Практикум по решению задач школьной математики - Выпуск V (Смышляев) 1978 год - старые учебники

ПРЕДИСЛОВИЕ

Умение решать задачи является одним из важнейших элементов математической подготовки будущего учителя математики.

Настоящее пособие представляет собой выпуск V "Практикума по решению задач школьной математики", издаваемого МГЗПИ в помощь студентам-заочникам. Его цель - познакомить студентов с различными методами решения задач повышенной трудности, в том числе олимпиадных и конкурсных задач.

При составлении настоящего пособия автору предстояло из тысяч полезных и по-своему интересных задач выбрать совсем небольшое количество. Будучи ограниченным тематикой и количеством, автор стремился отобрать и составить такие задачи, которые были бы достаточно разнообразны, требовали бы от решающего самостоятельности мысли, не были бы шаблонными. Впрочем, последнее понятие весьма относительно. Давно ли многие задачи (например, на неравенства, экстремумы) считались "нестандартными", а теперь они вошли в программу средней школы. Нестандартность отобранных автором задач состоит скорее всего не в их сложности, а в необычности. Хочется надеяться, что многие "нестандартные" задачи и "нешаблонные" методы решения скоро приобретут равные права с уже привычными задачами и приемами их решения.

В пособии были использованы книги из серий "Библиотека математического кружка" и "Библиотечка физико-математической школы", сборники олимпиадных задач, пособия для поступающих в вузы, журналы "Математика в школе", "Математическое просвещение", "Квант", "Наука и жизнь", математические журналы стран народной демократии. Разумеется, отобранные задачи не являются самыми трудными, самыми интересными. Вне "Практикума" остались многие не менее необходимые темы и задачи (например, задачи, связанные с понятием абсолютной величины, задачи на делимость, геометрические задачи, решаемые с помощью векторной алгебры и с помощью тригонометрии, задачи на построение и др.).

Настоящее пособие является первым приближением к осуществлению задач, поставленных перед "Практикумом", оно не претендует на полноту их решения. Автор с благодарностью примет все полезные замечания и предложения, способствующие улучшению сборника.

Программа "Практикума" не может быть стабильной и одинаковой для всех педвузов, и поэтому ее содержание должно определяться математическими кафедрами педвузов с учетом научных интересов преподавателей, ведущих "Практикум", и состава студентов.

Пособие состоит из трех глав. В первой главе "Уравнения" рассмотрены уравнения высших степеней, уравнения в целых числах, функциональные уравнения, уравнения с целой частью (антье), некоторые "нестандартные" уравнения и системы уравнений.

Во второй главе разобраны задачи на доказательство неравенств и на нахождение экстремумов с использованием понятия среднего степенного любого порядка от конечного числа положительных чисел.

Третья глава включает различные олимпиадные задачи из алгебры и геометрии.

Каждый параграф "Практикума" построен таким образом, что сначала приводятся краткие теоретические сведения и образцы решения наиболее типичных задач, а затем даются упражнения для самостоятельного решения.

При работе с "Практикумом" рекомендуется не сразу знакомиться с приведенными образцами решений, а попытаться решить задачу самостоятельно. Не торопитесь заглядывать и в раздел "Ответы и указания". Автор не предполагает также, что нужно решить все или почти все задачи по каждой теме. В этом нет необходимости.

В этой книге вы не найдете волшебного слова, открывающего все пути решения, - она не научит и не может научить вас решать все задачи, но хочется надеяться, что она окажется вам полезной.

Большинство приводимых решений задач носит "чистовой" характер, т. е. содержит уже переработанный, лаконичный текст окончательного решения. Часть решений дана в "черновом" варианте ("черновое" решение), отражающем поисковую стадию решения, сам путь к "чистовому" решению.

Студентам-заочникам полезно познакомиться с замечательными книгами Д. Пойа "Как решать задачу", "Математика и правдоподобные рассуждения", "Математическое открытие".

Глава I УРАВНЕНИЯ

• 1 Уравнения высших степеней

Задачи на вычисление рациональных корней. Пусть

f (х) = апха + ал_1Хп-1 + ... + а,х + а0 == О (1)

- уравнение n-й степени (п 1) с целыми коэффициентами. Известно, что:

1°. Если несократимая дробь - (где р ? Z, q ? N) является я

рациональным корнем уравнения (1) с целыми коэффициентами, то р есть делитель свободного члена a0J a q - делитель старшего коэффициента ап.

2°. Целый корень уравнения (1), если он существует, должен быть делителем свободного члена.

3°. Если в уравнении (1) старший коэффициент ап = 1, то рациональные корни этого уравнения - целые числа.

Таким образом, испытывая всевозможные дроби -, где р - я

делитель aQ, a q - делитель ап, найдем рациональные корни уравнения (1) или убедимся, что уравнение (1) рациональных корней не имеет.

Процесс испытания всех делителей свободного члена может оказаться весьма громоздким, поэтому обычно при вычислении целых корней пользуются следующим замечанием:

4°. Испытанию подлежат лишь те делители а свободного члена Оо (отличные от 1 или -1), для которых каждое из частных

и является целым числом.

а-1 а+1

Пример 1. Построены выпуклые четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и т. д. Сумма длин всех диагоналей этих многоугольников равна 800. Сколько многоугольников построено?

Решение. Прежде всего найдем число диагоналей выпуклого л-угольника.

Если временно отвлечься от понятия л-угольника, а считать, что на плоскости заданы л точек, то, соединяя эти л точек между собой, легко подсчитать, что число соединяющих отрезков равно Сп, где Сл ?" UlzzH _ число сочетаний из элементов добавить и вычесть х2; б) (1 -|- х 4- х2) (1 - х 4~ х2) (1 - ха + х4). 184. -1. 185. Данное уравнение решить относительно х: х - cos а ± i sin а. Далее

применить формулу Муавра. 186. -а -, а = 1. 187. Сначала показать, что неверно утверждение 3). Ответ, п = 2, т = 9; п - 6, т =

= 17. 188. 2 и

189. 3 V5 или 5. 190. Показать, что общее число

образовавшихся листов не может быть четным. 191. Среди первых 20 чисел найдется два, у которых на конце нуль. Из них, хотя бы у одного, перед нулем стоит не девятка. Обозначим такое число через /V, а сумму его цифр - через п. Тогда 11 чисел N, N 4- 1 JV 4~ 9, JV 4" 10 имеют суммы цифр

соответственно n, п 4~ 1, ..." п + 9, л 4~ 10. Из них всегда можно составить последовательность чисел, из которых хотя бы одно делится на 11. 193. Пусть -одно из таких чисел. Очевидно, /V, = 999999 - обладает тем же свойством, что и (показать!). Если В - сумма всех /Vj, то В = = 9999996 (k е N). Значит, В : 37. 195. 1600. 197. Нечетное. 198. На 245-м месте. 200. Первый. 205. 37. 206. Можно доказать методом от противного. 207. 189. 209. Сначала доказать такой факт: пусть на одной скамье сидят k рыцарей, и пусть у каждого из двух крайних среди сидящих рыцарей более половины друзей. Тогда этих k рыцарей можно усадить за круглым столом. 210. Для 7-угольника найдутся две соседние вершины, в которых стоят фишки одного цвета, пусть это будут вершины Д2 и А3. Тогда достаточно рассмотреть "противоположную" вершину Лв и соседние Aj и А4. Тогда при любой комбинации черных и белых фишек в этих вершинах найдутся три фишки одного цвета, расположенные в вершинах равнобедренного треугольника. Аналогичное утверждение для правильного 8-угольника неверно (показать!). 211. Нельзя. 212. Выигрывает тот, кто ходит вторым. 215. Провести медиану [АМ]. 216. 75°. 217. 45°. 218. 45°. 219. 36° или-у-.

221. 30°. 222. Построить точку О', симметричную точке О относительно (СВ). Ответ. 20°. 223. Построить точку О', симметричную точке О относительно (А В). Ответ. 70°. 224. 90°. 225. 30° и 60°. 226. Сначала доказать, что высота [УИЛ4Д равна полусумме длин высот [BBiJ и [CCJ. Значит, Вд AMD = Вд ABN 4- Вд NCD. Вычесть общие части. 227. Через эту точку Р провести отрезок [Л^], конгруэнтный и параллельный [Л В]. Приложить параллелограмм ЛЛ^В к стороне [CD] так, чтобы точка А совпала с С, а точка В - с D. Точка Р перейдет в Рг. Получится трапеция AyByCiDi, конгруэнтная данной, в которую вписан четырехугольник PCPiD. 228. Площадь каждого из треугольников ALA3A6 и Л2Л4Лв равна - (Вс 4- ST ), где Вв - площадь данного шестиугольника, Вт - площадь треугольника Т, стороны которого равны разностям длин противоположных сторон шестиугольника и соответственно параллельны этим сторонам.

230. Данный 8-угольник преобразовать в равновеликий ему прямоугольник со сторонами, конгруэнтными меньшей и большей диагоналям, повернув соответствующим образом "выступающие" треугольники. 231. а) Нельзя. Показать, что, с одной стороны, площадь треугольника, а - число иррациональное, с другой - рациональное; б) можно. 232. Через М проверить прямую так, чтобы |АА41 = |Л4В|. 233. У 2. 234. 6, - или -. 235. Покажите, что если многоугольник можно разрезать на параллелограммы, то многоугольник должен содержать четное число сторон. 237. Всю звезду можно рассматривать как совокупность пяти треугольников, не имеющих общих сторон. Возьмем один из них. Всякая замкнутая линия, не проходящая через вершины этого треугольника, не может пересекать его стороны

только четное число раз. Далее ясно. 238. Заметьте, что если бы такая прямая существовала, то по обе стороны от нее лежало бы одно и только одно число вершин многоугольника. 239. Общее число точек самопересечения не может превосходить 20300. (Попробуйте указать фигуру, имеющую ровно 20300 точек самопересечения.) 240. Вычислите сумму внутренних углов всех треугольников. Ответ. 158. 241. Можно применить метод индукции. 242. Допустите противное. Пусть не все прямые проходят через точку О, являющуюся точкой пересечения некоторых двух прямых. Пусть, например, прямая / через О не проходит. Среди точек пересечения прямых, не лежащих на I, выберите ближайшую к I точку А. По условию через нее проходят по меньшей мере три прямые. Пусть эти прямые пересекают / в точках В, С, D. Через С, кроме I и (ЛС), должна проходить еще одна прямая т, которая пересечет еще одну сторону треугольника ABD в точке Е, расположенной ближе к /, чем А. Противоречие. 243. Пусть окружности Clt С2, С3, С4 пересекаются в точке Л, окружности Cj, С2, С3, С6 - в точке В, окружности Ci, с2, С4, С6 - в точке С. Если Л, В, С - различные точки, то окружности Ci, С2 совпадают. Если же, например, точки Л и С совпадают, то общей будет точка Л. 244. Пусть Л - общая точка кругов. Соедините Л с центрами кругов и рассмотрите наименьший из образовавшихся углов. Покажите, что отрезок, соединяющий центры и О2, целиком лежит в одном из кругов.

246. 1 + 247. Для каждой вершины многоугольника есть диаметраль

но противоположная вершина, поэтому из прямоугольных треугольников найдется сумма квадратов расстояний. Ответ. 3960. 248. Достаточно убедиться, что четыре точки плоскости всегда можно разбить на две группы с соблюдением требуемых условий; при этом в любой системе п 4 точек всегда можно (показать!) разбить на две группы с соблюдением требуемых условий какие-либо 4 точки, а все остальные точки распределить между двумя группами совершенно произвольным образом. 250. Среди всех треугольников с вершинами в данных точках выберите треугольник наибольшей площади 5^1. Через каждую его вершину проведите прямые, параллельные противоположным сторонам выбранного треугольника. Покажите, что площадь полученного треугольника не превосходит 45 4. Докажите,

что этот треугольник накрывает все п точек. 252. Разбейте квадрат прямыми, параллельными сторонам, на 25 квадратиков. Покажите, что найдется квадратик, в который попали три точки. Останется доказать, что его площадь

л

APQR - параллелограмм,

не превосходит 256. Можно. 257. Пусть

содержащий в себе ДЛВС, площадь которого равна 1 (рис. 18). Заметьте, ЧТО CBD СВЕ = у SCQPE " CAD САЕ ~ SCRAE" Отсюда нетрудно получить, что 2. 258. Вписать в данный многоугольник

М треугольник АВС наибольшей возможной площади. Постройте ДЛ1В1С1, стороны которого проходили бы через Л, В и С и были параллельны противоположным сторонам треугольника ЛВС. Покажите, что М целиком лежит внутри Л 259. Сначала докажите, что квадрат со стороной, равной

1, нельзя заключить ни в какой треугольник площади, меньшей 2. 262.Пусть первый ковер и второй перекрываются по площади Si, первый и третий - по площади S2, второй и третий - по площади S3, а вместе все - по площади S4.