Делимость чисел и сравнения. Учебный материал для факультативных занятий (Мазаник) 1971 год - старые учебники
Скачать Советский учебник
Назначение: Учебный материал для факультативных занятий. Пособие для учащихся 7 и 8 классов
В книге помещен учебный материал по теме «Дополнительные вопросы арифметики целых чисел» для факультативных занятий в VII и VIII классах.
Пособие рекомендуется учителям математики и учащимся VII и VIII классов.
© «НАРОДНАЯ АСВЕТА» Минск 1971
Авторство: Мазаник А.А.
Формат: PDF Размер файла: 4.73 MB
СОДЕРЖАНИЕ
Oт автора. 3
- 1. Делимость чисел 5
- 2. Признаки делимости 9
- 3. Составные и простые числа. 14
- 4. Наибольший общий делитель 20
- 5. Алгоритм Евклида 23
- 6. Наименьшее общее кратное 30
- 7. Сравнения и их свойства. 34
- 8. Вычеты. Теорема Ферма 39
- 9. Уравнения в целых числах. 43
- 10. Задачи повышенной трудности 47
Ответы и решения. 53
Литература . 66
Скачать бесплатный учебник СССР - Делимость чисел и сравнения. Учебный материал для факультативных занятий (Мазаник) 1971 года
СКАЧАТЬ PDF
ОТ АВТОРА
В данной книге изложен теоретический учебный материал и даны соответствующие упражнения для факультативных занятий по теме «Дополнительные вопросы арифметики целых чисел». Главное внимание при этом сосредоточено на раскрытии содержания понятий делимости и сравнения чисел, с которыми прямо или косвенно связаны многие проблемы теории чисел.
В процессе изучения соответствующего учебного материала вы познакомитесь с алгоритмом Евклида для отыскания наибольшего общего делителя, с теоремой о существовании сколь угодно больших простых чисел, с основной теоремой арифметики о разложении чисел на простые множители, а также с отношением сравнения чисел, являющимся обобщением понятия равенства. Подобные теоремы существования и единственности, алгоритмы и обобщения известных понятий являются примерами вопросов, которыми занимается современная математическая наука.
При изучении теоретического материала рекомендуется решать все предлагаемые в данном параграфе примеры и задачи. Если же в тексте в качестве примера приведено решение той или иной задачи, то и в этом случае попытайтесь решить ее самостоятельно, а потом сверьте свое решение с помещенным в книге.
Для повторения и закрепления целесообразно использовать упражнения, которые даны после каждого параграфа. Почти ко всем из них в конце книги приведены решения или указания.
Для тех из вас, кто пожелает более глубоко изучить вопросы делимости чисел, советуем решить все примеры и задачи повышенной трудности, помещенные в § 10. Эти упражнения можно использовать и при подготовке к математическим олимпиадам.
- 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
1. Когда в курсе арифметики предлагалось целое число а разделить на другое целое число Ь, отличное от нуля, то, в зависимости от условий задания, требовалось одно из двух:
а) либо найти такое число q, которое, будучи умножено на Ь, дает в точности а, т. е. b-q = a',
б) либо найти два таких целых числа q и г, чтобы имело место равенство: а = b-q + г, причем
Деление в первом случае часто называют точным делением, а деление во втором случае — делением с остатком.
Оба эти действия совпадают, если остаток г равен нулю, и тогда говорят, что число а делится нацело на число Ь, причем подразумевается, что а — натуральное число или нуль, а число b—натуральное число.
Так как деление целых чисел, с учетом правила знаков, сводится к делению натуральных чисел, то подобные два действия имеют место и во множестве целых чисел.
Пусть а — любое целое число, b — натуральное (целое положительное) число. Рассмотрим числа, кратные Ь:
0; ±6; ±2Ь; ±ЗЬ; . .
Если эти целые кратные нанести на числовую прямую, то получим отрезки, каждый длины Ь, отложенные от нуля по обе стороны. Каково бы ни было целое число а, оно либо совпадет с одним из концов таких отрезков, и тогда a=b-q, либо попадет внутрь одного из них, и тогда а = b -q + г, где 0 ; г ; Ь.
Например: а = 8, Ь = 2, значит, q = 4;
а = — 15, b = 3, тогда q = — 5;
а = 27, b = 4, значит, q = б и г = 3;
а = — 32, b = 5, тогда q = — 7 и г = 3.
1. а) Найдите q, если: a = 27, b = 9; a = — 38, b = 2. б) Найдите q и г, если: a =31, 6 = 5; a =121, 6= 13; a = —87, 6 = 5; a = — 121, 6= 13.
2. Можно ли утверждать, что если а = b-q т, то т есть остаток от деления а на 6? Рассмотрите примеры: 24 = 7-3 4-3; 31 = 7-34-10; 20 = 7-3—1, где 6 = 7.
Напомним, что рассмотренные выше числа а, 6, q и г называются соответственно делимым, делителем, частным и остатком.
Если условимся рассматривать и остаток, равный нулю, то получим:
каково бы ни было целое число а и натуральное число Ь, всегда найдутся такие целые числа q и г, чтобы, во-первых, имело место равенство а = b-q 4- г и во-вторых, чтобы имело место неравенство О г ; 6.
Если г = 0, то говорят, что 6 делит а, или что а делится на 6. Предложение: «а делится на 6» обозначают так: а:6 (читается: а делится на 6). Число 6 называется делителем числа а, а число а называется кратным 6.
Если остаток г не равен нулю, то говорят, что «число а не делится на число 6», и это предложение обозначают так: а не • 6.
3. Какой наименьший положительный делитель имеет число а?
4. Какой наибольший делитель имеет число а?
5. Докажите, что любое целое число а=/=0 не может иметь более |а| положительных различных делителей.
II. Таким образом, мы знаем, что целое число а делится на, натуральное число Ь=£0 тогда и только тогда, когда существует такое третье целое число q, что a —b-q. Теперь можно рассмотреть основные теоремы о делимости целых чисел, известные из курса арифметики.
Теорема 1. Если каждое из двух слагаемых делится на одно и то же число, то и их сумма разделится на это число1.
Доказательство. Пусть а • 6 и с'-b, значит, существуют такие целые числа qi и q2, что а = bqr, c = bq2. Но тогда а 4- с = bqt 4- bq2 = b(qv 4- q2). Сумма двух целых чисел 4- Яг есть число целое. Обозначив его через q = qt 4- q2, получим: а 4- с = bq, значит, сумма а 4- с делится на 6.
1 Для краткости в дальнейшем будем говорить «число» вместо «целое число».
6. Докажите эту же теорему для случая трех слагаемых.
7. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и их разность разделится на это число. Докажите.
8. Докажите следующие утверждения:
1) Если а • (Ьс), то а \ b и а •с.
2) Если а • Ь, то и — а • Ь.
3) Если а • Ь и b • с, то а • с.
4) Если а • Ь, то и ах • b при любом целом х.
5) Если а • b и с '• Ь, то (ах 4- су) \ b при любых
целых хну.
Докажем еще одну теорему.
Теорема 2. Если одно из слагаемых не делится, а остальные делятся на одно и то же число, то их сумма не разделится на это число.
Доказательство. Пусть а • Ь, но с не • ft. Предположим, что их сумма (а 4- с) • ft, тогда а 4- с = bq, откуда с = bq — а. Так как bq • ft и а • ft (по условию), то и их разность с должна делиться на ft, что противоречит условию. Следовательно, сумма а 4- с не может делиться на ft.
9. Верно ли утверждение: «Если сумма двух слагаемых делится на какое-нибудь число, то и каждое слагаемое делится на это же число»? Приведите примеры, подтверждающие это.
10. Верно ли утверждение: «Если ни одно слагаемое не делится на какое-нибудь число, то и сумма не разделится на это число»? Приведите примеры, подтверждающие ваш ответ.
III. Мы видели, что каково бы ни было целое число а и натуральное число ft, всегда можно найти такие целые числа q и г, что а = bq 4- г, где 0 г ; ft.
Докажем, что такие целые числа q (частное) и г (остаток) определяются единственным образом.
Предположим, что существуют такие ft и н и q2 и г2, что а = bq! 4- и а = bq2 4- г2, причем 0 ;. rx ; ft и 0 ; r2 ; ft. Примем, для определенности, что г2 Тогда имеем: bqx 4- i\ = bq2 4- г2, или bqr — bq2 = r2 — rlt откуда r2 — ri = b(q! — q2). Мы видим, что r2 — гг делится на ft, а это возможно только тогда, когда
r% — rx = 0, ибо 0 ; r2 — rx ; b. Получим: b (qx — q2) = 0, но b=£0, значит, qx — q2 = Q. Следовательно, r2 = rx и ;7i = ;72-
Мы доказали, что существует единственная пара целых чисел q иг таких, что а = bq + г, причем 0 ; г ;5.
Упражнения
11. Докажите, что если остатки от деления двух чисел а и с на число b равны между собой, то разность а — с делится без остатка на Ь.
12. Докажите обратное утверждение: если разность двух чисел а п с делится на число Ь, то остатки от деления а и с на b равны между собой.
13. Верны ли утверждения: 1) Если число делится на 4, то оно делится и на 2. 2) Если число делится на 2, то оно делится и на 4.
14. Верны ли утверждения: 1) Если число не делится на 5, то оно не делится на 10. 2) Всякое число, не делящееся на 10, не делится на 5.
15. Докажите следующие утверждения:
1) Сумма двух нечетных чисел есть число четное.
2) Сумма четного и нечетного числа есть число нечетное.
3) Сумма трех последовательных целых чисел делится на 3.
4) Сумма двузначного числа и числа, написанного теми же цифрами, нов обратном порядке, делится на 11-
5) Разность между двузначным числом и числом, на, писанным теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.
16. Докажите, что разность между трехзначным числом и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, делится и на 9 и на И.
17. Ниже приведены четыре утверждения. Определите, какие из них верны, а какие неверны.
1) Если сумма двух чисел — число четное, то каждое из слагаемых — число четное.
2) Если сумма двух чисел — число четное, то их разность— число четное.
3) Если произведение двух чисел — число нечетное, то каждый из сомножителей — число нечетное.
4) Если сумма двух чисел — число нечетное, то их произведение — число четное.
18. Докажите, что: 1) Произведение двух последовательных целых чисел делится на 2. 2) Произведение трех последовательных целых чисел делится на 3.
19. Докажите, что если а число целое: то: 1) а8 —а делится на 2; 2) а3 —а делится на 3.
20. Докажите, что разность квадратов: 1) двух последовательных целых чисел есть число нечетное; 2) двух последовательных нечетных чисел делится на 8; 3) двух последовательных четных чисел делится на 4.
- 2. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
I. Из курса арифметики мы знаем признаки делимости чисел на 2, на 5, на 3 и на 9 и можем, не выполняя деления, определить, разделится ли нацело данное число на любое из указанных четырех чисел. Доказанные в предыдущем параграфе теоремы позволяют вполне строго доказать все эти признаки и вывести некоторые новые.
Пусть мы имеем («+ 1) — значное число1, записанное с помощью цифр ап, an-i, • , alt а0 в десятичной системе счисления:
N = ап- 10я + an-i • 10я-1 + . + а2-102 + ах- 10 + а0.
Требуется найти условия делимости этого числа N на некоторое число р. Обозначим частные и остатки от деления 10* на число р через qk и rk, где fe = 1, 2 п.
Ю =pgi + ri; Ю2 = pq2 + г2;
103 = pq3 + Гз
Wn = pqn+rn.
Подставив полученные выражения для 10* в запись числа N, получим: N = an(pqn + rn) + ап-\ (pqn-\ + rrt-i) +
+ . . . 4" а2 (РЯъ + rz) 4~ ai (PQi + г1) 4* ав‘
1 В этом параграфе рассматриваются только натуральные числа.
Преобразовав это выражение для Л\ найдем:
N = (апЯп + ап-1 Яп-1 + • • • + a2qz + а^) р +
+ (апгп + ап—1 f п—1 4- . + а.2гй 4- air 14" ао)'
Обозначим второе слагаемое буквой М:
М = апгп + ая_1Гл_1 4- . + а2г2 + + а0,
тогда N = (anqn 4- . 4- ад)Р 4- М.
Мы видим, что если число М делится на р, то и W будет делиться на р, а если М не делится на р, то и N не делится на р. Этим мы доказали следующую теорему1:
Данное число N делится на число р тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа N на остатки, полученные от деления соответствующих степеней 10 на число р, делится на это число р.
а) Пусть р = 2. Очевидно, что тогда = 0; г2 = = 0; . ; гп = 0, значит, М = а0; следовательно:
на 2 делятся те и только те числа, последняя цифра которых делится на 2.
б) Таким же образом получаем признак делимости чисел на 5, так как гх = г2 = . = гп = 0, значит, М — а0; следовательно:
чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была 0 или 5.
в) Выведем признак делимости чисел на 9. Так как
10 =9+ 1,
102 = 99 4- 1,
103 = 999 4- 1,
10" = 99 .9 4- 1,
то очевидно, что rt = 1; г2=1; .; rn= 1, значит, М = ап 4- Лл-1 4- • 4- 4~ Qo следовательно:
для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.
г) Подобным образом выводится и признак делимости чисел на 3. Остатки от деления степеней 10 на 3 будут: ri=l; r2 = 1; .; rn = 1, значит, M = an+an-i +
. 4- Oi 4- До’» следовательно:
для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
1 При делении 1 = 10* на р всегда получаем остаток, равный I,
11. Рассмотрим делимость чисел на 11. Нетрудно убедиться, что остатки от деления степеней 10 на 11 будут 10 или 1, в зависимости от того, будет ли показатель степени 10 нечетным или четным числом.
10 = 11- 0+ 10, 102 = И- 94-1, 103= 1Ь90 4- Ю и т. д.
Но 10= И — 1, поэтому удобно заменить аг- 10 = (11 — 1) = ах 11 —аг.
Поступая аналогичным образом с г3, г6, .» число М представим в виде суммы двух слагаемых, одно из которых делится на 11:
М = (fli + аз 4- 4~ • • •) • 11 4~ l(flo 4~ а2 4- °4 + • • •) (ai 4- Дз + fl5 4- • • •)]
следовательно:
на 11 делятся те и только те числа, у которых разность сумм цифр, стоящих на четных и на нечетных местах, делится на 11.
Например, число 368312 не делится на 11, ибо разность (3 4-8 4- 1) — (64-34-2)= 1 не делится на 11. Если взять число 271436, то у него соответствующая разность сумм цифр (2 4- 1 4-3) — (7 4-4 4-6) = — 11 делится на 11, значит, и само число делится на 11.
21. Определите, какие из следующих чисел делятся на 11:
5643; 14014; 35674; 5069812; 4192716.
111. Рассмотрим признак делимости чисел на 4. Так как 100 делится на 4, а 10 = 4-2 4-2, то гх = 2; г2 = 0; г3 = 0; . ; гп = 0. Значит, М = а0 -f- 2ах; следовательно:
на 4 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр единиц и удвоенной цифры десятков делится на 4.
Признак делимости чисел на 4 обычно формулируется в другой, более удобной для применения форме. Любое число N можно представить в виде # = 4-1004- 4- 10 ах 4-а0, где Д— число, выраженное цифрами числа N без аг и а0. Здесь М = 10ах4-Яо есть число, выраженное двумя последними цифрами. Так как 100 = 4-25, можно утверждать:
на 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.
Математика - ФАКУЛЬТАТИВНОЕ, УГЛУБЛЕННОЕ, УСИЛЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
★Все➙ Учебники 7 класс, ★Все➙ Учебники 8 класс, ★Все➙ Для Учителей, ★ВСЕ➙Факультативное, углубленное, усиленной сложности, Делимость чисел и сравнения, Автор - Мазаник А.А., Все - Для учащихся старших классов, Для учащихся средних классов, Математика - Для Учителей, Математика - Факультативное, углубленное, усиленной сложности, Математика - Для учащихся старших классов, Математика - 8 класс, Математика - 7 класс, Математика - для средних классов