Математика, как известно, наука доказательная, или дедуктивная (от лат. deductio — выведение). Однако это только одна из ее сторон. Изложенная в законченной форме, математика выглядит как чисто дедуктивная, состоящая только из доказательств. Но прежде чем провести доказательство во всех деталях, вы должны догадаться об идее, лежащей в его основе, должны сопоставлять наблюдения и следовать аналогиям. Результат творческой работы математика — доказательное рассуждение, доказательство. Но доказательство открывается с помощью правдоподобного рассуждения, с помощью догадки. Два типа рассуждений — доказательное и правдоподобное — дополняют друг друга. И так как в решении любой задачи присутствует крупица открытия, то в нем должно найтись место для догадки, для правдоподобного умозаключения.

Всем предлагаемым в этой книге задачам присущ некоторый математический «секрет». Они помогут вам овладеть навыками рассуждений, ведущих к математическому открытию. Для их решения, кроме знаний из соответствующего раздела школьной математики, понадобится наблюдательность, умение сравнивать, проводить аналогии, обобщать, делать выводы и обосновывать их.

Материал в книге распределен по разделам в соответствии с возрастными группками читателей: IV, V, VI, VII—VIII и IX—X классы*.

* Класс указывает цифра, которая выделена в полоске, обрамляющей каждую страницу основного текста.

(Распределение это очень условно, и задачи, предназначенные для IV класса, могут заинтересовать десятиклассников.) В начале каждого раздела приводятся образцы решений задач, аналогичных помещенным ниже, с подробными рассуждениями и выводами. В конце книги даны ответы н решения наиболее трудных задач. Однако не заглядывайте сразу в ответ, а попробуйте самостоятельно преодолеть все трудности. Пусть каждая решенная задача станет для вас собственным открытием.

В заключение приведем слова выдающегося советского математика А. Н. Колмогорова, обращенные к учащимся: «Некоторым математика представляется нагромождением искусственных рецептов, правил, по которым неведомо почему можно получать нужные результаты. На самом деле математика проще, чем иногда думают... Попытайтесь заменить запоминание пониманием! Тогда и запомнить правила будет не так трудно».