость параллельны, то пересечение этих множеств пусто. Если же прямая лежит на плоскости, то пересечение этих множеств совпадает с множеством точек этой прямой.

Примеры. Пересечение множеств {1; 2; 3} и {2; 5} есть множество {2}, состоящее из одного элемента' 2. Пересечением множества четных чисел вида 2k (k—целое) и множества чисел вида 3k является множество чисел вида 6А (докажите!). Пересечение множества четных чисел и множества нечетных чисел пусто. Пересечение множества целых чисел и множества четных чисел есть множество четных чисел.

Ситуация, аналогичная последнему Примеру, возникает всегда, когда одно из двух множеств есть подмножество второго, т. е. при A s В всегда А П В = А. Пересечение двух совпадающих множеств есть то же множество! АпА = А.

Решая систему неравенств с одним неизвестным, г - е. находя множество значений переменной х, удовлетворяющих одновременно всем неравенствам системы, мы по существу находили пересечение множеств решений неравенств, входящих в эту систему,. Рассмотрим для’ примера систему двух линейных неравенств, решение которой сводится к разбору простейших систем вида:

1) ( х < а, 2) / х > а, 3) J х > а, 4) I х < а,

I х < b; \ x>b‘, J х < b; ( х > Ь.

Без ограничения общности рассуждений мы в каждом из четырех случаев будем считать, что 'а < Ь. (Случай а*=Ь не представляет интереса.)

Как было показано выше, линейным неравенством х < а или х > а задается открытый луч, таким образом, при решении каждой из четырех систем требуется найти пересечение двух открытых лучей.

В системе j множество (— оо; а) есть подмножество множества (—bo; &), поэтому их пересечением, т. е. решением нашей системы, будет множество ( —оо; а).

Аналогично в системе | множество (Ь; 4- оо) есть подмножество множества (а; 4- об), поэтому решением нашей системы будет множество (Ь; 4~оо).

В третьем случае пересечением двух' открытых лучей (а; 4-оо) и (—оо; Ь) является интервал (а; Ь\, (Напомним, что мы предполагали всюду а < Ы)

В четвертом случае пересечение множеств (—оо; а) и (Ь; 4* о®) пусто, решением системы является -пустое множество.

В заключение этого раздела рассмотрим- еще один х* I 2х ' 3 пример. Пусть нужно решить неравенство ха_2х_з < О-

Решение.этого неравенства сводится к решению двух систем:

1) J х’4-2х—3>0, ИЛИ 2) J Х’4-2Г— 3<0, IXs —2х—3<0 I х’—2*—3>0.

Множество ^решений исходного неравенства получается объединением множеств решений этих двух систем.

Решая первую систему, получаем:

( х< -3 ИЛИ х> 1,

( — 1 < х < 3.

Множество решений неравенства х2 4- 2х-^3 > 0 является объединением двух открытых лучей (— оо; —3) и (1; + ос). Множество решений неравенства х2—2х—3 < О есть интервал (— 1; 3). Решением системы является пересечение множеств решений первого и второго неравенства. Получим интервал (1; 3) (черт. 15). Аналогично во вто- [ а <■ х <■ 1

ром случае приводим систему к виду < х иЛИх>3 и получаем интервал (—3; —4) (черт. 16). Итак, множество решений исходного неравенства поручается объединением двух интервалов (—3; —1-) и.(1; 3) (черт. 17). Мы предпочли приведенное решение так называемому «методу интервалов», тик как оно позволило вскрыть теоретико-множественную сущность постановки задачи и процесса ее решения.

Упражнения

4. Выполнить операции объединения и пересечения над множествами А и В:

а) Д=г[ —1; 0]; В = [0; 11;

б) Л = [— 1; 0); В = [0; 1 ;

в) . Л = [ — 1; 0); В^=(0; 1].

5i Найти объединение и пересечение множества рациональных чисел R и множества иррациональных чисел /.

6. Найти объединение и пересечение множества всех рациональных чисёл и множества всех конечных десятичных дробей.

7. -Найти объединение и пересечение множества всех целых чисел и множества всех положительных чисел.

8. Найти объединение и пересечение множества чисел вида 4k и множества чисел вида &k.

9. Найти объединение и пересечение множества целых чисел, не делящихся на 26, с множеством целых чисел, делящихся на 13.

10. Найти объединение и пересечение множества целых чисел, не делящихся на 13, с множеством целых чисел, делящихся на 26.

11. Проанализировать теоретико-множественную структуру решения неравенства:

а) | х + 41 > 2; б) /(х-2)(х + 5) > 8 + х.

$ 4. Множество точен плоскости, задаваемое уравнением с одним или двумя переменными и системой уравнений

Основные понятия теории множеств и операций над множествами мы до' сих пор иллюстрировали, используя множество действительных чисел или множество точек числовой оси. Теперь перейдем к рассмотрению множеств точек плоскости.

Положение точки на координатной плоскости вполне определено, если известны обе ее. координаты. Но что можно сказать о точке, если известна только одна из ее координат? Например, где на координатной плоскости расположены все точки, у которых абсцисса равна 1, т. е. какое множество точек ма плоскости задается уравнением х=Т? Очевидно, сюда входят все те и только ге точки, у которых первая координата—единица, а вторая—любое число. Геометрически это точки прямой," параллельной дси ординат.

Аналогично уравнением у= —3 задаётся Множество всех точек прямой, параллельной оси абсцисс (здесь х — любое, а (/ = —3).

Легко сообразить, что уравнениями х = const и у = const мы задаем прямые, параллельные осям координат. В частности, х=0—уравнениедтси Оу и t/ = 0—уравнение оси Ох.

Теперь рассмотрим примеры некоторых соотношений между координатами, заданных в виде одного уравнения с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения

называется пара чисел (х0, у$), при подстановке которой в уравнение получается .тождество. Геометрически каждому решению (х0, у0) уравнения с двумя переменными соответствует точка координатной плоскости М (х0, у0). Будем рассматривать ^множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению.

Пусть, например, дано уравнение у = х. Им задается множество точек, имеющих две равные координаты. Все они и только они лежат на биссектрисе I и III координат-ных углов.

Уравнением х-\-у = 0 задается множество точек биссектрисы II и IV координатных углов.

Вообще говоря, уравнение вида ax-\-by = c не обязательно задает прямую линию. В качестве упражнения прлезно рассмотреть различные комбинации особых зна-чений коэффициентов а и b (дайте геометрическую иллюстрацию для каждого случая):

I. 1) а =^0; с—любое;.

2) а = 0; с—любое;

3) а=/=0; & = 0; с—любое.

II. а = 0; Ь = 0;

III. a = b = c = Q.

Приведем примеры еще некоторых множеств точек плоскости, задаваемых уравнением с двумя переменными: у = х2—парабола;

ху = — 1 —гипербола;

х2 + уъ—\—окружность с центром в начале координат и радиусом 1;

х2+</2 = 0—это уравнение, задает единственную точку — начало координат;

(x-Hz/2—l)2 = 0—множество из двух точек (0,1) и (0, —1); (х2— 1)2+(1/2—1)2 = 0—множество из четырех точек (1, 1); (1, —1); (—1, 1) и (-1, -.1).

Пусть теперь координаты рассматриваемого множеств ва точек удовлетворяют некоторой системе соотношений. Какое множество точек плоскости задается системой

jx + y—3 = 0?

(х—у—1=0?

С точки зоения теории множеств ищется пересечение множеств точек, задаваемых соответственно первым и

вторым уравнениями системы. Пересечение множеств в этом случае представляет собой множество, содержащее

единственную точку, а именно точку пересечения двух

прямых. Координаты ее х = 2, у = 1. Интересно сравнить разобранный пример с другим. Нужно построить множество точек, аналитическим заданием которого является уравнение (х+у-3)-(х-у-\) = 0. Для того чтобы произведение равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю; х + у—3 = 0 ИЛИ х—у—1 = 0.

Поэтому искомое множество представляет собой объединение двух множеств точек, задаваемых уравнениями х + у—3 = 0 и х—у—1=0 (Фрт. 18).

Упражнение

12. Построить множества точек плоскости, задаваемые следующими соотношениями;

а) /х = 0, б) х</ = 0; в) х1—5x4-6 = 0.

Ь =.0;

(В последнем случае уравнением ха—5x4-6 = 0 задается пара параллельных прямых.)

Рассмотрим два алгебраических уравнения: х* 4- у2—1=0 и ху = О; У равнением х* 4- «Л—1=0 задается на плоскости множество А точек единичной окружности с центром в начале координат, а уравнением ху — 0—множество В точек пары координатных осей. Ниже мы разберем несколько алгебраических уравнений, решение которых в различных смыслах- этого слава сводится к решению этих двух простейших уравнений. И в каждом случае множество С решений рассматриваемых уравнений получается из множеств решений А и В простейших уравнений хг+у*—L= 0 (1) и ху = 0 (2) с помощью тех или иных операций.

Например, каково множество решений уравнения (x2 + f/2-l).xy-0?

Легко сообразить, что этому уравнению удовлетворяют как любое решение уравнения (1), так и любое решение уравнения (2), причем этими двумя* возможностями все множество исчерпывается. Новое множество. С получается в этом случае объединением двух исходных множеств А и В, т. е. состоит из точек, принадлежащих первому ИЛИ второму множеству (ИЛИ неразделительное). Итак, G = А и В.

Рассмотрим теперь множество С решений уравнения (х2 + #2—1)2 + (ху)2 —0. Это уравнение равносильно требованию одновременного обращения в нуль выражений, стоящих в обеих круглых скобках, т. е. системе: (х2 + у2—1=0 (Здесь фигурная скобка соответствует I ху = 0. логической связке И между двумя условиями.)

Множество С решений данного уравнения состоит из точек пересечения единичной окружности с осями координат, т. е. является пересечением множеств А и В (С=А(]В).